第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1

概述2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)主要要求：

理解邏輯值1和0的含義。2.1概述理解邏輯體制的含義。邏輯代數(shù)中的邏輯變量和函數(shù)只有1和0兩種可能取值，1和0不表示數(shù)量大小，僅表示兩種相反的狀態(tài)。

注意二、邏輯體制

正邏輯體制負(fù)邏輯體制規(guī)定高電平為邏輯1、低電平為邏輯0規(guī)定低電平為邏輯1、高電平為邏輯0通常未加說明，則為正邏輯體制用于描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，又稱布爾代數(shù)(BooleAlgebra)或開關(guān)代數(shù)。由英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治布爾創(chuàng)建一、邏輯代數(shù)主要要求：

掌握邏輯代數(shù)的三種基本運(yùn)算及其復(fù)合邏輯運(yùn)算。2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算一、基本邏輯運(yùn)算

基本邏輯運(yùn)算

與邏輯或邏輯非邏輯與運(yùn)算(邏輯乘)

或運(yùn)算(邏輯加)

非運(yùn)算(邏輯非)

1.與邏輯

決定某一事件的所有條件都具備時(shí)，該事件才發(fā)生滅斷斷亮合合滅斷合滅合斷燈

Y開關(guān)

B開關(guān)

A開關(guān)

A、B都閉合時(shí)，燈

Y才亮。

1.與邏輯

決定某一事件的所有條件都具備時(shí)，該事件才發(fā)生滅斷斷亮合合滅斷合滅合斷燈

Y開關(guān)

B開關(guān)

A規(guī)定:開關(guān)閉合為邏輯1斷開為邏輯0燈亮為邏輯1燈滅為邏輯0

真值表111YAB000001010邏輯表達(dá)式Y(jié)=A·B或Y=AB與門

(ANDgate)若有0出0；若全1出1

AA=A1A=A0A=02.或邏輯

決定某一事件的諸條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上具備時(shí)，該事件就發(fā)生。滅亮亮亮斷斷合合斷合合斷燈

Y開關(guān)

B開關(guān)

A若有1出1若全0出0

000111YA

B101110邏輯表達(dá)式Y(jié)=A+B

或門

(ORgate)1+A=10+A=AA+A=A3.非邏輯決定某一事件的條件滿足時(shí)，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。開關(guān)閉合時(shí)燈滅，開關(guān)斷開時(shí)燈亮。

AY0110非門(NOTgate)又稱“反相器”1′

=0;0′=1AA′=0A+A′=1(A′)′=A4.幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算與非(NAND)由基本邏輯運(yùn)算組合而成

先與后非若有

0

出

1若全

1

出

0100011YA

B1011104、幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算或非(NOR)先或后非若有

1

出

0若全

0

出

1011100YA

B001010上節(jié)課回顧邏輯代數(shù)的三種基本邏輯運(yùn)算關(guān)系4、幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算與或非(AND–OR–INVERT)先與后或再非異或Y=AB同或Y=A⊙B兩個(gè)變量的異或運(yùn)算和同或運(yùn)算之間是什么邏輯關(guān)系？4、幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算若相異出1若相同出0000011YAB101110若相同出1若相異出0100111YAB001010[例]試對(duì)應(yīng)輸入信號(hào)波形分別畫出下圖各電路的輸出波形。解：Y1有0出0全1出10110011000110011Y2Y3相同出

0相異出

12.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式掌握邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式。

2.3.1基本公式根據(jù)與、或、非的定義，得表2.3.1的布爾恒等式序號(hào)公式序號(hào)公式101′

=0;0′=110A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A公式（17）的證明（公式推演法）：A+BC=(A+B)(A+C)111111111100[例]

證明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法0000ABCA+BC(A+B)(A+C)0000010100111001011101112.3.2若干常用公式序號(hào)公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′思考：(1)若已知

A+B=A+C，則

B=C嗎？

(2)若已知

AB=AC，則B=C嗎？

掌握邏輯代數(shù)的基本定理。

2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4邏輯代數(shù)的基本定理------在任何一個(gè)包含A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。2.4.1代入定理應(yīng)用舉例：

式（17）A+BC=(A+B)(A+C)

A+B(CD)

=(A+B)(A+C)(A+D)

利用代入定理能擴(kuò)展基本公式和常用公式。

=(A+B)(A+CD)-------對(duì)任一邏輯式2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.2反演定理2、反邏輯式保留原邏輯式的運(yùn)算優(yōu)先順序1、原邏輯式中不屬于單個(gè)變量的上的反號(hào)保留不變注意2.4.2反演定理應(yīng)用舉例：例如：定義：對(duì)于任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中的“”換成“+”，“+”換成“”，“1”換成“0”，“0”換成“1”，則得到的結(jié)果就是Y的對(duì)偶式Y(jié)D.若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。A+BC=(A+B)(A+C)2.4.3、對(duì)偶定理YD=A（B+C）Y=A+BCF=（A+B)(A+C）FD=AB+AC所以:注意1、對(duì)偶式保留原邏輯式的運(yùn)算優(yōu)先順序2、對(duì)偶式只變換原邏輯式運(yùn)算符和常量，其變量是不變的。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法主要要求：

理解并初步掌握邏輯函數(shù)的建立和表示的方法。

掌握真值表、邏輯式和邏輯圖的特點(diǎn)及其相互轉(zhuǎn)換的方法。

Y=F(A,B,C,······)------以函數(shù)的形式描述某個(gè)邏輯事件結(jié)果與原因之間的關(guān)系，即為邏輯函數(shù)。邏輯函數(shù)以邏輯變量為輸入，運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.1邏輯函數(shù)（logicfunction）邏輯函數(shù)描述形式:真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖、電壓波形圖和卡諾圖等表示。2.5.2邏輯函數(shù)的表示方法舉例：舉重裁判電路000001010011100101110111ABCY00000111舉例：舉重裁判電路ototototABCY電壓波形圖上節(jié)課回顧幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本定理邏輯函數(shù)的表示方法及不同表示方法之間的轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)不同表示方法間的相互轉(zhuǎn)換：舉重裁判電路的真值表A=1,B=0,C=1A=1,B=1,C=0A=1,B=1,C=1這三種取值的任何一種都使Y=1ABCY00000010010001101000101111011111真值表邏輯式使AB′C=1使ABC′=1使ABC=1所以Y=?Y=AB′C+ABC′+ABCA′B′C′A′B′CA′BC′A′BCAB′C′AB′CABC′ABC最小項(xiàng)全部最小項(xiàng)之和等于1Y=AB+ACY=A（B+C）將真值表中使Y=1的最小項(xiàng)相加真值表邏輯式ABY0000110110異或Y=ABABY0010100011同或Y=A⊙B各種表示方法的相互轉(zhuǎn)換：用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符。邏輯式邏輯圖各種表示方法的相互轉(zhuǎn)換：從輸入到輸出逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)算式。邏輯圖邏輯式各種表示方法的相互轉(zhuǎn)換：把輸入變量取值的所有組合逐個(gè)代入邏輯式中求出Y，列表邏輯式真值表各種表示方法的相互轉(zhuǎn)換：ABY0001010011波形圖真值表ototototABCY００００００１０１００１１１００１０１１１０１１１０００００００１１１０ABCY00000010010001101000101111011111

最小項(xiàng)(minterm)之和最大項(xiàng)(maxterm)之積2.5.3邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式ABCY00000010010001111000101111011110A′B′C′A′B′CA′BC′A′BCAB′C′AB′CABC′ABCY=A′BC+AB′C+ABC′最小項(xiàng)之和的形式邏輯函數(shù)式可以表示成最小項(xiàng)之和的形式，這是邏輯函數(shù)式的標(biāo)準(zhǔn)形式之一，利用反演定律可以改寫成最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式。最小項(xiàng)之和與最大項(xiàng)之積的形式是唯一的。最小項(xiàng)的編號(hào)：最小項(xiàng)取值對(duì)應(yīng)編號(hào)ABC十進(jìn)制數(shù)0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7最小項(xiàng)的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。全體最小項(xiàng)之和為1。任何兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0。兩個(gè)邏輯相鄰的最小項(xiàng)之和可以合并，消去一對(duì)因子，只留下公共因子。------邏輯相鄰：僅一個(gè)變量不同的最小項(xiàng)如如何將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)之和的形式：利用公式可將任何一個(gè)函數(shù)化為2.5.4邏輯函數(shù)形式的變換與或式與非式？如何獲得與或非式和或非式掌握邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)和卡諾圖法化簡(jiǎn)2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法最簡(jiǎn)與-或------包含的乘積項(xiàng)已經(jīng)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)的因子也最少，稱為最簡(jiǎn)的與-或邏輯式。邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法邏輯電路所用門的數(shù)量少每個(gè)門的輸入端個(gè)數(shù)少邏輯電路構(gòu)成級(jí)數(shù)少降低成本提高電路的工作速度和可靠性方法：并項(xiàng)：利用將兩項(xiàng)并為一項(xiàng)，且消去一個(gè)變量B。消項(xiàng)：利用A+AB=A消去多余的項(xiàng)AB。配項(xiàng)：利用和互補(bǔ)律、重疊律先增添項(xiàng)，再消去多余項(xiàng)。2.6.1公式法化簡(jiǎn)消元：利用消去多余變量例：反變量吸收提出AB=1提出A例：反演配項(xiàng)被吸收被吸收例：卡諾圖：將n個(gè)輸入變量的全部最小項(xiàng)用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項(xiàng)放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是n變量的卡諾圖。一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法2.6.2卡諾圖法化簡(jiǎn)卡諾圖的畫法三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖二變量卡諾圖五變量的卡諾圖AB0101AB01010111邏輯函數(shù)的卡諾圖表示：（二輸入變量）ABY001011101110輸入變量輸出變量Y的值

0100011110

ABC0100011110

ABC01011010邏輯函數(shù)的卡諾圖表示：（三輸入變量）輸入變量ABCY000000110101011010011010110011110100011110ABC輸出變量Y的值1100101111四輸入變量卡諾圖ABCDY0000100010001010011101000010110110001111ABCDY10001100111010110111110011101111101111111100101111F(A,B,C)=(1,2,4,7)ABC0001111001ABC00011110010

1

0

1

10

1

0

用卡諾圖表示下面的邏輯函數(shù)ABCD0001111000011110F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD00011110000111101111111111111000用卡諾圖表示下面的邏輯函數(shù)用卡諾圖表示下面的邏輯函數(shù)上節(jié)課回顧邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)本節(jié)課內(nèi)容邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法二、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)式規(guī)則三、用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)舉例邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)依據(jù)：在卡諾圖中最小項(xiàng)的邏輯相鄰性和幾何位置的相鄰性具有統(tǒng)一性，由于具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)可以消掉不同的因子，所以在卡諾圖上具有幾何相鄰性的輸出變量為1（或0）的最小項(xiàng)可以進(jìn)行合并。二、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)式規(guī)則ABC0001111001規(guī)則一：若兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰，則可以消去一對(duì)因子，只保留公共因子ABC0001111001AB?ABC0001111001ABBCF=AB+BC化簡(jiǎn)過程：ABCD0001111000011110AD規(guī)則二：若四個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形組，則可消去兩對(duì)因子，合并成一項(xiàng)，此一項(xiàng)中只包含公共因子。ABCD0001111000011110不是矩形ABCD0001111000011110A規(guī)則三：若八個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形組，則可消去三對(duì)因子，合并成一項(xiàng)，此一項(xiàng)中只包含公共因子。規(guī)則：若2N個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形組，則可消去N對(duì)因子，合并成一項(xiàng)，此一項(xiàng)中只包含公共因子?；?jiǎn)步驟：

------用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

------找出可合并的最小項(xiàng)（每個(gè)可合并的最小項(xiàng)矩形組中應(yīng)包含盡量多的最小項(xiàng)；可合并的最小項(xiàng)組成的矩形組越少越好）

------化簡(jiǎn)后的乘積項(xiàng)相加 （項(xiàng)數(shù)最少，每項(xiàng)因子最少）

三、用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)舉例ABC0001111001ABC00011110011

1

1

0

10

1

1

ABC00011110011

1

1

0

10

1

1

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)式ABCD0001111000011110例：化簡(jiǎn)F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A例：例：00011110001001011001111111101111ABCD例：上節(jié)課回顧能用卡諾圖正確表示邏輯函數(shù)并化簡(jiǎn)2.7具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)無關(guān)項(xiàng)包括約束項(xiàng)和任意項(xiàng)約束項(xiàng)：對(duì)于某些邏輯函數(shù)，其輸入變量的某些取值組合根本不允許存在，則它們對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)，2.7具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)約束項(xiàng)：