初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)第六章　反比例函數(shù)（區(qū)一等獎(jiǎng)）

專(zhuān)訓(xùn)2證比例式或等積式的技巧名師點(diǎn)金：證比例式或等積式，若所遇問(wèn)題中無(wú)平行線或相似三角形，則需構(gòu)造平行線或相似三角形，得到成比例線段；若比例式或等積式中的線段分布在兩個(gè)三角形中，可嘗試證這兩個(gè)三角形相似；若不在兩個(gè)三角形中，可先將它們轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形中，再證這兩個(gè)三角形相似，若在兩個(gè)明顯不相似的三角形中，可運(yùn)用中間比代換．構(gòu)造平行線法1．如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AE·CF＝BF·EC.(第1題)2．如圖，已知△ABC的邊AB上有一點(diǎn)D，邊BC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E，且AD＝CE，DE交AC于點(diǎn)F，求證：AB·DF＝BC·EF.(第2題)三點(diǎn)定型法3．如圖，在?ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE交BC于F.求證：eq\f(DC,AE)＝eq\f(CF,AD).(第3題)4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，M為BC的中點(diǎn)，DM⊥BC交CA的延長(zhǎng)線于D，交AB于E.求證：AM2＝MD·ME.(第4題)構(gòu)造相似三角形法5．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N.求證：BP·CP＝BM·CN.(第5題)等比過(guò)渡法6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE相交于點(diǎn)G，且∠EDF＝∠ABE.求證：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.(第6題)7．如圖，CE是Rt△ABC斜邊上的高，在EC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P，連接AP，作BG⊥AP于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)D.求證：CE2＝DE·PE.(第7題)兩次相似法8．如圖，在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，∠ABC的平分線BE交AC于E，交AD于F.求證：eq\f(BF,BE)＝eq\f(AB,BC).(第8題)9．如圖，在?ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分別為M，N.求證：(1)△AMB∽△AND；(2)eq\f(AM,AB)＝eq\f(MN,AC).(第9題)等積代換法10．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求證：eq\f(AE,AF)＝eq\f(AC,AB).(第10題)等線段代換法11．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，交CF于點(diǎn)F，求證：BP2＝PE·PF.(第11題)12．如圖，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分線EP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.求證：PD2＝PB·PC.(第12題)答案1．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB交DF于點(diǎn)M.∵CM∥AB，∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB.∴△CMF∽△BDF.∴eq\f(BF,CF)＝eq\f(BD,CM).又∵CM∥AD，∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME.∴△ADE∽△CME.∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AD,CM).∵D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝AD.∴eq\f(BD,CM)＝eq\f(AD,CM).∴eq\f(BF,CF)＝eq\f(AE,EC).即AE·CF＝BF·EC.(第1題)2．證明：過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(CE,DG)，eq\f(AB,BC)＝eq\f(AD,DG).∵AD＝CE，∴eq\f(CE,DG)＝eq\f(AD,DG).∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,DF).即AB·DF＝BC·EF.點(diǎn)撥：過(guò)某一點(diǎn)作平行線，構(gòu)造出“A”型或“X”型的基本圖形，通過(guò)相似三角形轉(zhuǎn)化線段的比，從而解決問(wèn)題．3．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E.∴△FCD∽△DAE.∴eq\f(DC,AE)＝eq\f(CF,AD).4．證明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.即∠EAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.∴eq\f(AM,MD)＝eq\f(ME,AM).即AM2＝MD·ME.(第5題)5．證明：如圖，連接PM，PN.∵M(jìn)N是AP的垂直平分線，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴eq\f(BP,CN)＝eq\f(BM,CP).即BP·CP＝BM·CN.6．證明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠EDB＝180°，∠ACB＋∠FED＝180°.∴∠FED＝∠EDB.又∵∠EDF＝∠DBE，∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得eq\f(DE,BD)＝eq\f(EF,DE).即DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴eq\f(DG,DE)＝eq\f(DE,DF).即DE2＝DG·DF.∴DG·DF＝DB·EF.7．證明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴eq\f(AE,DE)＝eq\f(PE,BE).即AE·BE＝PE·DE.又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(CE,BE).即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.8．證明：由題意得∠BDF＝∠BAE＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE.∴△BDF∽△BAE.∴eq\f(BD,AB)＝eq\f(BF,BE).∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.∴△ABC∽△DBA.∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,AB).∴eq\f(BF,BE)＝eq\f(AB,BC).9．證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°.∴△AMB∽△AND.(2)由△AMB∽△AND得eq\f(AM,AN)＝eq\f(AB,AD)，∠BAM＝∠DAN.又AD＝BC，∴eq\f(AM,AN)＝eq\f(AB,BC).∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠MAD＝∠AMB＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°.∴∠B＝∠MAN.∴△AMN∽△BAC.∴eq\f(AM,AB)＝eq\f(MN,AC).10．證明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ABD∽△ADE.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AD).即AD2＝AE·AB.同理可得AD2＝AF·AC.∴AE·AB＝AF·AC.∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(AC,AB).11．證明：連接PC，如圖所示．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB.∴BP＝CP.∴∠1＝∠2.∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC.∴eq\f(CP,PE)＝eq\f(PF,CP)，即CP2＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.(第11題)(第12題)12