高中數(shù)學蘇教版第一章立體幾何初步單元測試 蘇教版 第一章 章末復習 教案

第1課時空間幾何體的表面積(1)直棱柱：側棱和底面垂直的棱柱．(2)正棱柱：底面為正多邊形的直棱柱．(3)正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點在底面的正投影是底面中心的棱錐．(4)正棱臺：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分.觀察下列多面體：問題1：直棱柱的側面展開圖是什么？提示：以底面周長為長，高為寬的矩形．問題2：正棱錐的側面展開圖是什么？提示：若干個全等的等腰三角形．問題3：正棱臺的側面展開圖是什么？提示：若干個全等的等腰梯形．幾個特殊的多面體的側面積公式(1)S直棱柱側＝ch(h為直棱柱的高)；(2)S正棱錐側＝eq\f(1,2)ch′(h′為斜高)；(3)S正棱臺側＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(h′為斜高).觀察下列旋轉體：問題1：圓柱的側面展開圖是什么？提示：以底面周長為長，高為寬的矩形．問題2：圓錐的側面展開圖是什么？提示：扇形．問題3：圓臺的側面展開圖是什么？提示：扇環(huán)．幾種旋轉體的側面積公式(1)S圓柱側＝cl＝2πrl．(2)S圓錐側＝eq\f(1,2)cl＝πrl．(3)S圓臺側＝eq\f(1,2)(c＋c′)h＝π(r＋r′)l．1．柱、錐、臺的表面積即全面積應為側面積與底面積的和．2．柱、錐、臺的側面積的求法要注意柱、錐、臺的幾何特性，必要時要展開．3．柱、錐、臺的側面積之間的關系(1)正棱柱、正棱錐、正棱臺側面積之間的關系：eq\x(S正棱柱側)eq\o(→,\s\up7(h′＝h),\s\do5(c′＝c))eq\x(S正棱臺側)eq\o(→,\s\up7(c′＝0))eq\x(S正棱錐側).(2)圓柱、圓錐、圓臺表面積之間的關系：eq\x(S圓柱側)eq\o(→,\s\up7(r1＝r2))eq\x(S圓臺側)eq\o(→,\s\up7(r1＝0))eq\x(S圓錐側).[例1]正四棱錐的側面積是底面積的2倍，高是3，求它的表面積．[思路點撥]由S側與S底的關系，求得斜高與底面邊長之間的關系，進而求出斜高和底面邊長，最后求表面積．[精解詳析]如圖，設PO＝3，PE是斜高，∵S側＝2S底，∴4·eq\f(1,2)·BC·PE＝2BC2.∴BC＝PE.在Rt△POE中，PO＝3，OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)PE.∴9＋(eq\f(PE,2))2＝PE2.∴PE＝2eq\r(3).∴S底＝BC2＝PE2＝(2eq\r(3))2＝12.S側＝2S底＝2×12＝24.∴S表＝S底＋S側＝12＋24＝36.[一點通]求棱錐、棱臺及棱柱的側面積和表面積的關鍵是求底面邊長，高，斜高，側棱．求解時要注意直角三角形和梯形的應用．1．已知一個三棱錐的每一個面都是邊長為1的正三角形，則此三棱錐的表面積為________．解析：三棱錐的每個面(正三角形)的面積都是eq\f(\r(3),4)，所以三棱錐的表面積為4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)2．底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為eq\r(2)，體對角線長為eq\r(6)，則這個棱柱的側面積是________．解析：設直棱柱底面邊長為a，高為h，則h＝eq\r(6－2)＝2，a＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，所以S棱柱側＝4×1×2＝8.答案：83．正四棱臺的高是12cm，兩底面邊長之差為10cm，表面積為512cm2，求底面的邊長．解：如圖，設上底面邊長為xcm，則下底面邊長為(x＋10)cm，在Rt△E1FE中，EF＝eq\f(x＋10－x,2)＝5(cm)．∵E1F＝12cm，∴斜高E1E＝13cm.∴S側＝4×eq\f(1,2)(x＋x＋10)×13＝52(x＋5)，S表＝52(x＋5)＋x2＋(x＋10)2＝2x2＋72x＋360.∵S表＝512cm2，∴2x2＋72x＋360＝512.解得x1＝－38(舍去)，x2＝2.∴x2＋10＝12.∴正四棱臺的上、下底面邊長分別為2cm、12cm.[例2]圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺的表面積是多少？[思路點撥]解答本題可先把空間問題轉化為平面問題，即在展開圖內求母線的長，再進一步代入側面積公式求出側面積，進而求出表面積．[精解詳析]如圖所示，設圓臺的上底面周長為c，因為扇環(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，∴S表面積＝S側＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺的表面積為1100πcm2.[一點通](1)求圓柱、圓錐和圓臺的側面積和表面積，只需求出上、下底半徑和母線長即可，求半徑和母線長時常借助軸截面．(2)對于與旋轉體有關的組合體的側面積和表面積問題，首先要弄清楚它是由哪些簡單幾何體組成，然后再根據(jù)條件求各個簡單組合體的半徑和母線長，注意方程思想的應用．4．若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個圓錐的全面積是________．解析：根據(jù)軸截面面積是eq\r(3)，可得圓錐的母線長為2，底面半徑為1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.答案：3π如圖所示，在底半徑為2，母線長為4的圓錐中內接一個高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積．解：設圓柱的底面半徑為x，圓錐高h＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，畫軸截面積圖(如圖)，則eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(2－x,2).故圓錐內接圓柱的底半徑x＝1.則圓柱的表面積S＝2π·12＋2π·1·eq\r(3)＝(2＋2eq\r(3))π.6．一個直角梯形的上、下底的半徑和高的比為1∶2∶eq\r(3)，求它繞垂直于上、下底的腰旋轉后形成的圓臺的上底面積、下底面積和側面積的比．解：如圖所示，設上、下底的半徑和高分別為x、2x、eq\r(3)x，則母線長l＝eq\r(（2x－x）2＋（\r(3)x）2)＝2x，∴S上底＝πx2，S下底＝π(2x)2＝4πx2，S側＝π(x＋2x)·2x＝6πx2，∴圓臺的上底面積、下底面積和側面積之比為1∶4∶6.1．正棱柱、正棱錐、正棱臺的所有側面都全等，因此求側面積時，可先求一個側面的面積，然后乘以側面的個數(shù)．2．棱臺是由棱錐所截得到的，因此棱臺的側面積可由大小棱錐側面積作差得到．3．旋轉體的軸截面是化空間問題為平面問題的重要工具，因為在軸截面中集中體現(xiàn)了旋轉體的“關鍵量”之間的關系．在推導這些量之間的關系時要注意比例性質的應用．課下能力提升(十)1．一個圓錐的底面半徑為2，高為2eq\r(3)，則圓錐的側面積為________．解析：S側＝πRl＝π×2×eq\r(（2\r(3)）2＋22)＝8π.答案：8π2．正三棱錐的底面邊長為a，高為eq\f(\r(3),3)a，則此棱錐的側面積為________．解析：如圖，在正三棱錐S-ABC中，過點S作SO⊥平面ABC于O點，則O為△ABC的中心，連結AO并延長與BC相交于點M，連結SM，SM即為斜高h′，在Rt△SMO中，h′＝eq\r(（\f(\r(3),3)a）2＋（\f(\r(3),6)a）2)＝eq\f(\r(15),6)a，所以側面積S＝3×eq\f(1,2)×eq\f(\r(15),6)a×a＝eq\f(\r(15),4)a2.答案：eq\f(\r(15),4)a23．一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側面積是32π，則母線長為________．解析：設圓臺的上、下底面半徑分別為r′、r，則母線l＝eq\f(1,2)(r′＋r)．∴S側＝π(r＋r′)·l＝π·2l·l＝2πl(wèi)2＝32π.∴l(xiāng)＝4.答案：44．一個圓柱的底面面積是S，其側面積展開圖是正方形，那么該圓柱的側面積為________．解析：設圓柱的底面半徑為R，則S＝πR2，R＝eq\r(\f(S,π))，底面周長c＝2πR.故圓柱的側面積為S圓柱側＝c2＝(2πR)2＝4π2eq\f(S,π)＝4πS.答案：4πS如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為________．解析：設正方體棱長為1，則其表面積為6，三棱錐D1-AB1C為正四面體，每個面都是邊長為eq\r(2)的正三角形，其表面積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(3)，所以三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為1∶eq\r(3).答案：1∶eq\r(3)6．以圓柱的上底中心為頂點，下底為底作圓錐，假設圓柱的側面積為6，圓錐的側面積為5，求圓柱的底面半徑．解：如圖所示，設圓柱底面圓的半徑為R，高為h，則圓錐的底面半徑為R，高為h，設圓錐母線長為l，則有l(wèi)＝eq\r(R2＋h2).①依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2πRh＝6，,πRl＝5，))②由①②，得R＝eq\f(2\r(π),π)，即圓柱的底面半徑為eq\f(2\r(π),π).7．設正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的全面積．解：設正三棱錐底面邊長為a，斜高為h′，如圖所示，過O作OE⊥AB，則SE⊥AB，即SE＝h′.∵S側＝2S底，∴eq\f(1,2)×3a×h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2，∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2，∴32＋(eq\f(\r(3),6)×eq\r(3)h′)2＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S側＝2S底＝18eq\r(3).∴S全＝S側＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).8.如圖所示，表示一個用鮮花做成的花柱，它的下面是一個直徑為1m、高為3m的圓柱形物體，上面是一個半球形體．如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝飾這個花柱大約需要多少朵鮮花(π取?解：圓柱形物體的側面面積S1≈×1×3＝(m2)，半球形物體的表面積為S2≈2××(eq\f(1,2))2≈(m2)，所以S1＋S2≈＋＝(m2)．10．9×150≈1635(朵)．答：裝飾這個花柱大約需要1635朵鮮花．第2課時空間幾何體的體積觀察下列幾何體：問題1：你能否求出上述幾何體的體積嗎？提示：能．問題2：要求上述幾何體的體積，需要知道什么？提示：底面積和高．柱體、錐體、臺體的體積公式(1)柱體體積：V柱體＝Sh．其中S為柱體的底面積，h為高．(2)錐體體積：V錐體＝eq\f(1,3)Sh．其中S為錐體的底面積，h為高．(3)臺體體積：V臺體＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)．其中S，S′分別為臺體的兩底面面積，h為臺體的高.2023年12月4日，阿迪達斯和國際足聯(lián)在開普敦共同發(fā)布2023年南非世界杯官方比賽用球“JABULANI”，“JABULANI”源于非洲祖魯語，意為“普天同慶”，新的比賽用球在技術上取得歷史性突破，設計上融入了南非元素．問題1：根據(jù)球的形成定義，體育比賽中用到的足球與數(shù)學中的球有何不同？提示：比賽中的足球是空心的，而數(shù)學中的球是實體球．問題2：給你一個足球能否計算出這個足球表皮面積和體積？提示：能，只要知道球的半徑即可求出．1．球的表面積設球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍．2．球的體積設球的半徑為R，則球的體積V＝eq\f(4,3)πR3．1．求柱、錐、臺的體積要注意底面積與高的確定，必要時注意分割．2．柱體、錐體、臺體之間體積公式的關系3．要求球的表面積，只需求出球的半徑．4．球的體積與球的半徑的立方成正比，即球的體積是關于球的半徑的增函數(shù)．[例1](1)底面為正三角形的直棱柱的側面的一條對角線長為2.且與該側面內的底邊所成的角為45°，求此三棱柱的體積．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝eq\r(2).求此四棱錐的體積．[思路點撥](1)由條件求出高和底面邊長，再利用公式求體積；(2)解本題的關鍵是求四棱錐的高，可證明PA⊥底面ABCD，再利用公式求體積．[精解詳析](1)如圖，由條件知此三棱柱為正三棱柱．∵正三棱柱的面對角線AB1＝2.∠B1AB＝45°.∴AB＝2×sin45°＝eq\r(2)＝BB1.∴V三棱柱＝S△ABC·BB1＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).(2)在△PAD中，PA＝AD＝1，PD＝eq\r(2)，∴PA2＋AD2＝PD2.∴PA⊥AD，又PA⊥CD，且AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD，從而PA是底面ABCD上的高，∴V四棱錐＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·PA＝eq\f(1,3)×12×1＝eq\f(1,3).[一點通]求柱體、錐體的體積，關鍵是求其高，對柱體而言，高常與側棱、斜高及其在底面的射影組成直角三角形，對棱錐而言，求高時，往往要用到線面垂直的判定方法，因為棱錐的高實際上是頂點向底面作垂線，垂線段的長度．1．一圓錐母線長為1，側面展開圖圓心角為240°，則該圓錐的體積為________．解析：設圓錐側面展開圖的弧長為l，則l＝eq\f(240°×π×1,180°)＝eq\f(4π,3).設圓錐的底面半徑為r，則eq\f(4π,3)＝2πr，r＝eq\f(2,3).V＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\r(12－\f(4,9))＝eq\f(4π,33)·eq\r(\f(5,9))＝eq\f(4\r(5),81)π.答案：eq\f(4\r(5),81)π2．一個正方體和一個圓柱等高并且側面積相等，則正方體與圓柱的體積之比為________．解析：設正方體棱長為1，則S正方體側＝S圓柱側＝4，設圓柱的底面半徑為r，則2πr×1＝4，r＝eq\f(2,π)，V正方體＝1，V圓柱＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,π)))eq\s\up12(2)·1＝eq\f(4,π).∴V正方體∶V圓柱＝π∶4.答案：π∶4[例2]圓臺上底的面積為16πcm2，下底半徑為6cm，母線長為10cm，那么，圓臺的側面積和體積各是多少？[思路點撥]解答本題作軸截面可以得到等腰梯形，為了得到高，可將梯形分割為直角三角形和矩形，利用它們方便地解決問題．[精解詳析]如圖，由題意可知，圓臺的上底圓半徑為4cm，于是S圓臺側＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．圓臺的高h＝BC＝eq\r(BD2－（OD－AB）2)＝eq\r(102－（6－4）2)＝4eq\r(6)(cm)，V圓臺＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS)′＋S′)＝eq\f(1,3)×4eq\r(6)×(16π＋eq\r(16π×36π)＋36π)＝eq\f(304\r(6)π,3)(cm3)．[一點通]求臺體的體積關鍵是求高，為此常將有關計算轉化為平面圖形(三角形或特殊四邊形)來計算．對于棱臺往往要構造直角梯形和直角三角形；在旋轉體中通常要過旋轉軸作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．3．正四棱臺兩底面邊長為20cm和10cm，側面積為780cm2，求其體積．解：如圖所示，正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中點E1，AB的中點E，連結E1E，則E1E是側面ABB1A1的高．設O1，O分別是上，下底面的中心，則四邊形EOO1E1是直角梯形．S側＝4×eq\f(1,2)×(10＋20)·E1E，即780＝60E1E，解得E1E＝13(cm)．在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5(cm)，OE＝eq\f(1,2)AB＝10(cm)，所以O1O＝eq\r(E1E2－（OE－O1E1）2)＝eq\r(132－52)＝12(cm)．所以V＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋eq\r(102×202))＝2800(cm3).[例3]一個球內有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2.求球的表面積．[思路點撥]由于題中沒有說明截面的位置，故需分類討論．[精解詳析](1)當截面在球心的同側時，如圖所示為球的軸截面．由球的截面性質知，AO1∥BO2，且O1，O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.設球的半徑為R.因為圓O2的面積為49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因為π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.設OO1＝x，則OO2＝(x＋9)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，所以，x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得x＝15.即R2＝x2＋202＝252.故S球＝4πR2＝2500π.所以，球的表面積為2500πcm2.當截面位于球心O的兩側時，如圖所示為球的軸截面．由球的截面性質知，O1A∥O2B，且O1，O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥O2B.設球的半徑為R.因為圓O2的面積為49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因為π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.設O1O＝x，則OO2＝(9－x)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72.所以x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合題意，舍去．綜上所述，球的表面積為2500πcm2.[一點通]球的截面性質：球心與截面圓心的連線垂直于截面，本題利用球的截面將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，借助于直角三角形中的勾股定理解決問題．4．(新課標全國卷Ⅰ)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為________cm3.解析：設球半徑為Rcm，根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面的距離為(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)cm3.答案：eq\f(500π,3)5．過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為________．解析：過球心作球的截面，如圖所示，設球的半徑為R，截面圓的半徑為r，則有r＝eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)R，則球的表面積為4πR2，截面的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)πR2，所以截面的面積與球的表面積的比為eq\f(\f(3,4)πR2,4πR2)＝eq\f(3,16).答案：eq\f(3,16)6．長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3，4，5，且它的八個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積和體積是多少？解：設球的半徑為R，則由已知得(2R)2＝32＋42＋52，故R2＝eq\f(25,2)，∴R＝eq\f(5,2)eq\r(2)，∴S球＝4πR2＝50π，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·(eq\f(5,2)eq\r(2))3＝eq\f(125,3)eq\r(2)π.1．求柱、錐、臺體的體積時，由條件畫出直觀圖，然后根據(jù)幾何體的特點恰當進行割補，可能使復雜問題變得直觀易求．2．求球與多面體的組合問題，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖．3．球的截面是一個圓面、圓心與球心的連線與截面圓垂直，且滿足d＝eq\r(R2－r2)(d為球心到截面圓的距離)．課下能力提升(十一)1．一個圓錐與一個球的體積相等，圓錐的底面半徑是球的半徑的3倍，圓錐的高與底面半徑之比為________．解析：設球的半徑為r，則圓錐的底面半徑是3r，設圓錐的高為h，則eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,3)π(3r)2h，解得h＝eq\f(4,9)r，所以圓錐的高與底面半徑之比為eq\f(4,27).答案：eq\f(4,27)2．如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是4π，那么圓柱的體積等于________．解析：設圓柱的底面半徑為r，則圓柱的母線長為2r，由題意得S圓柱側＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圓柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.答案：2π3．(福建高考)三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐P-ABC的體積等于________．解析：依題意有，三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·|PA|＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×3＝eq\r(3).答案：eq\r(3)4．在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°，若使△ABC繞直線BC旋轉一周，則所形成的幾何體的體積是________．解析：V＝V大圓錐－V小圓錐＝eq\f(1,3)π(eq\r(3))2(1＋－1)＝eq\f(3,2)π.答案：eq\f(3,2)π5．(天津高考)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上．若球的體積為eq\f(9π,2)，則正方體的棱長為________．解析：設正方體的棱長為x，其外接球的半徑為R，則由球的體積為eq\f(9π,2)，得eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9π,2)，解得R＝eq\f(3,2).由2R＝eq\r(3)x，得x＝eq\f(2R,\r(3))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF與平面AC的距離為2，求該多面體的體積．解：如圖，設G，H分別是AB，DC的中點，連結EG，EB，EC，EH，HG，HB，∵EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB＝GB，∴四邊形GBFE為平行四邊形，則EG∥FB，同理可得EH∥FC，GH∥BC，得三棱柱EGH-FBC和棱錐E-AGHD.依題意VE-AGHD＝eq\f(1,3)SAGHD×2＝eq\f(1,3)×3×eq\f(3,2)×2＝3，而VEGH-FBC＝3VB-EGH＝3×eq\f(1,2)VE-BCHG＝eq\f(3,2)VE-AGHD＝eq\f(9,2)，∴V多面體＝VE-AGHD＋VEGH-FBC＝eq\f(15,2).7．已知正四棱臺兩底面面積分別為80cm2和245cm2，截得這個正四棱臺的原棱錐的高是35cm，求正四棱臺的體積．解：如圖，SO＝35，A′O′＝2eq\r(5)，AO＝eq\f(7\r(5),2)，由eq\f(SO′,SO)＝eq\f(A′O′,AO)，得SO′＝eq\f(35×2\r(5),\f(7\r(5),2))＝20.∴OO′＝15.∴V正四棱臺＝eq\f(1,3)×15×(80＋eq\r(80×245)＋245)＝2325.即正四棱臺的體積為2325cm3.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高．(1)證明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝eq\r(6)，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱錐P-ABCD的體積．解：(1)證明：因為PH是四棱錐P-ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD內，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，故平面PAC⊥平面PBD.(2)因為ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝eq\r(6)，所以HA＝HB＝eq\r(3).因為∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝eq\r(6)，HD＝HC＝1，可得PH＝eq\r(3).等腰梯形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)AC×BD＝2＋eq\r(3).所以四棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)×(2＋eq\r(3))×eq\r(3)＝eq\f(3＋2\r(3),3).一、空間幾何體1．多面體與旋轉體(1)棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形．但是要注意“有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱”．(2)有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱錐．注意：一個棱錐至少有四個面，所以三棱錐也叫四面體．(3)棱臺是利用棱錐來定義的，用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到兩個幾何體，一個仍然是棱錐，另一個稱之為棱臺，截面叫做上底面，原棱錐的底面叫做下底面．注意：解決臺體常用“臺還原成錐”的思想．(4)將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線旋轉一周，形成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺，這條直線叫做軸，垂直于軸的邊旋轉一周而成的圓面叫做底面，不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做側面，無論旋轉到什么位置，這條邊都叫做母線．2．直觀圖畫水平放置的多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連結這些頂點就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結為確定點的位置的畫法．畫立體圖形與畫水平放置的平面圖形相比多了一個z軸，最大區(qū)別是空間幾何體的直觀圖有實線與虛線之分，而平面圖形的直觀圖全為實線．二、平面的基本性質1．平面的基本性質公理內容圖形符號公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內A∈α，B∈α?AB?α公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l公理3經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α公理3的三個推論推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．2．三個公理的主要作用(1)公理1的作用：①判斷直線是否在平面內，點是否在平面內．②用直線檢驗平面．(2)公理2的作用：①判定兩個平面是否相交；②證明點共線．(3)公理3的作用：①確定平面；②證明點線共面．三、空間直線與直線的位置關系空間兩條直線的位置關系有且只有相交、平行、異面三種．注意：兩直線垂直有“相交垂直”與“異面垂直”兩種．1．證明線線平行的方法(1)線線平行的定義；(2)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行；(3)線面平行的性質定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；(4)線面垂直的性質定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；(5)面面平行的性質定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.2．證明線線垂直的方法(1)線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角，在研究異面直線所成的角時，要通過平移把異面直線轉化為相交直線；(2)線面垂直的性質：a⊥α，b?α?a⊥b；(3)線面垂直的性質：a⊥α，b∥α?a⊥b.四、空間直線與平面的位置關系空間中直線與平面有三種位置關系：直線在平面內，直線與平面相交，直線與平面平行．注意：直線在平面外包括平行和相交兩種關系．1．證明線面平行的方法(1)線面平行的定義；(2)判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；(3)平面與平面平行的性質：α∥β，a?α?a∥β.2．證明線面垂直的方法(1)線面垂直的定義；(2)線面垂直的判定定理：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m，n?α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))?l⊥α；(3)面面平行的性質：α∥β，l⊥α?l⊥β；(4)面面垂直的性質定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.五、空間平面與平面的位置關系空間平面與平面的位置關系有且只有平行和相交兩種．1．證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β；(3)線面垂直的性質：垂直于同一條直線的兩個平面平行．2．證明面面垂直的方法(1)面面垂直的定義：兩個平面相交所成的二面角是直二面角；(2)面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.3．證明空間線面平行或垂直需注意三點(1)由已知想性質，由求證想判定；(2)適當添加輔助線(面)；(3)用定理時先明確條件，再由定理得出相應結論．六、空間幾何體的表面積和體積1．棱錐、棱臺、棱柱的側面積公式間的聯(lián)系eq\x(S正棱臺側＝\f(1,2)（c＋c′）h′)eq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(c′＝0),\s\do5()))eq\x(S正棱錐側＝\f(1,2)ch′)eq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(c＝c′),\s\do5(h＝h′)))eq\x(S正棱柱側＝ch)2．圓錐、圓臺、圓柱的側面積公式間的聯(lián)系eq\x(S圓臺側＝π（r′＋r）l)eq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(r′＝0),\s\do5()))eq\x(S圓錐側＝πrl)eq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(r′＝r),\s\do5()))eq\x(S圓柱側＝2πrl)3．錐、臺、柱的體積之間的聯(lián)系V臺體＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))heq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(S上＝0),\s\do5()))eq\x(V錐體＝\f(1,3)Sh)eq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(S上＝S下),\s\do5()))eq\x(V柱體＝Sh)4．球的表面積與體積設球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，體積V＝eq\f(4,3)πR3.一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1．下列幾何體是旋轉體的是________．①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體．答案：①④2．若兩個平面互相平行，則分別在這兩個平行平面內的直線________．解析：由于直線分別位于兩平行平面內，因此它們無公共點，因此它們平行或異面．答案：平行或異面3．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長l＝3，側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為________．解析：設圓臺較小底面半徑為r，則S側面積＝π(r＋3r)l＝84π，r＝7.答案：74．已知一個表面積為24的正方體，設有一個與每條棱都相切的球，則此球的體積為________．解析：設正方體的棱長為a，則6a2＝24，解得a＝2.又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的面對角線長2eq\r(2)等于球的直徑，則球的半徑是eq\r(2)，則此球的體積為eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.答案：eq\f(8\r(2),3)π5．一個三角形用斜二測畫法畫出來是一個邊長為1的正三角形，則此三角形的面積是________．解析：如圖所示，將△A′B′C′還原后為△ABC，由于O′C′＝eq\r(2)C′D′＝eq\r(2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),2)，所以CO＝2O′C′＝eq\r(6).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(6)＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)6．如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關系是________．解析：連結AC，由于四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD，又MC∩AC＝C，所以BD⊥平面AMC，所以MA⊥BD.答案：垂直7．已知直線a∥平面α，平面α∥平面β，則直線a與平面β的位置關系為________．解析：∵a∥α，α∥β，∴a∥β或a?β.答案：a∥β或a?β8．圓錐側面展開圖的扇形周長為2m，則全面積的最大值為________．解析：設圓錐底面半徑為r，母線為l，則有2l＋2πr＝2m.∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πrm.∴當r＝eq\f(πm,2（π2－π）)＝eq\f(m,2（π－1）)時，S全有最大值eq\f(πm2,4（π－1）).答案：eq\f(πm2,4（π－1）)9．已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，OK＝eq\f(3,2)，且圓O與圓K所在的平面所成的一個二面角為60°，則球O的表面積等于________．解析：如圖設點A為圓O和圓K公共弦的中點，則在Rt△OAK中，∠OAK為圓O和圓K所在的平面所成的二面角的一個平面角，即∠OAK＝60°.由OK＝eq\f(3,2)，可得OA＝eq\r(3)，設球的半徑為R，則(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(2)＝R2，解得R＝2，因此球的表面積為4π·R2＝16π.答案：16π如圖，二面角α-l-β的大小是60°，線段AB?α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是________．解析：如圖，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，連結OB，OC，則OC⊥l.設AB與β所成角為θ，則∠ABO＝θ，由圖得sinθ＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(AC,AB)·eq\f(AO,AC)＝sin30°·sin60°＝eq\f(\r(3),4).答案：eq\f(\r(3),4)11．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中錯誤的是________．①若m∥α，n∥α，則m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；③若m∥α，m∥β，則α∥β；④若m⊥α，n⊥α，則m∥n.解析：對于①，m，n均為直線，其中m，n平行于α，則m，n可以相交也可以異面，故①不正確；對于②，③，α，β還可能相交，故②，③錯；對于④，m⊥α，n⊥α，則同垂直于一個平面的兩條直線平行，故④正確．答案：①②③12．若一個圓柱、一個圓錐的底面直徑和高都等于一個球的直徑，則圓柱、球、圓錐的體積之比是________．解析：設球的半徑為R，圓柱、圓錐的底面半徑為r，高為h，則r＝R，h＝2R，V圓柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2×2R＝eq\f(2,3)πR3，所以V圓柱∶V球∶V圓錐＝2πR3∶eq\f(4,3)πR3∶eq\f(2,3)πR3＝3∶2∶1.答案：3∶2∶1如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF.解析：由題意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF⊥DF，設AF＝x，則A1F＝3a－x，由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得eq\f(AC,A1F)＝eq\f(AF,A1D)，即eq\f(2a,3a－x)＝eq\f(x,a).整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.答案：a或2a14．球O的球面上有四點S，A，B，C，其中O，A，B，C四點共面，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，則三棱錐S-ABC的體積的最大值為________．解析：記球O的半徑為R，作SD⊥AB于D，連線OD、OS，易求R＝eq\f(2,\r(3))，又SD⊥平面ABC，注意到SD＝eq\r(SO2－OD2)＝eq\r(R2－OD2)，因此要使SD最大，則需OD最小，而OD的最小值為eq\f(1,2)×eq\f(2,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，因此高SD的最大值是eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝1，又三棱錐S-ABC的體積為eq\f(1,3)S△ABC·SD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×SD＝eq\f(\r(3),3)SD，因此三棱錐S-ABC的體積的最大值是eq\f(\r(3),3)×1＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)二、解答題(本大題共6小題，共90分)15．(14分)圓柱的軸截面是邊長為5cm的正方形ABCD，圓柱側面上從A到C的最短距離是多少？解：如圖，底面半徑為eq\f(5,2)cm，母線長為5cm.沿AB展開，則C、D分別是BB′、AA′的中點．依題意AD＝π×eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)π.∴AC＝eq\r(（\f(5,2)π）2＋52)＝eq\f(5\r(π2＋4),2).∴圓柱側面上從A到C的最短距離為eq\f(5\r(π2＋4),2)cm.(14分)如圖所示，已知ABCD是矩形，E是以DC為直徑的半圓周上一點，且平面CDE⊥平面ABCD.求證：CE⊥平面ADE.證明：∵E是以DC為直徑的半圓周上一點，∴CE⊥DE.又∵平面CDE⊥平面ABCD，且AD⊥DC，∴AD⊥平面CDE.又CE?面CDE，∴AD⊥CE.又DE∩AD＝D，∴CE⊥平面ADE.(14分)(新課標全國卷Ⅱ)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點．(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)設AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱錐C-A1DE的體積．解：(1)證明：連結AC1交A1C于點F，則F為AC1中