組合選擇理論教學課件

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PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets2在無風險和有風險資產(chǎn)之間配置

Capitalallocationbetweenrisk-freeandriskyassets無風險資產(chǎn)risk-freeassets,指無違約風險.不排除利率風險，但由于持有期短，這些風險都可以忽略不計。風險資產(chǎn)：股票，長期債券，不動產(chǎn)等3

無風險資產(chǎn)F的收益率為rf=7%風險資產(chǎn)P的期望收益為E(rP)=15%,標準差為P=22%.P的風險溢價為E(rP)-rf=15%-7%=8%令資產(chǎn)組合C的收益率為rC有：組合C的期望收益為：組合C的風險：Riskypositionc=yP=22y4

根據(jù)σC=yσp，有y=c/p，將y代入組合的期望有E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]=rf+(σc/σp)[E(rp)-rf]=7+(8/22)σc

從式中知，組合的期望收益作為組合風險的函數(shù)是一條直線，其截距為rf，斜率S=[E(rp)-rf]

/p

。5可行集

PossibleCombinationsE(r)E(rp)=15%rf=7%22%0PFcE(rc)CCAL8%6

由F點引出，穿過P點的直線就是資本配置線（Capitalallocationline，CAL）,它表示所有可行的風險-收益組合。它的斜率為S＝表示對資產(chǎn)組合，單位風險增加對應的預期收益增加。因此，該斜率又稱為報酬－波動性比率，Reward-to-variabilityratio。一般認為這個值較大為好.因為它越大，資本配置線就越陡，即增加一單位風險可以增加更多的期望收益。7

如果投資者能以無風險利率rf＝7％借入，那么P點右邊的資產(chǎn)組合也是可行的。假定投資預算為30,000元,另外借入12,000元，投入到風險資產(chǎn)中,建立風險資產(chǎn)的杠桿頭寸(Leveragedposition),1-y=1-1.4=-0.4

反映出無風險資產(chǎn)是空頭(Shortposition),

E(rc)=7%+1.4×8%=18.2%處于P點右邊的點是什么？8

非政府部門不能以無風險利率借入資金。借款者的違約風險使得貸款者要求更高的利率。因此非政府投資者的借款成本高于7％.

假設為9％，則在借入資金的條件下，酬報與波動性比率，也就是CAL的斜率將為（15％－9％）/22％＝。因此，CAL在P點處被“彎曲”。9CALwithHigherBorrowingRateE(r)9%7%)S=.36)S=.27Pp=22%10

面對CAL，也即所有可行的風險-收益組合，投資者需要從中選擇一個最優(yōu)組合，這個選擇需要對風險和收益進行權衡trade-off。不同的風險偏好類型，選擇的組合就會不同。一般來說，投資者越厭惡風險，越將選擇風險少的資產(chǎn)組合，持有較多的無風險資產(chǎn)。11

投資者將通過選擇風險資產(chǎn)的配置比例y來使效用最大化。從一般意義上解決效用最大化問題，我們使用如下形式：12

最大化問題的解決是利用一階導數(shù)為零。最優(yōu)風險資產(chǎn)頭寸與風險厭惡水平、方差成反比，與風險溢價成正比。13

如例中：具有風險厭惡系數(shù)A＝4的投資者的最優(yōu)解：該投資者將以投資預算的41％投資于風險資產(chǎn)，59％投資于無風險資產(chǎn)。14資產(chǎn)組合選擇的幾何表達E(r)7PCALp=22U＝U＝U＝715CALwithRiskPreferencesE(r)7PLenderBorrowerp=22

ThelenderhasalargerAwhencomparedtotheborrowerA1A216E(r)9%7%)S=.36)S=.27Pp=22%

CALwithHigherBorrowingRate17小結1、把資產(chǎn)組合向無風險資產(chǎn)調整是降低風險的最簡單的方式，其他方法還包括分散化。2、資產(chǎn)組合的特征可以由S來表示，S也是CAL的斜率。如果借入利率高于貸出利率，CAL在P點被“彎曲”3、風險資產(chǎn)的最優(yōu)頭寸y*與風險厭惡水平、方差成反比，與風險溢價成正比。用圖形表示，這個資產(chǎn)組合處于無差異曲線與CAL的切點。18

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets19兩種風險資產(chǎn)的組合選擇考慮投資于兩個風險資產(chǎn)：債券D和股票E。投資于股票的份額為WE，剩下部分WD

＝1-WE

投資于債券。20

假定債券的預期收益8％，標準差為12％；股票的預期收益為13％，標準差為20％。21WEE(r)08％債券股票13％12WD-10122WE標準差012％1

23在各種相關系數(shù)下、兩種風險資產(chǎn)構成的可行集均值標準差ρ=1ρ=0ρ=-12425命題1：完全正相關的兩種資產(chǎn)構成的可行集是一條直線。證明：由資產(chǎn)組合的計算公式可得26兩種資產(chǎn)組合（完全正相關），當權重w1從1減少到0時可以得到一條直線，該直線就構成了兩種資產(chǎn)完全正相關的可行集（假定不允許買空賣空）。收益Erp風險σp27兩種資產(chǎn)完全負相關，即ρ12=-1，則有

28命題2：完全負相關的兩種資產(chǎn)構成的可行集是兩條直線，其截距相同，斜率異號。

證明：2930兩種證券完全負相關的圖示收益rp風險σp31兩種不完全相關的風險資產(chǎn)組合的可行集32在各種相關系數(shù)下、兩種風險資產(chǎn)構成的可行集

Erpσpρ=1ρ=0ρ=-1333種風險資產(chǎn)的組合二維表示當資產(chǎn)數(shù)量增加時，要保證資產(chǎn)之間兩兩完全正（負）相關是不可能的，因此，一般假設兩種資產(chǎn)之間是不完全相關（一般形態(tài)）。收益rp風險σp12334投資學第6章35收益rp風險σp不可能的可行集AB35風險資產(chǎn)組合的有效集在可行集中，有一部分投資組合從風險和收益兩個角度來評價，會明顯地優(yōu)于另外一些投資組合，其特點是在同種風險水平下，提供最大預期收益率；在同種收益水平下，提供最小風險。我們把滿足這兩個條件（均方準則）的資產(chǎn)組合，稱之為有效資產(chǎn)組合；由所有有效資產(chǎn)組合構成的集合，稱之為有效集或有效邊界。投資者的最優(yōu)資產(chǎn)組合將從有效集中產(chǎn)生，而對所有不在有效集內的其它投資組合則無須考慮。36整個可行集中，G點為最左邊的點。從G點沿可行集右上方的邊界直到整個可行集的最高點S，這一邊界線GS即是有效集。例如：Ｐ點與Ａ點比較起來，在相同風險水平下，可以提供更大的預期收益率；而與Ｂ點比較起來，在相同的收益水平下，Ｐ點承擔的風險又是最小的。37最優(yōu)風險資產(chǎn)組合1.由于一般投資者是風險厭惡，因此，最優(yōu)投資組合必定位于有效集邊界上，其他非有效的組合可以排除。2.雖然投資者都是風險厭惡的，但程度有所不同，因此，最終從有效邊界上挑選那一個資產(chǎn)組合，則取決于投資者的風險規(guī)避程度。3.度量投資者風險偏好的無差異曲線與有效邊界共同決定了最優(yōu)的投資組合。38PortfolioSelection&RiskAversionE(r)EfficientfrontierofriskyassetsMorerisk-averseinvestorU’’’U’’U’St.DevLessrisk-averseinvestor39

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets40一種無風險資產(chǎn)與風險組合構成的新組合我們已經(jīng)討論了由風險資產(chǎn)構成的組合，但未討論資產(chǎn)中加入無風險資產(chǎn)的情形。將無風險資產(chǎn)加入已經(jīng)構成的風險資產(chǎn)組合（風險基金）中，形成了一個無風險資產(chǎn)+風險基金的新組合，則可以證明：新組合的有效前沿將是一條直線41

E(r)FrfP

St.Dev不可行非有效風險組合的有效邊界42加入無風險資產(chǎn)后的最優(yōu)資產(chǎn)組合E(r)FrfAPQBCALSt.Dev43

期望收益標準差股票13％20％債券8％12％相關系數(shù)：無風險資產(chǎn)收益率：5％首先找出權重w1和w2，使CAL的斜率S最大44

約束條件：求最大化問題：45

代入數(shù)值得：46

已經(jīng)構造了一個最優(yōu)風險資產(chǎn)組合P，在這個最優(yōu)風險資產(chǎn)組合與國庫券產(chǎn)生的CAL下，我們根據(jù)投資者的類型A來計算投資于完整資產(chǎn)組合的最優(yōu)風險頭寸。一個風險厭惡相關系數(shù)A＝4的投資者，他的最優(yōu)風險頭寸為：47

因此，這個投資者將74.39%的預算投資于風險組合P，25.61%的預算投資于國庫券。風險資產(chǎn)組合P中包括40％的債券，債券的總比例為yW2=0.4×0.7439=29.76%;同樣，股票的權重yW1=0.6×0.7439=44.63%.E(rc)=0.2561×0.05+0.7439×0.11=9.46%=0.7439×14.2%=10.56%48PortfolioSelectionE(r)CALP5％風險資產(chǎn)的有效邊界C無差異曲線11％％9.46%10.56%F49E(r)FAPQCALSt.Dev具有無風險收益率借出但無借入情況下的資產(chǎn)組合選擇更多風險忍耐的投資者更少風險忍耐的投資者50E(r)FAPQBCALSt.Dev高風險忍耐的投資者中風險忍耐的投資者低風險忍耐的投資者利率不相等條件下的CAL：三段曲線。例如，經(jīng)紀人索要的保證金貸款利率就高于國庫券利率。51

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets52分離定理分離定理（Separationtheorem）：投資者的風險規(guī)避程度與其持有的風險資產(chǎn)組合的最優(yōu)構成是無關的。無論投資者的偏好如何，P點就是最優(yōu)風險資產(chǎn)組合。形象地說，F(xiàn)P直線將無差異曲線與風險資產(chǎn)組合的有效邊界分離了。風險厭惡較低的投資者可以多投資風險基金M，少投資無風險證券F，反之亦反。53分離定理對組合選擇的啟示由分離定理，資產(chǎn)組合選擇問題可以分為兩個獨立的工作，即資產(chǎn)選擇決策（Assetallocationdecision）和資本配置決策（Capitalallocationdecision）。資產(chǎn)選擇決策：在眾多的風險證券中選擇適當?shù)娘L險資產(chǎn)構成資產(chǎn)組合。資本配置決策：考慮資金在無風險資產(chǎn)和風險組合之間的分配。由分離定理，基金公司可以不必考慮投資者偏好的情況下，確定最優(yōu)的風險組合。54資產(chǎn)組合理論的優(yōu)點首次對風險和收益進行精確的描述，解決對風險的衡量問題，使投資學從藝術邁向科學。分散投資的合理性為基金管理提供理論依據(jù)。單個資產(chǎn)風險的重點是相對于組合的風險。從單個證券的分析，轉向組合的分析55資產(chǎn)組合理論的缺點當證券的數(shù)量較多時，計算量非常大，使模型應用受到限制。解的不穩(wěn)定性。重新配置的高成本。因此，馬克維茨及其學生夏普尋求改進的方法，這就是CAPM。56

假定需要分析n種股票，則按照均值－方差模型的要求需要估計：n個期望收益n個方差

(n2-n)/2個協(xié)方差若n＝50，總共為1325個若n＝100，總共為5150個