復(fù)變函數(shù)第三章(上)

第一節(jié)復(fù)變函數(shù)積分的概念一、積分的定義二、積分存在的條件及其計(jì)算法三、積分的性質(zhì)四、小結(jié)與思考2一、積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,3簡(jiǎn)單閉曲線正向的定義:

簡(jiǎn)單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明:

在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.42.積分的定義:5(6關(guān)于定義的說明:7二、積分存在的條件及其計(jì)算法1.存在的條件證正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,89根據(jù)線積分的存在定理,10當(dāng)n

無限增大而弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí),11在形式上可以看成是公式122.積分的計(jì)算法13在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.14例1解直線方程為15這兩個(gè)積分都與路線C無關(guān)16例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x17(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x18y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為19例3解積分路徑的參數(shù)方程為20例4解積分路徑的參數(shù)方程為21重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).22三、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式23性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得[證畢]24例5解根據(jù)估值不等式知2526四、小結(jié)與思考

本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì).應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.27思考題28思考題答案即為一元實(shí)函數(shù)的定積分.放映結(jié)束，按Esc退出.第二節(jié)柯西－古薩基本定理一、問題的提出二、基本定理三、典型例題四、小結(jié)與思考30一、問題的提出觀察上節(jié)例1,此時(shí)積分與路線無關(guān).觀察上節(jié)例4,31觀察上節(jié)例5,由于不滿足柯西－黎曼方程,故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.32二、基本定理柯西－古薩基本定理定理中的C可以不是簡(jiǎn)單曲線.此定理也稱為柯西積分定理.柯西介紹古薩介紹33關(guān)于定理的說明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.34三、典型例題例1解根據(jù)柯西－古薩定理,有35例2證由柯西－古薩定理,36由柯西－古薩定理,由上節(jié)例4可知,37例3解根據(jù)柯西－古薩定理得3839四、小結(jié)與思考通過本課學(xué)習(xí),重點(diǎn)掌握柯西－古薩基本定理:并注意定理成立的條件.40思考題應(yīng)用柯西–古薩定理應(yīng)注意什么?41思考題答案(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過來用.放映結(jié)束，按Esc退出.42Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料43GoursatBorn:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France古薩資料第三節(jié)基本定理的推廣一、問題的提出二、復(fù)合閉路定理三、典型例題復(fù)合閉路定理四、小結(jié)與思考45一、問題的提出根據(jù)本章第一節(jié)例4可知,由此希望將基本定理推廣到多連域中.46二、復(fù)合閉路定理1.閉路變形原理︵︵47︵︵︵︵︵︵︵︵48得︵︵︵︵49解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說明:在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).502.復(fù)合閉路定理那末5152三、典型例題例1解依題意知,53根據(jù)復(fù)合閉路定理,54例2解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,55例3解56由復(fù)合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因?yàn)椴槐厥菆A,a也不必是圓的圓心,只要a在簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)即可.57例4解由上例可知58四、小結(jié)與思考本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理,掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論:59思考題復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用?要注意什么問題?60思考題答案利用復(fù)合閉路定理是計(jì)算沿閉曲線積分的最主要方法.使用復(fù)合閉路定理時(shí),要注意曲線的方向.放映結(jié)束，按Esc退出.第四節(jié)原函數(shù)與不定積分一、主要定理和定義二、典型例題三、小結(jié)與思考62一、主要定理和定義定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁圖)1.兩個(gè)主要定理:6364定理二證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.65由于積分與路線無關(guān),6667由積分的估值性質(zhì),68此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.[證畢]692.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:證70那末它就有無窮多個(gè)原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]713.不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)72證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說明:有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.73二、典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,74例2解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)75例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,76例3另解此方法使用了微積分中“分部積分法”77例4解利用分部積分法可得課堂練習(xí)答案78例5解79例6解所以積分與路線無關(guān),根據(jù)?！R公式:80三、小結(jié)與思考本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓—萊布尼茲公式.