湖南省岳陽縣一中、湘陰縣一中2021-2022學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形2.正四棱錐的五個頂點在同一個球面上,它的底面邊長為,側(cè)棱長為,則它的外接球的表面積為()A. B. C. D.3.博覽會安排了分別標(biāo)有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車,等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想,設(shè)計兩種乘車方案.方案一:不乘坐第一輛車,若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號,就乘坐此車,否則乘坐第三輛車;方案二:直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1,P2,則()A.P1?P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P24.集合的真子集的個數(shù)是()A. B. C. D.5.根據(jù)散點圖,對兩個具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x,y進(jìn)行回歸分析,設(shè)u=lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到線性回歸方程為=0.5v+2,則變量y的最大值的估計值是()A.e B.e2 C.ln2 D.2ln26.復(fù)數(shù)()A. B. C.0 D.7.設(shè)分別是雙線的左、右焦點,為坐標(biāo)原點,以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(位于軸右側(cè)),且四邊形為菱形,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.8.若為過橢圓中心的弦,為橢圓的焦點,則△面積的最大值為()A.20 B.30 C.50 D.609.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A. B. C.1 D.10.函數(shù)的最大值為,最小正周期為,則有序數(shù)對為()A. B. C. D.11.若,則,,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.12.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實數(shù)的值為_____.14.“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管,以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容,立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺,現(xiàn)已日益成為老百姓了解國家動態(tài),緊跟時代脈搏的熱門app.該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”和“視聽學(xué)習(xí)”兩個學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個答題板塊.某人在學(xué)習(xí)過程中,將六大板塊依次各完成一次,則“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間最多間隔一個答題板塊的學(xué)習(xí)方法有________種.15.已知函數(shù),若,則___________.16.函數(shù)的最大值與最小正周期相同,則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若對任意成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知在中,角,,的對邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.19.(12分)已知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線與軸交于點,點在拋物線上,直線與拋物線交于另一點.(1)設(shè)直線,的斜率分別為,,求證:常數(shù);(2)①設(shè)的內(nèi)切圓圓心為的半徑為,試用表示點的橫坐標(biāo);②當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓的面積為時,求直線的方程.20.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面積的最大值.21.(12分)在極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為,以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線與曲線的交點的直角坐標(biāo).22.(10分)已知數(shù)列滿足,等差數(shù)列滿足,(1)分別求出,的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】

化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結(jié)合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用,兩角差的正弦公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】

如圖所示,在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,計算長度,設(shè)球半徑為,則,解得,得到答案.【詳解】如圖所示:在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,,故,,設(shè)球半徑為,則,解得,故.故選:.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.3.C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出,找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為:123、132、213、231、312、321方案一坐車可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐車可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法,常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù),屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】

根據(jù)含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,計算可得;【詳解】解:集合含有個元素,則集合的真子集有(個),故選:C【點睛】考查列舉法的定義,集合元素的概念,以及真子集的概念,對于含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】

將u=lny,v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2,利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計值.【詳解】解:將u=lny,v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得:,即,當(dāng)時,取到最大值2,因為在上單調(diào)遞增,則取到最大值.故選:B.【點睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題,考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值,是基礎(chǔ)題,.6.C【解析】略7.B【解析】

由于四邊形為菱形,且,所以為等邊三角形,從而可得漸近線的傾斜角,求出其斜率.【詳解】如圖,因為四邊形為菱形,,所以為等邊三角形,,兩漸近線的斜率分別為和.故選:B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】

先設(shè)A點的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,在表示出面積,由圖象遏制,當(dāng)點A在橢圓的頂點時,此時面積最大,再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)A點的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,則的面積為,當(dāng)最大時,的面積最大,由圖象可知,當(dāng)點A在橢圓的上下頂點時,此時的面積最大,又由,可得橢圓的上下頂點坐標(biāo)為,所以的面積的最大值為.故選:D.【點睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì),以及三角形面積公式的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.9.D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足,利用復(fù)數(shù)的除法求得,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)z滿足,所以,所以z的虛部為.故選:D.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】函數(shù)(為輔助角)∴函數(shù)的最大值為,最小正周期為故選B11.D【解析】因為,所以,因為,,所以,.綜上;故選D.12.A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角,再結(jié)合AB可求,應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應(yīng)用,關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系,利用正余弦定理求解.屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解:復(fù)數(shù)為純虛數(shù),解得.故答案為:.【點睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

先分間隔一個與不間隔分類計數(shù),再根據(jù)捆綁法求排列數(shù),最后求和得結(jié)果.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊相鄰,則學(xué)習(xí)方法有種;若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間間隔一個答題板塊的學(xué)習(xí)方法有種;因此共有種.故答案為:【點睛】本題考查排列組合實際問題,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】

根據(jù)題意,利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為函數(shù),其定義域為,所以其定義域關(guān)于原點對稱,又,所以函數(shù)為奇函數(shù),因為,所以.故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì);考查運算求解能力;熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.16.【解析】

利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡,求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】∵,則函數(shù)的最大值為2,周期,的最大值與最小正周期相同,,得,則,當(dāng)時,,則當(dāng)時,得,即函數(shù)在,上的單調(diào)遞增區(qū)間為,故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間,利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵,同時要注意單調(diào)區(qū)間為定義域的一個子區(qū)間.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】

(1)把代入,利用零點分段討論法求解;(2)對任意成立轉(zhuǎn)化為求的最小值可得.【詳解】解:(1)當(dāng)時,不等式可化為.討論:①當(dāng)時,,所以,所以;②當(dāng)時,,所以,所以;③當(dāng)時,,所以,所以.綜上,當(dāng)時,不等式的解集為.(2)因為,所以.又因為,對任意成立,所以,所以或.故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法及恒成立問題,恒成立問題一般是轉(zhuǎn)化為最值問題求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).18.(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用,利用正弦定理,化簡即可證明(2)利用(1),得到當(dāng)時,,得出,得出,然后可得【詳解】證明:(1)據(jù)題意,得,∴,∴.又∵,∴,∴.解:(2)由(1)求解知,.∴當(dāng)時,.又,∴,∴,∴.【點睛】本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題19.(1)證明見解析;(2)①;②.【解析】

(1)設(shè)過的直線交拋物線于,,聯(lián)立,利用直線的斜率公式和韋達(dá)定理表示出,化簡即可;(2)由(1)知點在軸上,故,設(shè)出直線方程,求出交點坐標(biāo),因為內(nèi)心到三角形各邊的距離相等且均為內(nèi)切圓半徑,列出方程組求解即可.【詳解】(1)設(shè)過的直線交拋物線于,,聯(lián)立方程組,得:.于是,有:,又,;(2)①由(1)知點在軸上,故,聯(lián)立的直線方程:.,又點在拋物線上,得,又,;②由題得,(解法一)所以直線的方程為(解法二)設(shè)內(nèi)切圓半徑為,則.設(shè)直線的斜率為,則:直線的方程為:代入直線的直線方程,可得于是有:得,又由(1)可設(shè)內(nèi)切圓的圓心為則,即:,解得:所以,直線的方程為:.【點睛】本題主要考查了拋物線的性質(zhì),直線與拋物線相關(guān)的綜合問題的求解,考查了學(xué)生的運算求解與邏輯推理能力.20.(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理化簡得到,故,得到答案.(2)計算,再利用面積公式計算得到答案.【詳解】(1),則,即,故,,故.(2),故,故.當(dāng)時等號成立.,故,,故△ABC面積的最大值為.【點睛】本題考查了正弦定理,面積公式,均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.21.【解析】

將直線的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立直角坐標(biāo)方程求出交點坐標(biāo),結(jié)合的取值范圍進(jìn)行取舍即可.【詳解】因為直線的極坐標(biāo)方程為,所以直線的普通方程為,又

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