工程力學(xué)24485課件

第6章軸向拉伸和壓縮§6?1軸向拉伸和壓縮的概念FFFF受力特點(diǎn)：桿件受與軸線重合的外力作用。變形特點(diǎn)：桿件發(fā)生軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短?！??2軸力與軸力圖橫截面上的內(nèi)力——軸力ⅠⅡFFmm（a）ⅠFFNFFN（b）（c）Ⅱ按截面法求解步驟：可在此截面處假想將桿截?cái)?。保留左部分或右部分為脫離體。移去部分對(duì)保留部分的作用，用內(nèi)力來(lái)代替，其合力為FN。列平衡方程。軸力－FN符號(hào)規(guī)定：引起桿件縱向伸長(zhǎng)變形的軸力為正，稱為拉力，引起桿件縱向縮短變形的軸力為負(fù)，稱為壓力，F(xiàn)FN1mmA（b）nmFF2FABC（a）mn例題：一等直桿及其受力情況如圖a所示，試作桿的軸力圖。解：假想用一平面沿m

?m處將桿截開，設(shè)取左段為脫離體nnF2FFN2AB（c）FNx（d）FF在n

?n處將桿截開，仍取左段為脫離體

nmFF2FABC（a）mn例題6?1一等直桿及其受力情況如圖a所示，試作桿的軸力圖。600300500400ABCDE40kN55kN25kN20kN（a）ABCDE40kN55kN20kNFR11FRFN1AFN2FRAB40kN22223344FN325kN20kND33（b）（c）（d）（e）1050520FN圖（kN）（g）例題6?1圖FN420kN4411（f）§6?3橫截面上的應(yīng)力

1.由變形幾何關(guān)系找出應(yīng)變與所在位置的關(guān)系。推導(dǎo)應(yīng)力公式的方法：

2.由物理關(guān)系既應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，找出應(yīng)力與所在位置的關(guān)系。

3.由靜力關(guān)系找出應(yīng)力與內(nèi)力的關(guān)系。橫截面上的應(yīng)力：mFFNFFN（a）（b）（c）

FFmσσFFa'b'c'd''bacd（d）變形前是平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于桿的軸線，稱為平面假設(shè)。

拉壓桿橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式：

拉壓桿橫截面上正應(yīng)力σ計(jì)算公式:考察桿件在受力后表面上的變形情況，并由表及里地作出桿件內(nèi)部變形情況的幾何假設(shè)——桿件的任一橫截面上各點(diǎn)的變形是相同的。根據(jù)力與變形間的物理關(guān)系，得到變形相同時(shí)，受力也相同。通過(guò)靜力學(xué)關(guān)系，得到以內(nèi)力表示的應(yīng)力計(jì)算公式。拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。(3)求出AB桿和AC桿的應(yīng)力分別為§6?4斜截面上的應(yīng)力研究目的：找出過(guò)一點(diǎn)哪一截面上應(yīng)力達(dá)到最大以作為強(qiáng)度計(jì)算的依據(jù)。

FFmm（a）（b）（c）nnnFFαnαFpαnατασαnαn－n截面的軸線方向的內(nèi)力

斜截面面積

斜截面上的應(yīng)力pα為：

即斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：正應(yīng)力的最大值發(fā)生在α

=0的截面，即橫截面上，其值為當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的斜截面上，切應(yīng)力取得最大值

分析：引入比例常數(shù)Ｅ，又F=FN，得到胡克定律：彈性模量E，其單位為Pa。其值與材料性質(zhì)有關(guān)，是通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定的，其值表征材料抵抗彈性變形的能力。EA——拉伸（壓縮）剛度。二.胡克定律在彈性范圍內(nèi)泊松比ν----在彈性變形范圍內(nèi)，橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變之間保持一定的比例關(guān)系，以ν代表它們的比值之絕對(duì)值。而橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變正負(fù)號(hào)恒相反，故例題6?4圖示一等直鋼桿，材料的彈性模量E＝210GPa。試計(jì)算：(1)每段的伸長(zhǎng)；(2)每段的線應(yīng)變；(3)全桿總伸長(zhǎng)。

（b）5kN5kN5kNFN圖（a）5kN10kN10kN5kN2m2m2mABCD10mm解：（1）求出各段軸力，并作軸力圖（圖b）。

（3）AB段的線應(yīng)變:BC段的線應(yīng)變：CD段的線應(yīng)變：（4）全桿總伸長(zhǎng)：例題6?5試求圖示鋼木組合三角架B點(diǎn)的位移。已知：F＝36kN；鋼桿的直徑d＝28mm，彈性模量E1＝200GPa；木桿的截面邊長(zhǎng)a=100mm，彈性模量E2=10GPa。解：(1)先求桿1和桿2的軸力。取節(jié)點(diǎn)B為脫離體，受力如圖3m4mF①②αBAC（a）FFN1FN2（b）由平衡條件∑Fy=0得由平衡條件∑Fx=0得由平衡條件∑Fx=0，得所有B點(diǎn)的位移為（2）求兩桿的伸長(zhǎng)。根據(jù)胡克定律有例題6?6一等截面磚柱，高度為l，橫截面面積為A，材料密度為ρ，彈性模量為E；在柱頂作用有軸向荷載F。試求柱底橫截面應(yīng)力及柱的變形。lFxxmdx（a）mFNFF+Aρgl（b）x解：

（1）內(nèi)力求出距頂面為x處的任意橫截面m?m截面上的軸力FN(x)

為（2）應(yīng)力σ(x)（c）x最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在柱的底面，其值為低碳鋼試樣在整個(gè)拉伸過(guò)程中的四個(gè)階段：

(1)階段Ⅰ——彈性階段變形完全是彈性的，且Δl與F成線性關(guān)系，即此時(shí)材料的

力學(xué)行為符合胡克定律。

(2)階段Ⅱ——屈服階段

在此階段伸長(zhǎng)變形急劇增大，但抗力只在很小范圍內(nèi)波動(dòng)。此階段產(chǎn)生的變形是不可恢復(fù)的所謂塑性變形；在拋光的試樣表面上可見大約與軸線成45°的滑移線(，當(dāng)α=±45°時(shí)τa的絕對(duì)值最大)。(3)階段Ⅲ——強(qiáng)化階段

卸載及再加載規(guī)律

若在強(qiáng)化階段卸載，則卸載過(guò)程中F－Δl關(guān)系為直線?？梢娫趶?qiáng)化階段中，Δl=Δle+Δlp。

卸載后立即再加載時(shí)，F(xiàn)－Δl關(guān)系起初基本上仍為直線(cb)，直至到初卸載的荷載——冷作硬化現(xiàn)象。試樣重新受拉時(shí)其斷裂前所能產(chǎn)生的塑性變形則減小。

(4)階段Ⅳ——局部變形階段試樣上出現(xiàn)局部收縮——頸縮，并導(dǎo)致斷裂。

低碳鋼的應(yīng)力—應(yīng)變曲線(s－e曲線)：

為消除試件尺寸的影響，將低碳鋼試樣拉伸圖中的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)換算為應(yīng)力s和應(yīng)變e，即，其中：A——試樣橫截面的原面積，l——試樣工作段的原長(zhǎng)。低碳鋼

s－e曲線上的特征點(diǎn)：

比例極限sp

彈性極限se屈服極限ss

(屈服的低限)

強(qiáng)度極限sb(拉伸強(qiáng)度)Q235鋼的主要強(qiáng)度指標(biāo)：ss=240MPa，sb=390MPa衡量材料塑性的指標(biāo)：

伸長(zhǎng)率：

斷面收縮率：A1——斷口處最小橫截面面積。Q235鋼：y≈60%Q235鋼：

(通常d>5%的材料稱為塑性材料)sp0.2——名義屈服極限用于無(wú)屈服階段的塑性材料割線彈性模量

用于基本上無(wú)線彈性階段的脆性材料

脆性材料拉伸時(shí)的唯一強(qiáng)度指標(biāo)：

sb鑄鐵拉伸時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線：金屬材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能：

低碳鋼拉、壓時(shí)的ss基本相同。

低碳鋼壓縮時(shí)s-e的曲線：低碳鋼材料軸向壓縮時(shí)的試驗(yàn)現(xiàn)象

鑄鐵壓縮時(shí)的sb和d均比拉伸時(shí)大得多；

不論拉伸和壓縮時(shí)在較低應(yīng)力下其力學(xué)行為也只近似符合胡克定律。灰口鑄鐵壓縮時(shí)的s－e曲線：

試樣沿著與橫截面大致成50°－55°的斜截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)而破壞。

材料按在常溫(室溫)、靜荷載(徐加荷載)下由拉伸試驗(yàn)所得伸長(zhǎng)率區(qū)分為塑性材料和脆性材料。

影響材料力學(xué)性質(zhì)的主要因素：

1.溫度2.變形速率3.荷載長(zhǎng)時(shí)間作用的影響4.應(yīng)力性質(zhì)的影響§6-7強(qiáng)度條件·安全因數(shù)·許用應(yīng)力Ⅰ.拉(壓)桿的強(qiáng)度條件

強(qiáng)度條件——保證拉(壓)桿在使用壽命內(nèi)不發(fā)生強(qiáng)度破壞的條件：其中：smax——拉(壓)桿的最大工作應(yīng)力，[s]——材料拉伸(壓縮)時(shí)的許用應(yīng)力。Ⅱ.材料的拉、壓許用應(yīng)力塑性材料：脆性材料：許用拉應(yīng)力其中，ns——對(duì)應(yīng)于屈服極限的安全因數(shù)其中，nb——對(duì)應(yīng)于拉、壓強(qiáng)度的安全因數(shù)常用材料的許用應(yīng)力約值

(適用于常溫、靜荷載和一般工作條件下的拉桿和壓桿）材料名稱牌號(hào)

許用應(yīng)力/MPa低碳鋼低合金鋼灰口鑄鐵混凝土混凝土紅松（順紋）Q23516MnC20C3017023034－540.440.66.4170230160－200710.310軸向拉伸軸向壓縮Ⅲ.強(qiáng)度計(jì)算的三種類型

(2)

截面選擇已知拉(壓)桿材料及所受荷載，按強(qiáng)度條件求桿件橫截面面積或尺寸。

(3)

計(jì)算許可荷載已知拉(壓)桿材料和橫截面尺寸，按強(qiáng)度條件確定桿所能容許的最大軸力，進(jìn)而計(jì)算許可荷載。FN,max=A[s]

，由FN,max計(jì)算相應(yīng)的荷載。

(1)

強(qiáng)度校核已知拉(壓)桿材料、橫截面尺寸及所受荷載，檢驗(yàn)?zāi)芊駶M足強(qiáng)度條件對(duì)于等截面直桿即為

例題6-8試選擇計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖中(a)所示桁架的鋼拉桿DI的直徑d。已知：F=16kN，[s]=120MPa。2.求所需橫截面面積并求鋼拉桿所需直徑由于圓鋼的最小直徑為10mm，故鋼拉桿DI采用f10圓鋼。解：1.由圖中(b)所示分離體的平衡方程得

例題6-9圖中(a)所示三角架(計(jì)算簡(jiǎn)圖)，桿AC由兩根80mm80mm7mm等邊角鋼組成，桿AB由兩根10號(hào)工字鋼組成。兩種型鋼的材料均為Q235鋼，[s]=170MPa。試求許可荷載[F]。解:1.根據(jù)結(jié)點(diǎn)A的受力圖(圖b)，得平衡方程：(拉)（壓）解得解得2.計(jì)算各桿的許可軸力先由型鋼表查出相應(yīng)等邊角鋼和工字鋼的橫截面面積，再乘以2得由強(qiáng)度條件得各桿的許可軸力：桿AC的橫截面面積桿AB的橫截面面積3.求三角架的許可荷載先按每根桿的許可軸力求各自相應(yīng)的許可荷載：

此例題中給出的許用應(yīng)力[s]=170MPa是關(guān)于強(qiáng)度的許用應(yīng)力；對(duì)于受壓桿AB實(shí)際上還需考慮其穩(wěn)定性，此時(shí)的許用應(yīng)力將小于強(qiáng)度許用應(yīng)力。該三角架的許可荷載應(yīng)是[F1]和[F2]中的小者，所以Ⅰ.關(guān)于超靜定問(wèn)題的概述(a)(b)§6-8拉伸與壓縮的超靜定問(wèn)題圖a所示靜定桿系為減小桿1,2中的內(nèi)力或節(jié)點(diǎn)A的位移(如圖b)而增加了桿3。此時(shí)有三個(gè)未知內(nèi)力FN1,FN2,FN3，但只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程──一次超靜定問(wèn)題。(a)(b)“多余”約束：在超靜定問(wèn)題中，都存在多于維持平衡所必需的支座或桿件，習(xí)慣上稱其為“多余”約束。多余未知力：與多余約束相應(yīng)的支反力或內(nèi)力，習(xí)慣上稱其為多余未知力。超靜定次數(shù)：未知力數(shù)超過(guò)獨(dú)立平衡方程數(shù)的數(shù)目，稱為超靜定次數(shù)。求解超靜定問(wèn)題的方法：綜合運(yùn)用變形的幾何相容條件、物理關(guān)系和靜力學(xué)平衡條件求解超靜定問(wèn)題。

例求圖a所示等直桿AB上,下端的約束力，并畫軸力圖。桿的拉壓剛度為EA。

解：（一）1.有兩個(gè)未知約束力FA

,FB(見圖a)，但只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程FA+FB-F=0故為一次超靜定問(wèn)題。(a)balACBFFArFB(b)F2.幾何方面

3物理方面

(c)得到補(bǔ)充方程：

1.取固定端B為“多余”約束。相應(yīng)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖b，它應(yīng)滿足相容條件ΔB=ΔBF+ΔBB=0，參見圖c，d。2.補(bǔ)充方程為由此求得所得FB為正值，表示FB的指向與假設(shè)的指向相符，即向上。（二）

得FA=F-Fa/l=Fb/l。3.由平衡方程FA+FB-F=0

例題6?10

圖示結(jié)構(gòu)由剛性桿AB及兩彈性鋼制空心管EC及FD組成，在B端受力F作用。兩彈性桿由相同的材料組成，且長(zhǎng)度相等、橫截面面積相同，其面積為A，彈性模量為E。試求出兩彈性桿的軸力。解：該結(jié)構(gòu)為一次超靜定，需要建立一個(gè)補(bǔ)充方程。

⑴靜力方面取脫離體如圖b所示