高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明單元測試 市一等獎

選修1-2第二章2.一、選擇題1．命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601065)()A．有兩個內(nèi)角是直角 B．有三個內(nèi)角是直角C．至少有兩個內(nèi)角是直角 D．沒有一個內(nèi)角是直角[答案]C[解析]“最多只有一個”的含義是“有且僅有一個或者沒有”，因此它的反面應(yīng)是“至少有兩個”．2．如果兩個數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601066)()A．一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù) B．都是正數(shù)C．不可能有負(fù)數(shù) D．至少有一個是正數(shù)[答案]D[解析]兩個數(shù)的和為正數(shù)，可以是一正一負(fù)，也可以是一正一為0，還可以是兩正，但不可能是兩負(fù)．3．否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”的正確反設(shè)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601067)()A．自然數(shù)a、b、c都是奇數(shù)B．自然數(shù)a、b、c都是偶數(shù)C．自然數(shù)a、b、c中至少有兩個偶數(shù)D．自然數(shù)a、b、c中或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)[答案]D[解析]恰有一個偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無偶數(shù)(全為奇數(shù))，其二是至少有兩個偶數(shù)．4．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，則下列不等式成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601068)()A．a(chǎn)2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(3) D．a(chǎn)bc(a＋b＋c)≤eq\f(1,3)[答案]B[解析]∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2＝a2＋b2＋c2＋2≥3.5．用反證法證明命題：三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60°時，應(yīng)假設(shè)eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601069)()A．三個內(nèi)角都不大于60° B．三個內(nèi)角都大于60°C．三個內(nèi)角至多有一個大于60° D．三個內(nèi)角至多有兩個大于60°[答案]B[解析]三個內(nèi)角至少有一個不大于60°，即有一個、兩個或三個不大于60°，其反設(shè)為都大于60°，故B正確．6．若a>b>0，則下列不等式中總成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601070)()A．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C．a(chǎn)＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)[答案]A[解析]可通過舉反例說明B、C、D均是錯誤的，或直接論證A選項正確．二、填空題7．設(shè)實數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個數(shù)不小于________.eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601071)[答案]eq\f(1,3)[解析]假設(shè)a、b、c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1，故a、b、c中至少有一個數(shù)不小于eq\f(1,3).8．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩名是對的，則獲獎的歌手是\x(導(dǎo)學(xué)號92601072)[答案]丙[解析]若甲獲獎，則甲、乙、丙、丁說的都是錯的，同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況，最后可知獲獎的歌手是丙．9．和兩條異面直線AB、CD都相交的兩條直線AC、BD的位置關(guān)系是\x(導(dǎo)學(xué)號92601073)[答案]異面[解析]假設(shè)AC與BD共面于平面α，則A、C、B、D都在平面α內(nèi)，∴AB?α，CD?α，這與AB、CD異面相矛盾，故AC與BD異面．三、解答題10．已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列.eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601074)[解析]假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，則有a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac).即(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0.所以eq\r(a)＝eq\r(c)，從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．一、選擇題1．下列命題不適合用反證法證明的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601075)()A．同一平面內(nèi)，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交B．兩個不相等的角不是對頂角C．平行四邊形的對角線互相平分D．已知x、y∈R，且x＋y>2，求證：x、y中至少有一個大于1[答案]C[解析]A中命題條件較少，不易正面證明；B中命題是否定性命題，其反設(shè)是顯而易見的定理；D中命題是至少性命題，其結(jié)論包含兩種情況，而反設(shè)只有一種情況，適合用反證法證明．2．設(shè)a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是P、Q、R同時大于零的eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601076)()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[答案]C[解析]若P>0，Q>0，R>0，則必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因為當(dāng)PQR>0時，若P、Q、R不同時大于零，則P、Q、R中必有兩個負(fù)數(shù)，一個正數(shù)，不妨設(shè)P<0，Q<0，R>0，即a＋b<c，b＋c<a，兩式相加得b<0，這與已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0.3．用反證法證明命題“設(shè)a、b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601077)()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根[答案]A[解析]至少有一個實根的否定為：沒有實根．4．下面的四個不等式：eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601078)①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤eq\f(1,4)；③eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個[答案]C[解析]∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，a(1－a)－eq\f(1,4)＝－a2＋a－eq\f(1,4)＝－(a－eq\f(1,2)2)≤0，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)只有當(dāng)eq\f(b,a)＞0時，才有eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立，∴應(yīng)選C．二、填空題5．在空間中有下列命題：①空間四點中有三點共線，則這四點必共面；②空間四點，其中任何三點不共線，則這四點不共面；③垂直于同一直線的兩直線平行；④兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中真命題是\x(導(dǎo)學(xué)號92601079)[答案]①[解析]四點中若有三點共線，則這條直線與另外一點必在同一平面內(nèi)，故①真；四點中任何三點不共線，這四點也可以共面，如正方形的四個頂點，故②假；正方體交于同一頂點的三條棱所在直線中，一條與另兩條都垂直，故③假；空間四邊形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如將平行四邊形ABCD沿對角線BD折起構(gòu)成空間四邊形，這時它的兩組對邊仍保持相等，故④假．6．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一點c，使f(c)>0，則實數(shù)p的取值范圍為\x(導(dǎo)學(xué)號92601080)[答案]p∈(－3，eq\f(3,2))[解析]解法一：(補集法)令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0,f1≤0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2p2＋p＋1≤0,－2p2－3p＋9≤0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p≤－\f(1,2)或p≥1,p≤－3或p≥\f(3,2)))，∴p≤－3或p≥eq\f(3,2)，∴實數(shù)p的取值范圍是－3<p<eq\f(3,2).解法二：(直接法)依題意，有f(－1)>0或f(1)>0，即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，∴－eq\f(1,2)<p<1或－3<p<eq\f(3,2)，∴－3<p<eq\f(3,2).三、解答題7．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1).eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601081)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．[解析]假設(shè)x0為方程f(x)＝0的負(fù)根，則有ax0＋eq\f(x0－2,x0＋1)＝0，即ax0＝eq\f(2－x0,x0＋1)＝eq\f(3－1＋x0,x0＋1)＝－1＋eq\f(3,x0＋1)，顯然x0≠－1.1°當(dāng)0>x0>－1時，1>x0＋1>0，eq\f(3,1＋x0)>3，－1＋eq\f(3,1＋x0)>2.而eq\f(1,a)<ax0<1，這是不可能的，即不存在0>x0>－1的解．2°當(dāng)x0<－1時，x0＋1<0，eq\f(3,1＋x0)<0，－1＋eq\f(3,1＋x0)<－1.而ax0>0，矛盾，即不存在x0<－1的解．綜上所述方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．8．用反證法證明：已知a、b均為有理數(shù)，且eq\r(a)和eq\r(b)都是無理數(shù)，求證：eq\r(a)＋eq\r(b)是無理數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號92601082)[解析]解法一：假設(shè)eq\r(a)＋eq\r(b)為有理數(shù)，令eq\r(a)＋eq\r(b)＝t，則eq\r(b)＝t－eq\r(a)，兩邊平方，得b＝t2－2teq\r(a)＋a，∴eq\r(a)＝eq\f(t2＋a－b,2t).∵a、b、t均為有理數(shù)，∴eq\f(t2＋a－b,2t)也是有理數(shù)．即eq\r(a)為有理數(shù)，這與已知eq\r(a)為無理數(shù)矛盾．故假設(shè)不成立．∴eq\r(a)＋eq\r(b)一定是無理數(shù)．解法二：假設(shè)eq\r(a)＋eq\r(b)為有理數(shù)，則(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))＝a－b.由a>0，b>0，得eq\r(a)＋eq\r(b)>0