中考數(shù)學第17節(jié)銳角三角函數(shù)及其應用

第17節(jié)銳角三角函數(shù)及其應用第四章三角形2016年中考復習典例探究考點梳理課前預習陜西中考課前預習D1.（2015?牡丹江）在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，則BC邊長為（）A．7B．8C．8或17D．7或17考點：解直角三角形．專題：分類討論．分析：首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得∠B的度數(shù)，然后分銳角三角形和鈍角三角形分別求得BD和CD的長后即可求得線段BC的長．解答:解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，當△ABC為鈍角三角形時，如圖1，課前預習∵AB=12，∠B=45°，∴AD=BD=12，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；當△ABC為銳角三角形時，如圖2，BC=BD+CD=12+5=17，故選D．點評：本題考查了解直角三角形的知識，能從中整理出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵，難點為分類討論，難點中等．課前預習2.（2015?孝感一模）如圖，在△ABC中，AC=2，∠A=45°，tanB=，則BC的長為

．考點：解直角三角形．分析：過點C作CD⊥AB于D，利用∠A的正弦值求出CD，再根據(jù)∠B的正切值求出BD，利用勾股定理列式求出BC的長．解答：解：如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵AC=2，∠A=45°，∴CD=AC?sin∠A=2?sin45°=2×=，∵tanB=，∴BD===2，∴BC===．故答案為．

點評：本題考查了解直角三角形，作輔助線構(gòu)造出兩個直角三角形是解題的關(guān)鍵．課前預習10003.（2015?邵陽）如圖，某登山運動員從營地A沿坡角為30°的斜坡AB到達山頂B，如果AB=2000米，則他實際上升了

米．考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題．分析：過點B作BC⊥水平面于點C，在Rt△ABC中，根據(jù)AB=200米，∠A=30°，求出BC的長度即可．解答：解：過點B作BC⊥水平面于點C，在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°，∴BC=ABsin30°=2000×=1000．故答案為：1000．點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識進行求解．課前預習1374.（2015?荊州）如圖，小明在一塊平地上測山高，先在B處測得山頂A的仰角為30°，然后向山腳直行100米到達C處，再測得山頂A的仰角為45°，那么山高AD為

米（結(jié)果保留整數(shù)，測角儀忽略不計，≈1.414，≈1.732）考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．解答：解：如圖，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，設AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴x=（x+100），∴x=50（+1）≈137，即山高AD為137米．故答案為137．課前預習5.（2015?黔東南州）如圖，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測到燈塔M在北偏東60°方向上，且AM=100海里．那么該船繼續(xù)航行

海里可使?jié)O船到達離燈塔距離最近的位置．考點：解直角三角形的應用-方向角問題．分析：過M作東西方向的垂線，設垂足為N．由題易可得∠MAN=30°，在Rt△MAN中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AN的長即可．解答：解：如圖，過M作東西方向的垂線，設垂足為N．易知：∠MAN=90°=30°．在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，課前預習在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，∴AN=AM?cos∠MAN=100×=50海里．故該船繼續(xù)航行50海里可使?jié)O船到達離燈塔距離最近的位置．故答案為50．點評：本題主要考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，三角函數(shù)的定義，利用垂線段最短的性質(zhì)作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．1．解直角三角形(1)解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即3條邊和2個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形.(2)直角三角形的解法直角三角形解法按直角外已知2個元素的不同情況可大致分為四種類型：①已知一條直角邊和一個銳角(如a，∠A)其解法為：∠B=90°-∠A,c2=

.②已知斜邊和一個銳角(如c,∠A)其解法為：∠B=90°-∠A,a=

.③已知兩直角邊(如a，b)，其解法為：c2=a2+b2,tanA=

．a(chǎn)2+b2c·sinA考點梳理考點梳理考點1

解直角三角形課堂精講A1.（2015?荊門）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為邊AC的中點，DE⊥BC于點E，連接BD，則tan∠DBC的值為（）考點：解直角三角形；等腰直角三角形．分析：利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通過解直角△DBE來求tan∠DBC的值．課堂精講解答：解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．又∵點D為邊AC的中點，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于點E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．∴tan∠DBC===．故選：A．

點評：本題考查了解直角三角形的應用、等腰直角三角形的性質(zhì)．通過解直角三角形，可求出相關(guān)的邊長或角的度數(shù)或三角函數(shù)值．課堂精講2.（2015?桂林）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足為D，則tan∠BCD的值是

．考點：解直角三角形．分析：先求得∠A=∠BCD，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解即可．解答：解：在Rt△ABC與Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．∴∠A=∠BCD．∴tan∠BCD=tan∠A===．故答案為．點評：本題考查了解直角三角形，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，因而求一個角的函數(shù)值，可以轉(zhuǎn)化為求與它相等的其它角的三角函數(shù)值．課堂精講3.（2015?湖北）如圖，AD是△ABC的中線，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC的長；（2）sin∠ADC的值．考點：解直角三角形．分析：（1）過點A作AE⊥BC于點E，根據(jù)cosC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根據(jù)tanB=，求出BE的長即可；（2）根據(jù)AD是△ABC的中線，求出BD的長，得到DE的長，得到答案．課堂精講解答：解：過點A作AE⊥BC于點E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC?cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中線，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．

點評：本題考查的是解直角三角形的知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意銳角三角函數(shù)的概念的正確應用．考點2解直角三角形的應用課堂精講4.（2015?佛山）如圖，在水平地面上豎立著一面墻AB，墻外有一盞路燈D．光線DC恰好通過墻的最高點B，且與地面形成37°角．墻在燈光下的影子為線段AC，并測得AC=5.5米．（1）求墻AB的高度（結(jié)果精確到0.1米）；（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）（2）如果要縮短影子AC的長度，同時不能改變墻的高度和位置，請你寫出兩種不同的方考點：解直角三角形的應用．分析：（1）由AC=5.5，∠C=37°根據(jù)正切的概念求出AB的長；（2）從邊和角的角度進行分析即可．課堂精講解答：解：（1）在Rt△ABC中，AC=5.5，∠C=37°，tan∠C=，∴AB=AC?tanC=5.5×0.75≈4.1；（2）要縮短影子AC的長度，增大∠C的度數(shù)即可，即第一種方法：增加路燈D的高度，第二種方法：使路燈D向墻靠近．點評：本題考查的是解直角三角形的知識，正確理解銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，注意在直角三角形中，邊角之間的關(guān)系的運用．課堂精講5.（2015?茂名）如圖，一條輸電線路從A地到B地需要經(jīng)過C地，圖中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因線路整改需要，將從A地到B地之間鋪設一條筆直的輸電線路．（1）求新鋪設的輸電線路AB的長度；（結(jié)果保留根號）（2）問整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了多少千米？（結(jié)果保留根號）考點：解直角三角形的應用．專題：應用題．分析：（1）過C作CD⊥AB，交AB于點D，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出CD與AD的長，在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD的長，由AD+DB求出AB的長即可；（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的長，由AC+CB﹣AB即可求出輸電線路比原來縮短的千米數(shù)．課堂精講解答：解：（1）過C作CD⊥AB，交AB于點D，在Rt△ACD中，CD=AC?sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC?cos∠CAD=20×=10（千米），在Rt△BCD中，BD===10（千米），∴AB=AD+DB=10+10=10（+1）（千米），則新鋪設的輸電線路AB的長度10（+1）（千米）；（2）在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得：BC==10（千米），∴AC+CB﹣AB=20+10﹣（10+10）=10（1+﹣）（千米），則整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了10（1+﹣）千米．

點評：此題考查了解直角三角形的應用，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．課堂精講6.（2015?泰州）如圖，某倉儲中心有一斜坡AB，其坡度為i=1：2，頂部A處的高AC為4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平寬度BC；（2）矩形DEFG為長方體貨柜的側(cè)面圖，其中DE=2.5m，EF=2m，將該貨柜沿斜坡向上運送，當BF=3.5m時，求點D離地面的高．（≈2.236，結(jié)果精確到0.1m）考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題．分析：（1）根據(jù)坡度定義直接解答即可；（2）作DS⊥BC，垂足為S，且與AB相交于H．證出∠GDH=∠SBH，根據(jù)=，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的長，然后求出BH=5m，進而求出HS，然后得到DS．課堂精講解答：解：（1）∵坡度為i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m．（2）作DS⊥BC，垂足為S，且與AB相交于H．∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∴=，∵DG=EF=2m，∴GH=1m，∴DH==m，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m，設HS=xm，則BS=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m，∴DS=+=2m≈4.5m．

點評：本題考查了解直角三角形的應用﹣﹣坡度坡角問題，熟悉坡度坡角的定義和勾股定理是解題的關(guān)鍵．課堂精講7.（2015?珠海）如圖，某塔觀光層的最外沿點E為蹦極項目的起跳點．已知點E離塔的中軸線AB的距離OE為10米，塔高AB為123米（AB垂直地面BC），在地面C處測得點E的仰角α=45°，從點C沿CB方向前行40米到達D點，在D處測得塔尖A的仰角β=60°，求點E離地面的高度EF．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)≈1.4，≈1.7）考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．分析：在直角△ABD中，利用三角函數(shù)求得BD的長，則CF的長即可求得，然后在直角△CEF中，利用三角函數(shù)求得EF的長．課堂精講解答：解：在直角△ABD中，BD===41（米），則DF=BD﹣OE=41﹣10（米），CF=DF+CD=41﹣10+40=41+30（米），則在直角△CEF中，EF=CF?tanα=41+30≈41×1.7+30≈99.7≈100（米）．答：點E離地面的高度EF是100米．點評：本題考查仰角的定義，要求學生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．課堂精講8.（2015?恩施州）如圖，某漁船在海面上朝正西方向以20海里/時勻速航行，在A處觀測到燈塔C在北偏西60°方向上，航行1小時到達B處，此時觀察到燈塔C在北偏西30°方向上，若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置，求此時漁船到燈塔的距離（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）考點：解直角三角形的應用-方向角問題．分析：過點C作CD⊥AB于點D，則若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置為CD的長度，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系進行求解即可．課堂精講解答：解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D，AB=20×1=20（海里），∵∠CAF=60°，∠CBE=30°，∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°﹣∠CAF=30°，∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°，∴∠C=∠CAB，∴BC=BA=20（海里），∠CBD=90°﹣∠CBE=60°，∴CD=BC?sin∠CBD=≈17（海里）．點評：此題主要考查了方向角問題，熟練應用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．廣東中考9.

（2010廣東）如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=4，cosB=，則AC=

．解析：∵在Rt△ABC中，cosB=

，∴sinB=

，tanB=

=

．∵在Rt△ABD中AD=4，∴AB=

．在Rt△ABC中，∵tanB=

，∴AC=

×

=5．5廣東中考10.

（2009廣東）如圖所示，A、B兩城市相距100km，現(xiàn)計劃在這兩座城市間修建一條高速公路（即線段AB），經(jīng)測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請問計劃修建的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1．414）解析：過點P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC都可以根據(jù)三角函數(shù)用PC表示出來．根據(jù)AB的長，得到一個關(guān)于PC的方程，解出PC的長．從而判斷出這條高速公路會不會穿越保護區(qū)．廣東中考答案：解：過點P作PC⊥AB，C是垂足．則∠APC=30°，∠BPC=45°，AC=PC?tan30°，BC=PC?tan45°．∵AC+BC=AB，∴PC?tan30°+PC?tan45°=100km，∴

PC=100，∴PC=50（3﹣

）≈50×（3﹣1.732）≈63.4km＞50km．答：森林保護區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護區(qū)的半徑，所以計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護區(qū)．規(guī)律總結(jié)：方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成北（南）偏東（西）××度．廣東中考11.（2011廣東）如圖，小明家在A處，門前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l，AB是A到l的小路，現(xiàn)新修一條路AC到公路l，小明測量出∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m，請你幫小明計算他家到公路l的距離AD的長度（精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）解析：根據(jù)AD=x，得出BD=x，進而利用解直角三角形的知識解決，注意運算的正確性．廣東中考答案：解：假設AD=x，AD⊥DC,∠ABD=45°∵AD=x，∴BD=x，∵∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m，∴tan30°==，∴