第三章隨機變量的數字特征

第一節(jié)數學期望離散型隨機變量的數學期望連續(xù)型隨機變量的數學期望隨機變量函數的數學期望數學期望的性質課堂練習小結布置作業(yè)

在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些數字特征就夠了.

因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數字特征是重要的.在這些數字特征中，最常用的是數學期望、方差、協(xié)方差和相關系數一、離散型隨機變量的數學期望1、概念的引入：我們來看一個引例.

例1

某車間對工人的生產情況進行考察.車工小張每天生產的廢品數X是一個隨機變量.如何定義X的平均值呢？我們先觀察小張100天的生產情況若統(tǒng)計100天,32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數為這個數能否作為X的平均值呢？（假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品）可以想象，若另外統(tǒng)計100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數與前面的100天一般不會完全相同，這另外100天每天的平均廢品數也不一定是1.27.n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數為(假定小張每天至多出三件廢品)一般來說,若統(tǒng)計n天,這是以頻率為權的加權平均

當N很大時，頻率接近于概率，所以我們在求廢品數X的平均值時，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權的加權平均這樣得到一個確定的數.我們就用這個數作為隨機變量X的平均值

.定義1

設X是離散型隨機變量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…請注意:離散型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的級數的和.數學期望簡稱期望，又稱為均值。若級數絕對收斂，則稱級數即的和為隨機變量X的數學期望，記為,例1例2二、連續(xù)型隨機變量的數學期望

設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為f(x),在數軸上取很密的分點x0<x1<x2<…,則X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為

由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來近似代替.這正是的漸近和式.

近似,因此X與以概率取值xi的離散型r.v

該離散型r.v

的數學期望是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為由此啟發(fā)我們引進如下定義.定義2

設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為f(x),如果積分絕對收斂,則稱此積分值為X的數學期望,即請注意:

連續(xù)型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的積分.例4三、隨機變量函數的數學期望1.問題的提出：

設已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數的期望，比如說g(X)的期望.那么應該如何計算呢？

一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，故應有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.

那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.

使用這種方法必須先求出隨機變量函數g(X)的分布，一般是比較復雜的.(1)當X為離散型時,它的分布率為P(X=xk)=pk;(2)當X為連續(xù)型時,它的密度函數為f(x).若定理設Y是隨機變量X的函數:Y=g(X)(g是連續(xù)函數)

該公式的重要性在于:當我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機變量函數的期望帶來很大方便.

四、數學期望的性質

1.設C是常數，則E(C)=C;4.設X、Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常數，則E(kX)=kE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（諸Xi相互獨立時）請注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立五、數學期望性質的應用例8

求二項分布的數學期望若X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數.現(xiàn)在我們來求X的數學期望.

可見，服從參數為n和p的二項分布的隨機變量X的數學期望是np.

X~B(n,p),若設則X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n因為P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數.E(Xi)==p七、小結

這一講，我們介紹了隨機變量的數學期望，它反映了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數字特征.

接下來的一講中，我們將向大家介紹隨機變量另一個重要的數字特征：方差第二節(jié)方差方差的定義方差的計算方差的性質切比雪夫不等式課堂練習小結布置作業(yè)

上一節(jié)我們介紹了隨機變量的數學期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數字特征.

但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.

例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結果X用坐標上的點表示如圖：

若讓你就上述結果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認為哪臺儀器好一些呢？乙儀器測量結果

甲儀器測量結果較好測量結果的均值都是a因為乙儀器的測量結果集中在均值附近又如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：你認為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結果乙炮射擊結果乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近.

中心中心

由此可見,研究隨機變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個偏離程度呢?容易看到這個數字特征就是我們這一講要介紹的方差

能度量隨機變量與其均值E(X)的偏離程度.但由于上式帶有絕對值,運算不方便,通常用量來度量隨機變量X與其均值E(X)的偏離程度.一、方差的定義

設X是一個隨機變量，若E[(X-E(X)]2存在,稱E[(X-E(X)]2為X的方差.記為D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2若X的取值比較分散，則方差D(X)較大.

方差刻劃了隨機變量的取值對于其數學期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差D(X)較?。灰虼?，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量X取值分散程度的一個尺度。X為離散型，分布率P{X=xk}=pk

由定義知，方差是隨機變量X的函數

g(X)=[X-E(X)]2的數學期望.二、方差的計算X為連續(xù)型，X概率密度f(x)計算方差的一個簡化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

展開證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性質例1設隨機變量X具有(0—1）分布，其分布率為求D(X).解由公式因此,0-1分布例2解X的分布率為上節(jié)已算得因此,泊松分布例3解因此,均勻分布例4設隨機變量X服從指數分布,其概率密度為解由此可知,指數分布三、方差的性質1.設C是常數,則D(C)=0;2.若C是常數,則D(CX)=C2

D(X);3.設X與Y是兩個隨機變量，則

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

4.

D(X)=0P{X=C}=1,這里C=E(X)下面我們證明性質3證明若X,Y相互獨立,由數學期望的性質4得此性質可以推廣到有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況.例6

設X~B(n,p)，求E(X)和D(X).若設i=1,2，…，n

則是n次試驗中“成功”的次數下面我們舉例說明方差性質的應用.解X~B(n,p),“成功”次數.則X表示n重努里試驗中的于是i=1,2，…，n

由于X1,X2,…,Xn相互獨立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=

p(1-p),例7解于是例如,四、切比雪夫不等式或

由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.證我們只就連續(xù)型隨機變量的情況來證明.當方差已知時，切比雪夫不等式給出了r.v

X與它的期望的偏差不小于的概率的估計式.如取

可見，對任給的分布，只要期望和方差存在，則r.vX取值偏離E(X)超過3

的概率小于0.111.例9

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數在5200~9400之間的概率.解：設每毫升白細胞數為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200X9400)P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計每毫升白細胞數在5200~9400之間的概率不小于8/9.

例10

在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大時，才能使得在n次獨立重復試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?解：設X為n

次試驗中，事件A出現(xiàn)的次數，E(X)=0.75n,的最小的n.則X~B(n,0.75)所求為滿足D(X)=0.75×0.25n=0.1875n=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改寫為在切比雪夫不等式中取n，則=P{|X-E(X)|<0.01n}解得依題意，取

即n取18750時，可以使得在n次獨立重復試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.五、課堂練習1、設隨機變量X服從幾何分布，概率分布為P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…其中0<p<1,求E(X),D(X)2、1、解：記

q=1-p求和與求導交換次序無窮遞縮等比級數求和公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

+E(X)2、解六、小結這一講，我們介紹了隨機變量的方差.

它是刻劃隨機變量取值在其中心附近離散程度的一個數字特征.下一講，我們將介紹刻劃兩r.v間線性相關程度的一個重要的數字特征：協(xié)方差、相關系數第三節(jié)協(xié)方差及相關系數協(xié)方差相關系數課堂練習小結布置作業(yè)

前面我們介紹了隨機變量的數學期望和方差，對于二維隨機變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數學期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關系的數字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差和相關系數

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y)，即

⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協(xié)方差2.簡單性質⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨立，Cov(X,Y)=0.3.計算協(xié)方差的一個簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機變量和的方差與協(xié)方差的關系特別地

協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標準化，這就引入了相關系數

.二、相關系數為隨機變量X和Y的相關系數

.定義:

設D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時，記

為

.相關系數的性質：證:由方差的性質和協(xié)方差的定義知,對任意實數b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。2.X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.請看下例.，Cov(X,Y)=0，事實上，X的密度函數例1

設X服從(-1/2,1/2)內的均勻分布,而Y=cosX,不難求得存在常數a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關.因而=0，即X和Y不相關.但Y與X有嚴格的函數關系，即X和Y不獨立.考慮以X的線性函數a+bX來近似表示Y，以均方誤差e=E{[Y-(a+bX)]2}來衡量以a+bX近似表示Y

的好壞程度:e值越小表示a+bX

與Y的近似程度越好.

用微積分中求極值的方法，求出使e

達到最小時的a,b相關系數刻劃了X和Y間“線性相關”的程度.=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X

這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X這一逼近的剩余是若

=0，Y與X無線性關系;Y與X有嚴格線性關系;若可見,若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y與X的線性相關程度越高;||的值越接近于0,Y與X的線性相關程度越弱.E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-

)但對下述情形，獨立與不相關等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立X與Y不相關前面，我們已經看到：若X與Y獨立，則X與Y不相關，但由X與Y不相關，不一定能推出X與Y獨立.三、課堂練習1、2、1、解2、解四、小結

這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關系數、相關系數是刻劃兩個變量間線性相關程度的一個重要的數字特征.注意獨立與不相關并不是等價的.當(X,Y)服從二維正態(tài)分布時，有X與Y獨立X與Y不相關五、布置作業(yè)《概率論與數理統(tǒng)計》作業(yè)（四）三、解答題第6小題第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣原點矩中心矩協(xié)方差矩陣n元正態(tài)分布的概率密度小結布置作業(yè)一、原點矩中心矩定義設X和Y是隨機變量，若存在，稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩存在，稱它為X的k階中心矩可見，均值E（X）是X一階原點矩，方差D（X）是X的二階中心矩。協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.稱它為X和Y的k+L階混合（原點）矩.若存在，稱它為X和

Y的

k+L階混合中心矩.設X和Y是隨機變量，若k,L=1,2,…存在，可見，二、協(xié)方差矩陣將二維隨機變量（X1,X2）的四個二階中心矩排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.這是一個對稱矩陣類似定義n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.為(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣都存在,(i,j=1,2,…,n)若矩陣稱三、n元正態(tài)分布的概率密度f(x1,x2,…,xn)則稱X服從n元正態(tài)分布.其中C是(X1,X2,…,