第六章拉壓與剪切

主編張明影副主編魏曉棠北京理工大學出版社國家示范性高等職業(yè)教育規(guī)劃教材第六章拉壓與剪切第五章材料力學的概念第八章梁的彎曲第七章圓軸的旋轉第二模塊材料力學第九章梁的變形第六章拉壓與剪切第十章壓桿穩(wěn)定第六章拉壓與剪切第五章材料力學的概念第二模塊材料力學第九章梁的變形第六章拉壓與剪切第十章壓桿穩(wěn)定第六章拉壓與剪切6.1工程中軸向拉伸與壓縮問題6.2軸力與軸力圖6.3軸向拉壓時的應力6.4材料拉壓時的力學性能6.5拉壓桿的強度計算6.6軸向拉壓時的變形計算6.7剪切與擠壓的實用計算第六章拉壓與剪切6.1工程中軸向拉伸與壓縮問題

在工程實際中，許多構件承受拉力和壓力的作用。這類桿件的受力特點是：桿件承受外力的作用線與桿件軸線重合；變形特點是：桿件沿軸線方向伸長或縮短。這種變形形式稱為軸向拉伸或壓縮，簡稱拉伸或壓縮。這類桿件稱為拉桿或壓桿。計算簡圖圖6.5xP(+)(d))m(b)mPxPPmFNP(c)(a)mmFNFN第六章拉壓與剪切6.2軸力與軸力圖一、截面法求軸力如圖6.5a沿橫截面m-m假想地把桿件分成兩部分，可見桿件左右兩段在橫截面m-m上相互作用的內力是一個分布力系(圖6.5b、6.5c)，由于拉（壓）桿所受的外力都是沿桿軸線的，因此我們把拉（壓）桿的內力稱為軸力，用FN

表示。由左段的平衡方程∑Fx=0，可得

FN

－P=0FN=P習慣上我們把拉伸時的軸力記為正，壓縮時的軸力記為負。第六章拉壓與剪切6.2軸力與軸力圖二、軸力圖

求出軸內任意一個截面上的軸力以后，就可以用圖線來表示軸力與截面位置之間的關系，這個圖線稱為軸力圖。例6-1—雙壓手鉚機如圖所示。作用于該手鉚機活塞桿上的力分別簡化為Pl＝2.62kN，P2=1.3kN，P3＝1.32kN。試求活塞桿橫截面1-1和2-2上的軸力，并畫出軸力圖。圖6.6解：(a)畫計算簡圖。P21P3P1BCA12121(b)截面1-1的軸力。使用截面法，假想沿裁面1—1將桿截成兩段，保留左段，在截面1-1上加上正方向的軸力FNl。列平衡方程P111FN1x(c)截面2-2的軸力。再使用截面法，假想沿截面2-2將桿截成兩段，仍保留左段、在截面2-2上加上正方向的軸力FN2。列平衡方程P2P1BA2121FN2P3C2121FN2由上圖可見如果取右段所得結論也相同。解：(d)軸力圖。由于活塞桿受集中力作用，所以在其作用間的截面軸力都為常量，據此可畫出軸力圖。1.32kN2.62kNx(-)注釋：這里求出的符號為負的軸力只是說明整根活塞桿均受壓，而AB段的軸力最大，為2.62kN。第六章拉壓與剪切6.3軸向拉壓時的應力一、橫截面上的應力桿的強度不僅與內力有關，還與截面的面積有關。所以應以單位面積上的內力，即應力來衡量桿的強度。觀察桿的變形情況。在圖6.11a所示的桿上，預先刻劃出兩條橫向直線ab和cd（圖中虛線），當桿受到拉力P作用時，可以看到直線ab和cd分別平移到了實線a1b1和c1d1處。圖6.11第六章拉壓與剪切

根據以上現象可設想，假想桿由許多縱向纖維所組成，那么每根縱向纖維都受到了相等的拉伸。由此可推出：桿受拉伸時的內力，在橫截面上是均勻分布的，其作用線與橫截面垂直(圖6.6b)。所以，桿件拉伸時橫截面上的應力為正應力，其大小

（6-1）

式中的A為桿件橫截面的面積。上式是根據桿件受拉伸時推得的，它在桿件受壓縮時也同樣適用。應力的符號由內力確定，σ＞0為拉應力，σ＜0則為壓應力。若FN沿軸線變化，或截面的面積也沿軸線變化時，式5-1也可寫成

（6-2）第六章拉壓與剪切

例6-2試計算例7-1中活塞桿在截面1-1和2-2上的應力。設活塞桿的直徑d=10mm。解：(a)截面1-1上的應力。(b)截面2-2上的應力。第六章拉壓與剪切二、斜截面上的應力拉（壓）桿的破壞并不總是沿橫截面發(fā)生，有時卻是沿斜截面發(fā)生的。為此，應進一步討論斜截面上的應力。設直桿的軸向拉力為P（圖6.12a），橫截面面積為A，由公式（6-1），橫截面上的正應力σ為

圖6.12（6-3）

設與橫截面成α角的斜截面k-k的面積為Aα，Aα與A之間的關系為（6-4）第六章拉壓與剪切如圖6.12a，沿k-k假想地將桿分成兩部分，取左半部分（圖6.12b），用前面證明橫截面上正應力均勻分布的方法，同樣可以證明斜截面上的應力也是均勻分布的。若用pα表示斜截面k-k上的應力，有

將pα分解成垂直于斜截面的正應力σα和平行于斜截面的切應力τα，有（6-6）（6-7）（6-5）圖6.12第六章拉壓與剪切從公式6-6、6-7可以看出，斜截面上的應力將隨α的改變而變化。當α=0時，τα等于零，而σα達到最大值，且（6-8）當α=450時，τα到最大值，（6-9）

結論：1.桿件在軸向拉伸或壓縮時，橫截面上的正應力最大，切應力為零；2.在與橫截面夾450角的斜截面上切應力最大，最大切應力的數值與該截面上的正應力數值相等，均為最大正應力的一半；3.當α=900時，σα=τα=0，這表明桿件在與軸線平行的縱向截面上無任何應力。第六章拉壓與剪切三、圣維南原理

工程實際中，軸向拉伸或壓縮的桿件橫截面上的外力可以有不同的作用方式?？梢允且粋€沿軸線的集中力，也可以是合力的作用線沿軸線的幾個集中力或分布力系。實驗表明，當用靜力等效的外力相互取代時，如用集中力取代靜力等效的分布力系，除在外力作用區(qū)域內有明顯差別外，在距外力作用區(qū)域略遠處，上述替代所造成的影響就非常微小，可以忽略不計。這就是圣維南原理。前面的圖6.1、圖6.5和例6-1中桿的受力簡圖都是根據這一原理簡化的。第六章拉壓與剪切6.4材料拉壓時的力學性能一、

拉伸壓縮試驗

試驗應根據國家標準《金屬拉伸試驗方法》(GB228-87)中的規(guī)定，將材料制成標準試樣。拉伸圓試樣如圖6.13a所示。試樣的兩端為夾持部份，中間為用于測試的工作部分，它以兩標記間的長度l0表示，l0稱為原始標距。d0為試樣直徑：原始標距l(xiāng)0和直徑d0之間有如下關系：長試樣l0=10d0，短試樣l0=5d0。對于壓縮試樣，通常采用短圓柱體，其高度l與直徑d之比為1.5~3(圖6.8b)。圖6.13第六章拉壓與剪切6.4材料拉壓時的力學性能二、低碳鋼在拉伸時的力學性能圖6.14所示的拉伸圖描繪了Q235A鋼試樣從開始加載直至斷裂的全過程中載荷和變形的關系。圖6.15為應力應變圖。圖6.14圖6.15第六章拉壓與剪切二、低碳鋼在拉伸時的力學性能1．彈性階段

在試樣拉伸的初始階段，圖中的Oa線段為直線，表明此段內應力σ與應變ε成正比，如果用E表示Oa線段的斜率，那么這種關系可表達為σ=Eε(6-10)其中，比例常數E稱為拉（壓）彈性模量，在工程中常用的單位為GPa。直線頂點a處的應力稱為比例極限，用σp表示。實驗表明，當應力小于比例極限時，如果撤去加在試樣上的載荷，試樣上的變形也隨之消失，說明此時發(fā)生的變形均為彈性變形。第六章拉壓與剪切二、低碳鋼在拉伸時的力學性能2．屈服階段

當應力超過彈性極限增加到其一數值時，在σ-ε曲線上出現接近水平線的小鋸齒形線段。這種應力基本保持不變，而應變顯著增加的現象稱為屈服或流動，這一階段即稱為屈服階段。在屈服階段內應力的最高點b和最低點b’分別稱為上屈服點和下屈服點。下屈服點的應力比較穩(wěn)定的數值，能夠反映材料的性能，所以通常就把下屈服極限稱為屈服極限，用σs

表示。屈服極限σs是衡量材料強度的重要指標。第六章拉壓與剪切二、低碳鋼在拉伸時的力學性能3．強化階段

經過屈服階段，材料又恢復了繼續(xù)承載的能力，同時試樣的塑性變形也迅速增大，這種現象稱為材料的強化。σb是材料所能承受的最大應力，稱為強度極限。它是衡量材料強度的另一重要指標。我們把材料從屈服后直到強度極限這一段稱為強化階段，在強化階段中，試樣的橫向尺寸有明顯的縮小。第六章拉壓與剪切二、低碳鋼在拉伸時的力學性能4．局部變形階段

過了c點后，試樣的承載就逐漸下降，并且在某一局部其橫向尺寸突然急劇減小，出現頸縮現象(圖6.17)，直到d點，試樣在頸縮后的最小尺寸的橫截面處發(fā)生斷裂（圖6.18）。頸縮現象

圖6.17圖6.18第六章拉壓與剪切二、低碳鋼在拉伸時的力學性能5．材料的塑性

試樣斷裂后所遺留下來的塑性變形，可以用來表明材料的塑性。試樣拉斷后，標距由原來的l0伸長為l1，我們把標距間的改變用百分比的比值δ表示，稱為材料的延伸率。即（6-11）δ值越大，表明材料的塑性越好，因此，延伸率δ是衡量材料塑性的指標之—。短試樣和長試樣的延伸率分別用δ5和δ10表示，工程上，δ10＞5％的材料稱為塑性材料；

δ10＜5％的材料稱為脆性材料。

第六章拉壓與剪切試樣拉斷后，縮頸處橫截面面積的最大縮減量與原始橫截面面積的百分比ψ，稱為斷面收縮率。即（6-12）式中，A0是試樣的原始橫截面面積，A1是試樣拉斷后縮頸處的最小橫截面面積。斷面收縮率是衡量材料塑性的另一個指標。ψ值越大，表明材料的塑性越好。對于Q235A鋼，ψ=(60一70)％。

第六章拉壓與剪切二、低碳鋼在拉伸時的力學性能6．冷作硬化

試驗表明，塑性材料拉伸過程中，當應力超過屈服點后(如圖6.14中的g點)，如逐漸卸去載荷，則試樣的應力和應變關系將沿著與直線Oa近乎半行的直線gOl回到Ol點。如果卸載后再重新加載，則應力應變關系將大致上沿著曲線Olgcd變化，直至斷裂。圖6.14比較曲線Oagcd與Olgcd，可以看出在試樣的應力超過屈服點后卸載，然后再加載時，材料的比例極限提高了，而斷裂后的塑性變形減少了，由原來的Oe變?yōu)镺le，表明材料的塑性降低了。這一現象稱為冷作硬化。

圖6.21第六章拉壓與剪切三、其他材料在拉伸時的力學性能圖6.20中是幾種塑性材料的σ-ε曲線。其中有些材料，如16Mn鋼和低碳鋼一樣有明顯的彈性階段、屈服階段、強化階段和局部變形階段。有些材料，如黃銅H62，沒有屈服階段。對沒有明顯屈服極限的塑性材料可以將產生0.2%塑性應變時的應力作為屈服指標，并用σ0.2來表示（圖6.21），稱為名義屈服應力。圖6.20第六章拉壓與剪切四、鑄鐵拉伸時的力學性能灰鑄鐵拉伸時的應力-應變關系是一段微彎曲線，如圖6.22所示，沒有明顯的直線部分。它在較小的拉應力下就被拉斷，沒有屈服和頸縮現象，拉斷前的應變很小，延伸率也很小，斷口為平口（見圖6.23）?；诣T鐵是典型的脆性材料。圖6.22圖6.23第六章拉壓與剪切四、鑄鐵拉伸時的力學性能由于鑄鐵的σ-ε圖沒有明顯的直線部分，彈性模量E的數值隨應力的大小而變。但在工程中鑄鐵的拉應力不能很高，而在較低的拉應力下，應力和應變的關系則可近似地認為服從虎克定律。通常取σ-ε曲線的割線代替曲線的開始部分，并以割線的斜率作為彈性橫量，稱為割線彈性模量。鑄鐵拉斷時的最大應力即為其強度極限。因為沒有屈服現象，強度極限σb是衡量強度的唯一指標。鑄鐵等脆性材料的抗拉強度很低，所以不宜作為抗拉零件的材料。第六章拉壓與剪切五、材料在壓縮時的力學性能

低碳鋼壓縮時的σ-ε曲線如圖6.19所示。試驗表明，低碳鋼壓縮時的彈性階段和屈服階段與拉伸時基本重合，其彈性模量E和屈服極限σs與拉伸時相同。而屈服階段以后，試樣越壓越扁，橫截面面積不斷增大，試樣的抗壓應力也不斷增高，但試樣卻不被壓斷，得不到壓縮時的強度極限，因而壓縮時低碳鋼的強度指標就只有屈服極限圖6.24第六章拉壓與剪切五、材料在壓縮時的力學性能

圖6.25表示鑄鐵壓縮時的σ-ε曲線。試樣仍然在較小的變形下突然破壞。破壞斷面的法線與軸線大致成450~550的傾角，表明試樣沿斜截面因相對錯動而破壞。鑄鐵壓縮時的強度極限比它在拉伸時的強度極限高4~5倍。脆性材料抗拉強度低，塑性性能差，但抗壓能力強，且價格低廉，適合加工成抗壓構件。圖6.25第六章拉壓與剪切衡量材料力學性能的指標主要有：比例極限σp（或彈性極限)、屈服極限σs、強度極限σb、彈性模量E、延伸率δ和斷面收縮率ψ等。表6.1中列出了幾種常用材料在常溫、靜載下的σs、σb和δ的數值。表6.1幾種常用材料的主要力學性能第六章拉壓與剪切6.5拉壓桿的強度計算一、失效與許用應力

由前述的拉伸壓縮試驗可以看出，各類材料具有各自不同的力學性能。脆性材料制成的構件在拉伸或壓縮時，變形很小就會突然斷裂。而塑性材料制成的構件在拉斷或壓扁之前已出現很大的塑性變形，由于不能保持原有的形狀和尺寸，它已不能正常工作。我們把脆性材料的斷裂和塑性材料出現塑性變形統(tǒng)稱為失效。構件失效并不都是源于強度問題。例如若機床主軸變形過大，即使未出現塑性變形，但還是不能保證加工精度，這也是失效，它是剛度不足造成的。而受壓細長桿被壓彎，則是穩(wěn)定性不足引起的失效。第六章拉壓與剪切一、失效與許用應力脆性材料斷裂時的應力是強度極限σb，塑性材料屈服時即出現塑性變形，相應的應力是屈服極限σs，因此σs和σb就是兩種材料制成的構件失效時的極限應力。但在工程設計中，為保證構件有足夠的強度，以大于1的系數除極限應力并將所得結果稱為許用應力，用[σ]來表示，對塑性材料（6-13）對脆性材料（6-14）式中，ns和nb稱為安全系數。第六章拉壓與剪切一、失效與許用應力安全系數的確定與許多因素有關，例如材料的均勻程度、載荷和應力計算的準確程度、制造工藝過程及構件的工作條件等。

在靜載荷作用下，安全系數的大致數值如下：

塑性材料：軋、鍛件

ns＝1.2~2.2

鑄件

ns＝1.6~2.5

脆性材料

nb＝2.0~3.5第六章拉壓與剪切二、軸向拉伸與壓縮時的強度計算軸向拉壓桿的強度條件為

(6-15)

對于等截面桿，由于各個截面的面積相等，所以最大工作應力將發(fā)生在軸力的絕對值最大的截面上。而對于變截面桿，則要綜合軸力和面積的比值。根據強度條件，我們可以對拉壓桿進行三種類型的強度計算，即強度校核、設計截面尺寸和確定許可載荷。PP5015152210502220223311第六章拉壓與剪切

例6-3作用圖示零件上的拉力P=38kN，若材料的許用應力[]=66MPa，試校核零件的強度。解：(a)求最大正應力。1-1截面上的應力2-2截面上的應力

3-3截面上的應力所以最大拉應力在1-1截面上(b)強度校核。由上述計算可知，零件截面上的最大拉應力所以，此零件的強度夠用。第六章拉壓與剪切

例6-4冷鐓機的曲柄滑塊機構如圖所示。鐓壓工件時連桿接近水平位置，承受的鐓壓力P=1100kN

。連桿的截面為矩形，高與寬之比為h/b=1.4。材料為45鋼，許用應力為[]=58MPa，試確定截面尺寸h和b。ABbh第六章拉壓與剪切解：(1)求內力。連桿AB為二力構件，由滑塊B的受力可知，在接近水平位置時連桿上所受的力與鐓壓力相等，即(2)確定截面尺寸。由強度條件可得又因為A=bh=1.4b2,所以第六章拉壓與剪切

例6-5圖示二桿組成的桿系，AB是鋼桿，截面面積A1=600mm2，鋼的許用應力[σ]=140MPa，BC桿是木桿，截面面積A2=30,000mm2，它的許用拉應力是[σ+]=8MPa，許用壓應力是[σ-]=3.5MPa。求最大許可載荷P。21CBA2.2m1.4mP第六章拉壓與剪切解：(1)求內力。用截面法求1、2桿的內力αFN1BFN2PN1與N2的實際方向與假設方向相同，1桿受拉，2桿受壓。(2)確定許可載荷。由桿1的強度條件得由桿2的強度條件得(3)確定許可載荷。桿系的許可載荷必須同時滿足1、2桿的強度要求，所以應取上述計算中小的值，即許可載荷為[P]=88.6kN第六章拉壓與剪切6.6軸向拉壓時的變形計算一、軸向變形與虎克定律直桿在軸向拉力(或壓力)的作用下，所產生的變形表現為軸向尺寸的伸長(或縮短)以及橫向尺寸的縮小(或增大)。前者稱為軸向變形，后者稱為橫向變形?，F以圖6.30所示的受拉等截面直桿為例來研究桿的軸向變形。設桿的原長為l，在軸向拉力的作用下，桿長由l變?yōu)閘1(圖6.30a)，則桿的軸向伸長為△l=l1－l圖6.30第六章拉壓與剪切

實驗指出：在彈性范圍內，桿件的絕對變形△l與所受拉力P成正比，與桿件的長度l成正比，而與桿件的橫截面面積A成反比?？捎脭祵W式表示為（6-16）

這個關系式稱為虎克定律，它同樣適用于軸向壓縮的情況。式中△l的符號取決于軸力FN，軸向拉伸時△l大于零；而壓縮時△l小于零。

式中的比例常數E，稱為材料的拉(壓)彈性模量，其值因材料而異，可通過實驗方法測定。E的常用單位是吉帕(GPa)。第六章拉壓與剪切一、軸向變形與虎克定律由于絕對變形與桿件的長度有關，為了更確切地反映桿件縱向變形的程度，消除長度的影響，將△l除以l得到桿件軸線方向的線應變（6-17）這里ε的符號取決于桿件的軸向變形，當桿件軸向拉伸時軸向應變ε大于零，壓縮時ε則小于零。式（6-17）也可表示為

（6-18）即當應力小于比例極限時，應力與應變成正比，式(6-18)為虎克定律的另—表達形式。第六章拉壓與剪切二、橫向變形與泊松比

如圖6.31所示，桿件變形前的橫向尺寸為b，變形后變?yōu)閎1，桿的橫向絕對變形為△b=b1－b，橫向應變

為試驗結果表明：當應力不超過比例極限時，橫向應變

與軸向應變ε之比的絕對值是一個常數。即μ稱為橫向變形系數或泊松比，是一個沒有量綱的量。

因為當桿件軸向伸長時橫向縮小，而軸向縮短時橫向增大，所以ε‘和ε的符號是相反的。（6-19）（6,20）第六章拉壓與剪切材

料E（GPa）μ低碳鋼合金鋼灰鑄鐵銅及其合金鋁合金196~216186~21678.5~15772.6~128700.25~0.330.24~0.330.23~0.270.31~0.420.33表7.2幾種常用材料的E和μ值第六章拉壓與剪切

例6-6變截面桿如圖所示。已知：A1=8cm2，A2=4cm2，E=200GPa。求桿件的總伸長l。221160kN40kN20020020kNA1A2解：(1)求內力。用截面法求出截面1-1、2-2桿的內力(2)求桿件的總伸長。由虎克定律可得第六章拉壓與剪切

例6-7圖示簡易支架，AB和CD桿均為鋼桿，彈性模量E=200GPa，AB長度為l1=2m，橫截面面積分別是A1=200mm2和A2=250mm2，P=10kN，求節(jié)點A的位移。B30o12CPA解：(a)求內力。用截面法求1、2桿的內力PAFN2FN130o(b)求1、2桿的變形。由虎克定律可得A4A3A2A1A(c)用切線代弧的方法求A點的位移。水平位移是：垂直位移是：A點的位移是：第六章拉壓與剪切6.7剪切與擠壓的實用計算一、剪切的實用計算

現在以圖6.36a所示的拖車掛鉤為例，若將載荷簡化到其對稱面（如圖6.36b），那么插銷的受力情況可概括為如圖7.36c所示的簡圖，其受力特點是：作用在構件兩側面上的橫向外力的合力大小相等，方向相反，作用線平行且相距很近。在這樣的外力作用下，其變形特點是：兩力間的橫截面發(fā)生相對錯動，這種變形形式叫做剪切。圖6.36第六章拉壓與剪切一、剪切的實用計算若掛鉤上作用的力P過大，插銷可能沿著平行力交界的截面m-n和p-q被剪斷，這個截面叫做剪切面。如圖6.36d所示。為保持平衡，在兩個剪切面內必然有與外力P大小相等，方向相反且與截面平行的內力存在，這個內力叫做剪力，用FS表示，它是剪切面上分布內力的總和。由于剪力與剪切面平行，因此其在剪切面上的分布應為切應力。在工程上，通常假設剪切面上的切應力均勻分布（如圖6.36e）。連接件的切應力和剪切強度條件分別為（6-21）（6-22）式中，AS為剪切面面積；[τ]為許用切應力。圖6.36第六章拉壓與剪切一、剪切的實用計算考慮到制造工藝和實際工作條件等因素，在設計規(guī)范中，對一些剪切構件的許用剪應力值作了規(guī)定。根據實驗，一般情況下，材料的許用切應力[τ]與許用拉應力[σ]之間有以下的關系：

對塑性材料[τ]＝(0.6~0.8)[σ]

對脆性材料[τ]＝(0.8~1.0)[σ]利用這一關系，可根據許用拉應力來估計許用切應力之值。第六章拉壓與剪切二、擠壓的實用計算在外力作用下，連接件和被連接的構件之間，必將在接觸面上相互壓緊，這種現象稱為擠壓。圖6.37就是鉚釘孔被壓成長圓孔的情況。在擠壓面上，應力分布一般也比較復雜。實用計算中，也是假設在擠壓面上應力均勻分布。以Pb表示擠壓面上傳遞的力，Abs表示擠壓面積，于是連接件的擠壓應力σbs和擠壓強度條件分別為（6-23）（6-24）圖6.37許用擠壓應力[σbs]與許用拉應力[σ]有以下的關系：

塑性材料

[σbs]=（1.5~2.5）[σ]

脆性材料

[σbs]=（0.9~1.5）[σ]第六章拉壓與剪切二、擠壓的實用計算如果兩個接觸構件的材料不同，應以連接中抵抗擠壓能力較低的構件來進行擠壓強度計算。當連接件與被連接構件的接觸面為平面時，公式中的Abs就是接觸面的實際面積。當接觸面為圓柱面時(如銷釘、鉚釘等與釘孔間的接觸面)，擠壓應力的分布情況如圖6.38a所示，最大應力在圓柱面的中點。實用計算中，以圓孔或圓柱的直徑平面面積td(即圖6.38b中畫陰影線的面積)除擠壓力Pb，則所得應力大致上與實際最大應力接近。圖6.38第六章拉壓與剪切

例6-8如圖所示電瓶車掛鉤由插銷連接。插銷材料為20鋼，[τ]＝30MPa，[