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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知過點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有().A.0 B.1 C.2 D.32.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.113.已知等差數(shù)列的公差為-2,前項(xiàng)和為,若,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為,則的最大值為()A.5 B.11 C.20 D.254.已知函數(shù),則()A. B. C. D.5.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的焦距為()A. B. C.6 D.86.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.7.設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約束條件,則的最小值為()A.2 B.24 C.16 D.148.若,,,點(diǎn)C在AB上,且,設(shè),則的值為()A. B. C. D.9.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.10.已知函數(shù),則()A. B.1 C.-1 D.011.函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示,圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn),且在軸上,則下列說法中正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且對于任意,滿足,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍為________.14.設(shè),則“”是“”的__________條件.15.某班星期一共八節(jié)課(上午、下午各四節(jié),其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動(dòng)),排課要求為:語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)各排一節(jié),從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰(上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法有__________種.16.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上,則實(shí)數(shù)的值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,是等差數(shù)列,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.(2)設(shè)函數(shù),若,且的最小值為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.20.(12分)如圖,在三棱錐中,,,,平面平面,、分別為、中點(diǎn).(1)求證:;(2)求二面角的大小.21.(12分)已知橢圓的短軸長為,左右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn),且當(dāng)時(shí),.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓上點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,過點(diǎn)作垂直于軸,垂足為,連接并延長交于另一點(diǎn),交軸于點(diǎn).(?。┣竺娣e最大值;(ⅱ)證明:直線與斜率之積為定值.22.(10分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,,,(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式﹔(2)設(shè),求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
設(shè)切點(diǎn)為,則,由于直線經(jīng)過點(diǎn),可得切線的斜率,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率,建立關(guān)于的方程,從而可求方程.【詳解】若直線與曲線切于點(diǎn),則,又∵,∴,∴,解得,,∴過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,求解曲線的切線的方程,其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點(diǎn)有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題目.3、D【解析】
由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減,再由余弦定理結(jié)合通項(xiàng)可求得首項(xiàng),即可求出前n項(xiàng)和,從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減,則,,中最大,最小,又,,為三角形的三邊長,且最大內(nèi)角為,由余弦定理得,設(shè)首項(xiàng)為,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前項(xiàng)和.故的最大值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查求前n項(xiàng)和的最值問題,同時(shí)還考查了余弦定理的應(yīng)用.4、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)解析式,先求得的值,再求得的值.【詳解】依題意,.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
依題意可得,再根據(jù)離心率求出,即可求出,從而得解;【詳解】解:∵雙曲線的離心率為,所以,∴,∴,雙曲線的焦距為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域,如下圖陰影部分,根據(jù)圖象,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),取得最小值,由,解得,即,所以的最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用,向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用.9、B【解析】
利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡,由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
由函數(shù),求得,進(jìn)而求得的值,得到答案.【詳解】由題意函數(shù),則,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題,其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式,代入求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象,求得函數(shù),再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象,可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)的一個(gè)對稱中心為,即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后求解數(shù)列的和,判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】當(dāng)時(shí),.所以數(shù)列從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列,,所以,,.,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),需滿足,且,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.14、充分必要【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí),有,故“”是“”的充分條件.當(dāng)時(shí),有,故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件,故答案為:充分必要.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷,可利用定義來判斷,也可以根據(jù)兩個(gè)條件構(gòu)成命題及逆命題的真假來判斷,還可以利用兩個(gè)條件對應(yīng)的集合的包含關(guān)系來判斷,本題屬于容易題.15、1344【解析】
分四種情況討論即可【詳解】解:數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時(shí)有:數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時(shí)有:數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時(shí)有:數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時(shí)有:所以共有1344種故答案為:1344【點(diǎn)睛】考查排列、組合的應(yīng)用,注意分類討論,做到不重不漏;基礎(chǔ)題.16、【解析】
求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo),并將該交點(diǎn)代入拋物線的方程,即可求出實(shí)數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為,則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為,漸近線方程為,所以,該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)為.由題意得,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線上的點(diǎn)求參數(shù),涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】試題分析:(1)先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差,得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可得,再利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析:(1)由題意知當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以.設(shè)數(shù)列的公差為,由,即,可解得,所以.(2)由(1)知,又,得,,兩式作差,得所以.考點(diǎn)1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;2、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于難題.“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn),利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn):①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件(一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積);②相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號;③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò);④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.18、(1);(2).【解析】
(1)令,求出的范圍,再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論;(2)對分類討論,分別求出以及的最小值或范圍,與的最小值建立方程關(guān)系,求出的值,進(jìn)而求出的取值關(guān)系.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,令,∵∴,而是增函數(shù),∴,∴函數(shù)的值域是.(2)當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,在上單調(diào)遞增,最小值為,而的最小值為,所以這種情況不可能.當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞減且沒有最小值,在上單調(diào)遞增最小值為,所以的最小值為,解得(滿足題意),所以,解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值,熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)(i)(ii)證明見解析【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論即可求解;(2)(i)結(jié)合(1)的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)求解參數(shù)取值范圍;(ii)設(shè),通過轉(zhuǎn)化,討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】(1)因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),的解集為,的解集為,所以的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為;(2)(i)由(1)可知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,至多一個(gè)零點(diǎn),不符題意,當(dāng)時(shí),因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn),所以,解得,因?yàn)?,且,所以存在,使得,又因?yàn)椋O(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,即,因?yàn)椋源嬖?,使得,綜上,;(ii)因?yàn)?,所以,因?yàn)椋?,設(shè),則,所以,解得,所以,所以,設(shè),則,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,所以,即,所以單調(diào)遞增,即隨著的增大而增大,所以隨著的增大而增大,命題得證.【點(diǎn)睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通過等價(jià)轉(zhuǎn)化證明與零點(diǎn)相關(guān)的命題.20、(1)證明見解析;(2)60°.【解析】試題分析:(1)連結(jié)PD,由題意可得,則AB⊥平面PDE,;(2)法一:結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角,計(jì)算可得其正切值為,故二面角的大小為;法二:以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算可得平面PBE的法向量.平面PAB的法向量為.據(jù)此計(jì)算可得二面角的大小為.試題解析:(1)連結(jié)PD,PA=PB,PDAB.,BCAB,DEAB.又,AB平面PDE,PE平面PDE,∴ABPE.(2)法一:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.則DEPD,又EDAB,PD平面AB=D,DE平面PAB,過D做DF垂直PB與F,連接EF,則EFPB,∠DFE為所求二面角的平面角,則:DE=,DF=,則,故二面角的大小為法二:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0),=(1,0,),=(0,,).設(shè)平面PBE的法向量,令,得.DE平面PAB,平面PAB的法向量為.設(shè)二面角的大小為,由圖知,,所以即二面角的大小為.21、(1);(2)(?。?;(ⅱ)證明見解析.【解析】
(1)由,解方程組即可得到答案;(2)(?。┰O(shè),,則,,易得,注意到,利用基本不等式得到的最大值即可得到答案;(ⅱ)設(shè)直線斜率為,直線方程為,聯(lián)立橢圓方程得到的坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算即可.【詳解】(1)設(shè),由,得.將代入,得,即,由,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,則,(?。┮字獮榈闹形痪€,所以,所以,又滿足,所以,得,故,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號,所以面積最大值為.(ⅱ)記直線斜率為,則直線斜率為,所以直線方程為.由,得
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