流體力學(xué)第6章(7-11節(jié))教學(xué)教材

第七節(jié)理想流體的旋渦(xuánwō)運(yùn)動(dòng)如流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度ω≠0，則是有旋運(yùn)動(dòng)，也稱為旋渦運(yùn)動(dòng)。理想流體的流動(dòng)可以是有勢的，也可以是有旋的。但粘性流體的流動(dòng)一般是有旋的。第七-十節(jié)講述理想不可(bùkě)壓縮流體的旋渦運(yùn)動(dòng)，涉及的基本概念及定理有：渦線、渦管和渦束；渦通量和速度環(huán)量；斯托克斯定理；湯姆遜定理；亥姆霍茲定理；畢奧-沙伐爾公式；卡門渦街。第一頁，共64頁。一、渦線、渦管和渦束1.渦線定義：渦線是旋渦場中一條曲線，曲線上各點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)角速度矢量都與這一曲線相切。渦線的微分方程：第二頁，共64頁。2.渦管定義：在旋渦場中取一非渦線的閉曲線，通過這一閉曲線上每點(diǎn)作渦線，這些渦線形成了一封閉管狀曲面，稱為渦管。與渦管垂直(chuízhí)的斷面稱為渦管斷面。微小斷面的渦管稱為微元渦管。第三頁，共64頁。3.渦束渦管內(nèi)充滿著作旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束，微元渦管里的渦束稱為微元渦束。速度場速度流線流線的微分方程流管流束過流斷面旋渦場旋轉(zhuǎn)角速度渦線渦線的微分方程渦管渦束渦管斷面表征速度(sùdù)場和旋渦場的常用概念第四頁，共64頁。渦通量J(旋渦(xuánwō)強(qiáng)度)微元渦管內(nèi)的渦通量:二、渦通量和速度(sùdù)環(huán)量如果把旋轉(zhuǎn)角速度比擬(bǐnǐ)成速度，通過曲面的渦通量與通過一曲面的流量相類似。非渦管斷面通過任一有限曲面的渦通量為：第五頁，共64頁。2.速度環(huán)量Γ定義：某一瞬時(shí)在流場中取任意封閉曲線，在曲線上取一微元線段(xiànduàn)，速度在的切線上的分量沿閉曲線的線積分，即為沿該閉曲線的速度環(huán)量。第六頁，共64頁。一、斯托克斯定理(dìnglǐ)第八節(jié)理想流體旋渦運(yùn)動(dòng)的基本(jīběn)定理斯托克斯（Stokes）定理:沿封閉曲線(qūxiàn)的速度環(huán)量等于該封閉曲線(qūxiàn)內(nèi)所有渦通量的和。該定理將速度場和旋渦場之間聯(lián)系起來。第七頁，共64頁。證明(zhèngmíng)：先證明微元封閉曲線(qūxiàn)的斯托克斯定理。第八頁，共64頁。證明了微元封閉曲線的斯托克斯定理，即沿微元封閉曲線的速度環(huán)量等于(děngyú)通過該曲線所包圍的面積的渦通量。第九頁，共64頁。再證明此定理適用于有限大封閉曲線(qūxiàn)所包圍的單連通域。第十頁，共64頁。可將斯托克斯定理推廣至空間單連通(liántōng)區(qū)域。對于(duìyú)復(fù)連通區(qū)域，需要做一些變換。第十一頁，共64頁。因?yàn)?yīnwèi)得到(dédào)由斯托克斯定理(dìnglǐ)，有復(fù)連通區(qū)域的斯托克斯定理可以描述為：通過復(fù)連通域的渦通量等于沿這個(gè)區(qū)域的外周線的速度環(huán)量與所有內(nèi)周線的速度環(huán)量總和之差。第十二頁，共64頁。例試證明均勻(jūnyún)流的速度環(huán)量等于零。證明(zhèngmíng)：流體以等速度v∞水平(shuǐpíng)方向流動(dòng)，首先求沿矩形封閉曲線的速度環(huán)量其次求圓周線的速度環(huán)量同樣可以證明均勻流沿任何其它形狀的封閉曲線的速度環(huán)量等于零。第十三頁，共64頁。二、湯姆遜定理(dìnglǐ)和亥姆霍茲定理(dìnglǐ)流體線：在流場中任意指定的一段線，該線段在運(yùn)動(dòng)過程中始終(shǐzhōng)是由同樣的流體質(zhì)點(diǎn)所組成。研究旋渦(xuánwō)的隨體變化規(guī)律的途徑直接研究渦通量的隨體變化規(guī)律先直接研究速度環(huán)量的隨體變化規(guī)律，然后由斯托克斯定理求出渦通量的隨體變化規(guī)律stokes√第十四頁，共64頁。1、湯姆遜（Thomson）定理(dìnglǐ)正壓的理想流體在有勢質(zhì)量力的作用下沿任何封閉流體線的速度(sùdù)環(huán)量不隨時(shí)間變化，即。第十五頁，共64頁。證明(zhèngmíng)：流線體ⅠⅡⅠ式積分(jīfēn)為：第十六頁，共64頁。理想流體的運(yùn)動(dòng)(yùndòng)微分方程為：Ⅱ式積分(jīfēn)：質(zhì)量(zhìliàng)力有勢第十七頁，共64頁。因此(yīncǐ)正壓流體，定義(dìngyì)壓力函數(shù)有因?yàn)関、W、P均是時(shí)間空間(kōngjiān)坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)速度環(huán)量是常數(shù)，就證明了湯姆遜定理。第十八頁，共64頁。湯姆遜定理(dìnglǐ)得出結(jié)論：對于理想的正壓流體，在有勢質(zhì)量力作用下，旋渦不生不滅。湯姆遜定理的應(yīng)用——平面(píngmiàn)翼型起動(dòng)渦的問題。第十九頁，共64頁。1）亥姆霍茲第一(dìyī)定理在同一時(shí)刻，通過渦管任意斷面的渦通量相同。2、亥姆霍茲（Helmholtz）定理(dìnglǐ)包括了三個(gè)基本定理(dìnglǐ)，說明了旋渦的基本性質(zhì)。第二十頁，共64頁。證明(zhèngmíng)：在渦管表面(biǎomiàn)形成一空間封閉曲線ABB’A’A因?yàn)?yīnwèi)所以第二十一頁，共64頁。說明沿包圍渦管任一斷面封閉曲線(qūxiàn)的速度環(huán)量等于零。再由斯托克斯定理，這些速度環(huán)量都等于穿過這些封閉曲線(qūxiàn)所包圍的斷面的渦通量，因此，渦管各斷面上的渦通量都相同，即亥姆霍茲第一(dìyī)定理說明渦管在流體中既不能開始，也不能終止。第二十二頁，共64頁。渦管在流體中存在(cúnzài)的形式：a.首尾相連，形成(xíngchéng)封閉的渦環(huán)或渦圈；b.兩端(liǎnɡduān)可以終止于邊壁上（固體壁面或自由面）第二十三頁，共64頁。2）亥姆霍茲第二定理正壓的理想流體在有勢質(zhì)量力作用下，組成(zǔchénɡ)渦管的流體質(zhì)點(diǎn)將始終組成(zǔchénɡ)渦管（渦管永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)所組成(zǔchénɡ)）。第二十四頁，共64頁。沿這一閉曲線(qūxiàn)為邊界的曲面的渦通量也將為0，表明這一曲面仍然是渦管表面的一部分，即構(gòu)成渦管表面的流體質(zhì)點(diǎn)始終構(gòu)成渦管表面。證明(zhèngmíng)：在圖中的渦管表面取一閉曲線(qūxiàn)K，沿曲線(qūxiàn)K的速度環(huán)量為0。由湯姆遜定理，相同流體質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的封閉曲線的環(huán)量不變化，仍然是0。第二十五頁，共64頁。3）亥姆霍茲第三(dìsān)定理：正壓的理想流體在有勢質(zhì)量力作用下，渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間(shíjiān)而變化。

證明(zhèngmíng)：作任意封閉曲線L包圍渦管，根據(jù)斯托克斯定理，沿曲線L的速度環(huán)量等于通過該曲線所圍面積的渦通量。根據(jù)湯姆遜定理，速度環(huán)量不隨時(shí)間變化，因此，渦管的旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間變化。第二十六頁，共64頁。結(jié)論(jiélùn)：湯姆遜定理和亥姆霍茲三個(gè)定理完整地描述了旋渦運(yùn)動(dòng)(yùndòng)規(guī)律：正壓理想流體在有勢質(zhì)量力作用下，組成渦線和渦管的流體始終組成渦線和渦管，在運(yùn)動(dòng)(yùndòng)過程中，渦管強(qiáng)度保持不變。應(yīng)注意：上述運(yùn)動(dòng)規(guī)律的適應(yīng)性以及(yǐjí)實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)情況。第二十七頁，共64頁。第九節(jié)旋渦的誘導(dǎo)(yòudǎo)速度背景：旋渦集中于一條曲線附近的區(qū)域，該區(qū)域以外(yǐwài)流場是無旋的，可認(rèn)為旋渦集中分布在斷面積為A的渦管內(nèi)，渦管外形成誘導(dǎo)速度場。計(jì)算誘導(dǎo)速度(sùdù)借用電磁場的比奧-沙伐爾公式：磁場強(qiáng)度電流強(qiáng)度第二十八頁，共64頁。強(qiáng)度為Γ的任意形狀渦束對于(duìyú)任意點(diǎn)P的誘導(dǎo)速度為：速度(sùdù)方向由右手法則確定。長度為l的任意形狀(xíngzhuàn)渦束對于任意點(diǎn)P的誘導(dǎo)速度為：點(diǎn)P到dl的距離第二十九頁，共64頁。一、直線(zhíxiàn)渦束的誘導(dǎo)速度直線渦束AB在P點(diǎn)產(chǎn)生(chǎnshēng)的誘導(dǎo)速度為：第三十頁，共64頁。半無限(wúxiàn)長渦束：無限(wúxiàn)長渦束：第三十一頁，共64頁。二、平面渦層的誘導(dǎo)(yòudǎo)速度在無限流場中布置一渦列，這一渦列由多個(gè)無限長渦束無間隔地直線(zhíxiàn)排列而成，稱為渦層。設(shè)單位長度(chángdù)的旋渦密度為γ(x’)，則dx’上的渦通量為：微段dx’上的渦通量dΓ對P點(diǎn)的誘導(dǎo)速度為：第三十二頁，共64頁。在整個(gè)渦層AB上積分可得點(diǎn)P的誘導(dǎo)(yòudǎo)速度為：若γ(x’)為定值，且渦層沿x軸伸展到±∞，則P的誘導(dǎo)(yòudǎo)速度為：第三十三頁，共64頁。實(shí)際流體繞流一靜止圓柱時(shí)，流體在圓柱體表面分離后，將形成旋轉(zhuǎn)方向相反的排列(páiliè)規(guī)則的兩列旋渦流向下游，形成卡門渦街。第十節(jié)

卡門渦街第三十四頁，共64頁。駐點(diǎn)(zhùdiǎn)分離點(diǎn)第三十五頁，共64頁。第三十六頁，共64頁。第十一節(jié)空間(kōngjiān)勢流一、空間(kōngjiān)勢流的勢函數(shù)二、軸對稱流動(dòng)(liúdòng)的流函數(shù)四、圓球繞流五、軸對稱體繞流三、幾個(gè)基本軸對稱流動(dòng)的流函數(shù)第三十七頁，共64頁。一、空間(kōngjiān)勢流的勢函數(shù)勢函數(shù)Φ與速度(sùdù)之間的關(guān)系式為：將上述等式代入不可壓縮(yāsuō)流體的連續(xù)性方程：得到勢函數(shù)的拉普拉斯方程：邊界條件：物面上無窮遠(yuǎn)處

第三十八頁，共64頁。1、空間(kōngjiān)均勻流建立直角坐標(biāo)系(x,y,z)，設(shè)無窮遠(yuǎn)來流速度(sùdù)v∞與z軸平行，則速度(sùdù)分量為：勢函數(shù)為：如換成柱坐標(biāo)系（r,θ,z）和球坐標(biāo)系(R,θ,β)，則第三十九頁，共64頁。

x=rcosφ

y=rsinφz=z柱坐標(biāo)系(r,θ,z)與直角坐標(biāo)系(x,y,z)的轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)關(guān)系：第四十頁，共64頁。球坐標(biāo)系(R,θ,β)與直角坐標(biāo)系(x,y,z)的轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)關(guān)系：x=Rsinθcosβy=Rsinθsinβz=Rcosθ第四十一頁，共64頁。2、空間(kōngjiān)點(diǎn)源（點(diǎn)匯）建立球坐標(biāo)系(R,θ,β)，在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置(fàngzhì)一個(gè)空間點(diǎn)源（點(diǎn)匯），流量為q，則速度分量為：由于(yóuyú)球坐標(biāo)系下勢函數(shù)Φ的梯度公式為：對應(yīng)方向的單位矢量得到第四十二頁，共64頁。因此(yīncǐ)第四十三頁，共64頁。3、空間(kōngjiān)偶極子依據(jù)(yījù)勢流疊加原理，P點(diǎn)處的勢函數(shù)為第四十四頁，共64頁。滿足下面關(guān)系式才能(cáinéng)構(gòu)成偶極子流，即M為常數(shù)(chángshù)，稱為偶極子的強(qiáng)度或偶極矩偶極子的勢函數(shù)為：第四十五頁，共64頁。二、軸對稱流動(dòng)(liúdòng)的流函數(shù)軸對稱流動(dòng)：指流體在過某空間固定軸的所有平面上的運(yùn)動(dòng)情況完全相同的流動(dòng)。因此，只需要研究其中一個(gè)平面上的流動(dòng)就可以知道整個(gè)(zhěnggè)空間內(nèi)流體的運(yùn)動(dòng)情況。常見的軸對稱流動(dòng)有：圓管流動(dòng)、沿軸向流經(jīng)回轉(zhuǎn)體的流動(dòng)、水輪機(jī)葉輪內(nèi)的流動(dòng)。第四十六頁，共64頁。1、柱坐標(biāo)系(r,θ,z)的流函數(shù)(hánshù)Ψ(r,z)柱坐標(biāo)系中，不可(bùkě)壓縮流體軸對稱流動(dòng)的連續(xù)性方程為：定義流函數(shù)(hánshù)Ψ(r,z)，滿足第四十七頁，共64頁。2、球坐標(biāo)系(R,θ,β)的流函數(shù)(hánshù)Ψ(R,θ)球坐標(biāo)系中，不可壓縮流體(liútǐ)軸對稱流動(dòng)的連續(xù)性方程為：定義流函數(shù)(hánshù)Ψ(r,z)，滿足第四十八頁，共64頁。3、流函數(shù)(hánshù)的性質(zhì)1）等流函數(shù)(hánshù)線就是流線；2）在通過包含對稱軸線的流動(dòng)平面上，任意兩點(diǎn)的流函數(shù)值之差的2π倍，等于(děngyú)通過這兩點(diǎn)間的任意連線的回轉(zhuǎn)面的流量。證明：通過回轉(zhuǎn)面的流量為第四十九頁，共64頁。因?yàn)?yīnwèi)所以(suǒyǐ)第五十頁，共64頁。三、幾個(gè)(jǐɡè)基本軸對稱流動(dòng)的流函數(shù)1、均勻(jūnyún)流有一速度為v∞的空間均勻流，取z軸為流動(dòng)方向(fāngxiàng)，在球坐標(biāo)系(R,θ,β)中為一軸對稱流動(dòng)，流動(dòng)參數(shù)與β無關(guān)。第五十一頁，共64頁。式對R積分(jīfēn)，得到將上式對θ求導(dǎo)，得到(dédào)與②式比較(bǐjiào)，得到，即①②①令，最終空間均勻流的勢函數(shù)為第五十二頁，共64頁。2、空間(kōngjiān)點(diǎn)源（點(diǎn)匯）設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一點(diǎn)(yīdiǎn)源，強(qiáng)度為q?？臻g點(diǎn)P(R,θ,β)的速度矢量為積分(jīfēn)得到第五十三頁，共64頁。3、空間(kōngjiān)偶極子空間(kōngjiān)偶極子的勢函數(shù)為積分(jīfēn)得到第五十四頁，共64頁。四、圓球繞流奇點(diǎn)法：將簡單(jiǎndān)勢流如均勻流、點(diǎn)源（匯）、偶極子等進(jìn)行疊加，對較復(fù)雜的勢流問題進(jìn)行求解的方法。第五十五頁，共64頁。零流線方程(fāngchéng)為：球面(qiúmiàn)方程球面(qiúmiàn)的半徑偶極子的強(qiáng)度因此，流函數(shù)為第五十六頁，共64頁。勢函數(shù)為流場中速度(sùdù)分布為球面上（R=a）的速度(sùdù)分布為當(dāng)θ=0，π時(shí)，vR=0,vθ=0，即A、B兩點(diǎn)為駐點(diǎn)(zhùdiǎn)。第五十七頁，共64頁。圓球繞流的表面(biǎomiàn)速度的最大值圓柱繞流的表面(biǎomiàn)速度的最大值球面壓強(qiáng)分布(fēnbù)，由伯努利方程求出壓強(qiáng)系數(shù)壓強(qiáng)對稱分布，因此球面所受的合力為零。第五十八頁，共64頁。五、軸對稱體（回轉(zhuǎn)(huízhuǎn)體）繞流依然采用奇點(diǎn)法分析，需要尋找適當(dāng)?shù)幕緞?/p>