廣東省清遠(yuǎn)市清新縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省清遠(yuǎn)市清新縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a2﹣b+4≤0，則u=（）A．有最大值為 B．有最小值為C．沒有最小值 D．有最大值為3參考答案：B【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】a2﹣b+4≤0，可得b≥a2+4，a，b＞0．可得﹣≥﹣，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵a2﹣b+4≤0，∴b≥a2+4，a，b＞0．∴a+b≥a2+a+4，∴≤，∴﹣≥﹣，∴u==3﹣≥3﹣=3﹣≥3﹣=，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=8時(shí)取等號．故選：B．2.已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的方程為（）A．x2+y2﹣2x﹣3=0 B．x2+y2+4x=0 C．x2+y2+2x﹣3=0 D．x2+y2﹣4x=0參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由圓心在x軸的正半軸上設(shè)出圓心的坐標(biāo)（a，0）a大于0，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線3x+4y+4=0的距離，由直線與圓相切得到距離與半徑相等列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圓心的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的方程即可．【解答】解：設(shè)圓心為（a，0）（a＞0），由題意知圓心到直線3x+4y+4=0的距離d===r=2，解得a=2，所以圓心坐標(biāo)為（2，0）則圓C的方程為：（x﹣2）2+y2=4，化簡得x2+y2﹣4x=0故選D3.對某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖（如右圖所示），則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是（

）

A．47,45,56

B．46,45,53

C．46,45,56

D．45,47,53參考答案：C略4.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，若是

純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為A．

B．

C．-6

D.6

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)

L4B解析：由題可知，又已知是純虛數(shù)，則，所以B正確.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，我們可進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化運(yùn)算，再由實(shí)部等于零可求出a.5.已知實(shí)數(shù)，執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，則輸出的不小于的概率為（

）A．

B．

C．

D．【解析】第一次運(yùn)行，，第二次為，第三次為，第四次輸出，又，解得，所以輸出的不小于的概率為，選A.參考答案：第一次運(yùn)行，，第二次為，第三次為，第四次輸出，又，解得，所以輸出的不小于的概率為，選A.【答案】A6.“”是“”成立的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分與不必要條件參考答案：A由得，，所以“”是“”成立充分不必要條件，選A.7.“”是“”成立的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件參考答案：A8.已知拋物線上有一條長為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為A.

B.

C.1

D.2參考答案：D設(shè)，，拋物線的準(zhǔn)線為，根據(jù)梯形的中位線定理知，AB的中點(diǎn)到x軸的距離為==所以當(dāng)AB恰好經(jīng)過焦點(diǎn)時(shí)，d最小，即=2。答案選D

9.已知平面向量，，與垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．

【專題】計(jì)算題．【分析】先求出（）的坐標(biāo)，由題意可得（）?=λ+4+9λ+6=0，解方程求得λ的值．解：（）=（λ+4，﹣3λ﹣2），由題意可得（）?=（λ+4，﹣3λ﹣2）?（1，﹣3）=λ+4+9λ+6=0，∴λ=﹣1，故選A．【點(diǎn)評】本題考查兩個(gè)向量的加減法的法則，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，得到λ+4+9λ+6=0，是解題的難點(diǎn)．10.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），當(dāng)x∈時(shí)，y=f（x）的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】3O：函數(shù)的圖象．【分析】利用函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的特殊值判斷即可．【解答】解：函數(shù)=，f（﹣x）=﹣=﹣f（x），函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，C，當(dāng)x=π時(shí)，f（π）=＞1，排除B，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè),則的最小值為

。參考答案：9本題考查基本不等式的應(yīng)用，難度中等。因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號。12.已知函數(shù)的圖像如圖所示，則

-

參考答案：013.直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是

．參考答案：14.已知直線過圓的圓心，則的最小值為

。參考答案：：4解：圓心為，則代入直線得：，即，則有，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）故答案填：4【考點(diǎn)】：不等式15.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知

則A＝

.參考答案：16.函數(shù)的最小值為________．參考答案：【分析】結(jié)合換元法以及利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值.【詳解】令，函數(shù)變?yōu)?，，所以在上遞減，在上遞增，所以，也即函數(shù)的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題.17.公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng),S10=60,則S20等于

_________

參考答案：320三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）．（1）求函數(shù)|f（x）|的單調(diào)區(qū)間；（2）對于一切a∈[0，1]，若存在實(shí)數(shù)m，使得與能同時(shí)成立，求b﹣a的取值范圍．參考答案：解：（1）∵f（x）=x2+2ax+b=（x+a）2+b﹣a2∴①當(dāng)a2﹣b≥0時(shí)，單調(diào)區(qū)間為：（﹣∞，﹣a]上為減，[﹣a，+∞）上為增；②當(dāng)a2﹣b＜0時(shí)，單調(diào)區(qū)間為：減，增，減，增，（2）①當(dāng)時(shí)，由方程，解得，此時(shí)，此時(shí)滿足存在實(shí)數(shù)m，使得與能同時(shí)成立．此時(shí)，a2≤b≤a2+，∴對一切a∈[0，1]都成立，解得b﹣a∈[﹣，]．②當(dāng)時(shí)，由方程，解得此時(shí)，不滿足存在實(shí)數(shù)m，使得與能同時(shí)成立；③當(dāng)時(shí)，由方程x2+2ax+b=和方程x2+2ax+b=﹣，解得x1，2=﹣a±，x3，4=﹣a±，此時(shí)由于|x2﹣x1|=2∈[，+∞），|x3﹣x4|=﹣=≤＜1∴只要|x3﹣x4|=2≤1即可，此時(shí)a2﹣b≤，b，b﹣a≥對一切a∈[0，1]都成立，解得b﹣a∈[﹣∞，﹣]．綜上得b﹣a∈[﹣∞，﹣]考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題；二次函數(shù)的性質(zhì)．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）f（x）=（x+a）2+a2﹣b開口向上，但a2﹣b的正負(fù)不定，所以在取絕對值時(shí)要分類討論．在每一種情況下分別求|f（x）|的單調(diào)區(qū)間．（2）存在實(shí)數(shù)m，使得同時(shí)成立，即為兩變量對應(yīng)的函數(shù)值都小于等于的兩變量之間間隔不超過1，故須對a2﹣b和，的大小分情況討論，求出a2﹣b的取值范圍，進(jìn)而求得b﹣a的取值范圍．解答：解：（1）∵f（x）=x2+2ax+b=（x+a）2+b﹣a2∴①當(dāng)a2﹣b≥0時(shí)，單調(diào)區(qū)間為：（﹣∞，﹣a]上為減，[﹣a，+∞）上為增；②當(dāng)a2﹣b＜0時(shí)，單調(diào)區(qū)間為：減，增，減，增，（2）①當(dāng)時(shí)，由方程，解得，此時(shí)，此時(shí)滿足存在實(shí)數(shù)m，使得與能同時(shí)成立．此時(shí)，a2≤b≤a2+，∴對一切a∈[0，1]都成立，解得b﹣a∈[﹣，]．②當(dāng)時(shí)，由方程，解得此時(shí)，不滿足存在實(shí)數(shù)m，使得與能同時(shí)成立；③當(dāng)時(shí)，由方程x2+2ax+b=和方程x2+2ax+b=﹣，解得x1，2=﹣a±，x3，4=﹣a±，此時(shí)由于|x2﹣x1|=2∈[，+∞），|x3﹣x4|=﹣=≤＜1∴只要|x3﹣x4|=2≤1即可，此時(shí)a2﹣b≤，b，b﹣a≥對一切a∈[0，1]都成立，解得b﹣a∈[﹣∞，﹣]．綜上得b﹣a∈[﹣∞，﹣]．點(diǎn)評：本題考查了數(shù)學(xué)上的分類討論思想．分類討論目的是，分解問題難度，化整為零，各個(gè)擊破19.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，的值；（2）任意，時(shí)，證明：．參考答案：（1）；（2）證明見解析.試題分析：第一問根據(jù)切點(diǎn)在切線上，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到方程組，求得的值，第二問可以將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值減去函數(shù)的最小值小于等于即可得結(jié)果，所以將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.試題解析：（1）

………………1分，

………………2分,

………………3分又切線過切點(diǎn),，

………………4分代入得．

…………5分（2）證明：由（1）知，，.

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減；

………………6分當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增.………………7分所以在區(qū)間上，的最小值為.

………………8分又，，所以在區(qū)間上，的最大值為.

………………10分

對于，有．所以.

………………12分考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.20.已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；(2)若方程（其中）在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：.（參考數(shù)據(jù)：參考答案：解：(1)當(dāng)時(shí)，,令得:,在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，的最小值為.(2)在上有解在上有解在上有解.令，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，即，故.(3)設(shè).由(1)可得.，，.令當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，，，即，.故.略21.

已知函數(shù)f(x)=x2－81nx，g(x)＝一X2+14x.(I)若函數(shù)y＝f(x)和函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間(a，a+l)上均為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(Ⅱ)若方程f(x)＝g(x)+m有唯一解，求實(shí)數(shù)m的值．參考答案：22.如圖，有一塊半圓形空地，開發(fā)商計(jì)劃建一個(gè)矩形游泳池ABCD及其矩形附屬設(shè)施EFGH，并將剩余空地進(jìn)行綠化，園林局要求綠化面積應(yīng)最大化．其中半圓的圓心為O，半徑為R，矩形的一邊AB在直徑上，點(diǎn)C