湘教版九年級數(shù)學下冊第1章二次函數(shù)

第1章二次函數(shù)1.1二次函數(shù)1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一次函數(shù)、正比例函數(shù)的定義是什么？

請用適當?shù)暮瘮?shù)關系式表示下列問題情境中的兩個變量y與x之間的關系：（1）圓的面積y(

)與圓的半徑x(cm);（2）某商店1月的利潤是2萬元，2、3月利潤逐月增長，這兩個月利潤的月平均增長率為x，3月份的利潤為y;合作學習探索新知（3）一個溫室的平面圖如圖,溫室外圍是一個矩形，周長為120m，室內(nèi)通道的尺寸如圖,設一條邊長為x（m）,種植面積為y（m2）.1113x1.y=πx22.y=2(1+x)23.y=(60-x-4)(x-2)=2x2+4x+2=-x2+58x-112思考：上述三個問題中的函數(shù)關系式具有哪些共同的特征?經(jīng)化簡后都具有y=ax2+bx+c的形式，(a，b，c是常數(shù)，且).a≠0定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)。（1）等號左邊是變量y，右邊是關于自變量x的整式；（3）等式的右邊最高次數(shù)為

，可以沒有一次項和常數(shù)項，但不能沒有二次項。注意：（2）a,b,c為常數(shù)，且（4）x的取值范圍是。a≠0；2任意實數(shù)二次函數(shù)的一般形式:y＝ax2＋bx＋c

(其中a、b、c是常數(shù),a≠0)二次函數(shù)的特殊形式：當b＝0時，y＝ax2＋c當c＝0時，y＝ax2＋bx當b＝0，c＝0時，y＝ax2函數(shù)解析式二次項系數(shù)a一次項系數(shù)b常數(shù)項c00242-158-112130說出下列二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：

試一試:二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中a≠0,但b、c可以為0.例題講解例下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？若是,分別指出二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項.

(1)y=3(x-1)2+1

(2)y=x+

(3)s=3-2t2

(4)y=(x+3)2-x2(5)y=

-

x(6)v=10πr21x__x21__解:(1)y=3(x-1)2+1=3(x2-2x+1)+1=3x2-6x+3+1即y=3x2-6x+4是二次函數(shù).二次項系數(shù):一次項系數(shù):常數(shù)項:3-64(2)y=x+1x__不是二次函數(shù).(3)s=3-2t2是二次函數(shù).二次項系數(shù):一次項系數(shù):常數(shù)項:-203(4)y=(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2

即y=6x+9不是二次函數(shù).二次項系數(shù):一次項系數(shù):常數(shù)項:10π00不是二次函數(shù).(5)y=-xx21__(6)v=10πr2是二次函數(shù).x

用20米長的籬笆圍一個矩形的花圃（如圖），設連墻的一邊長為xm,矩形的面積為ym2。求：(1)寫出y關于x的函數(shù)關系式.(2)當x=3時,矩形的面積為多少?(2)當x=3時(0<x<10)答：當x＝3時，矩形的面積為42

m2。1.下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?先化簡后判斷知識運用2.下列函數(shù)，哪些是二次函數(shù)？

3.下列函數(shù)，哪些是二次函數(shù)？

(1)y=3x-1(2)y=3x2(3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1(5)y=x-2+x(6)y=x2-x(1+x)做一做（1）正方形邊長為x（cm），它的面積

y（

）是多少？（2）矩形的長是4厘米，寬是3厘米，如果將其長增加x厘米，寬增加2x厘米，則面積增加到y(tǒng)平方厘米，試寫出y與x的關系式．(2)它是一次函數(shù)？(3)它是正比例函數(shù)？(1)它是二次函數(shù)?

練一練2.請舉一個符合以下條件的y關于x的二次函數(shù)的例子.（1）二次項系數(shù)是一次項系數(shù)的2倍，常數(shù)項為任

意值。（2）二次項系數(shù)為-5，一次項系數(shù)為常數(shù)項的3倍。3.關于x的函數(shù)

是二次函數(shù),求m的值.【注意】二次函數(shù)的二次項系數(shù)不能為0.4.寫出下列各函數(shù)關系式，并判斷它們是什么類型的函數(shù)？（1）寫出正方體的表面積S(

)與正方體棱長a(cm)之間的函數(shù)關系式；（2）寫出圓的面積

y()與它的周長x(cm)之間的函數(shù)關系式；（3）菱形的兩條對角線的和為26cm，求菱形的面積S()與一對角線長x(cm)之間的函數(shù)關系式．5.已知二次函數(shù)y=x2+px+q，當x=1時,函數(shù)值為4，當x=2時，函數(shù)值為-5，求這個二次函數(shù)的關系式.6.已知二次函數(shù)

，（1）你能說出此函數(shù)的最小值嗎？

（2）你能說出這里自變量能取哪些值？

【注意】當二次函數(shù)表示某個實際問題時,還必須根據(jù)題意確定自變量的取值范圍.例如：圓的面積y()與圓的半徑x(cm)的函數(shù)關系是

.y=πx2其中自變量x能取哪些值呢？問題：是否任何情況下二次函數(shù)中的自變量的取值范圍都是任意實數(shù)呢？開動腦筋1.若函數(shù)

為二次函數(shù)，求m的值。2.m取何值時，函數(shù)y=(m+1)

+(m-3)x+m是二次函數(shù)？

練一練第1章二次函數(shù)1.2二次函數(shù)的圖像與性質xyO

-222464-48第1課時?回憶一次函數(shù)的圖象是一條_____，反比例函數(shù)的圖象是________.(2)通常怎樣畫一個函數(shù)的圖象？直線雙曲線(3)二次函數(shù)的圖象是什么形狀

呢？它又有哪些性質？列表、描點、連線

結合圖象討論性質是數(shù)形結合的研究函數(shù)的重要方法．我們得從最簡單的二次函數(shù)開始，逐步深入地討論一般二次函數(shù)的圖象和性質．xyO－333691.列表：在y=x2中自變量x可以是任意實數(shù)，列表表示幾組對應值：x···－3－2－10123···y=x2······2.根據(jù)表中x,y的數(shù)值在坐標平面中描點（x,y）畫最簡單的二次函數(shù)y=x2

的圖象01491493.連線如圖，再用平滑曲線順次連接各點，就得到y(tǒng)=x2

的圖象．

從圖像可以看出，二次函數(shù)y=x2的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃球時球在空中所經(jīng)過的路線，只是這條曲線開口向上，這條曲線叫做拋物線y=x2

，二次函數(shù)y=x

2

的圖象是軸對稱圖形，一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象叫做拋物線y=ax2+bx+c12345x12345678910yo-1-2-3-4-5拋物線與它的對稱軸的交點（0，0）叫做拋物線的頂點它是拋物線的最低點．實際上,二次函數(shù)的圖象都是拋物線，對稱軸是y軸

這條拋物線是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是？找?guī)讓ΨQ點？拋物線與對稱軸有交點嗎？

議一議(1)當x<0時,隨著x的值增大,y的值如何變化？當x>0呢？(2)當x取什么值時,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？觀察圖象,回答下列問題：xyO當x<0(在對稱軸的左側)時,y隨著x的增大而減小.

當x>0(在對稱軸的右側)時,y隨著x的增大而增大.

拋物線y=x2在x軸的上方(除頂點外),頂點是它

的最低點,開口向上,并且向上無限伸展;

當x=0時,函數(shù)y的值最小,最小值是0.例1

在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象．x···-4-3-2-101234·········x···-2-1.5-1-0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5xyO-222464-48解：分別填表，再畫出它們的圖象，如圖函數(shù)的圖象與函數(shù)y=x2的圖象相比，有什么共同點和不同點？xyO－222464－48相同點：開口方向：向上頂點：原點（0,0）——最低點對稱軸：y軸增減性：y軸左側，y隨x增大而減小

y軸右側，y隨x增大而增大

簡稱：左降，右升

不同點：開口大小不同a值越大，拋物線的開口越?。畼O值：x=0時,y最小=0y=ax2(a≠0)a>0圖象開口方向頂點坐標對稱軸增減性極值xyO向上(0,0)y軸當x<0時，y隨著x的增大而減小

x=0時,y最小=0拋物線y=ax2(a>0)的形狀是由a來確定的,一般說來,a越大,開口越大當x>0時，y隨著x的增大而增大練習1：根據(jù)函數(shù)圖象填空：拋物線y=2x2的開口方向是對稱軸是

，頂點坐標是

,在

側，y隨著x的增大而增大；在

側，y隨著x的增大而減小，當x=

時，函數(shù)y的值最小，最小值是

,拋物線y=2x2在x軸的

方（除頂點外）。（0，0）y軸對稱軸的右對稱軸的左00上向上練習2：若拋物線y=ax2(a≠

0)，過點(-1，3).

（1）則a的值是

；

（2）對稱軸是

，開口

.

（3）頂點坐標是

，

拋物線在x軸的

方（除頂點外）.3y軸向上(0,0)上（4）求出這個二次函數(shù)的最大值或最小值.

（5）在此拋物線上有兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2>0,試比較y1與y2的大小.第2課時

復習1、二次函數(shù)的圖象及性質：(1)圖象是

；(2)頂點為

，對稱軸為

；、(3)當a>0時，拋物線開口向

，頂點是最

點，在對稱軸的左側，y隨x的增大而

，

在對稱軸的左側，y隨x的增大而

，

a值越大，開口越

；、(4)當a<0時，拋物線開口向

，頂點是最

點，在對稱軸的左側，y隨x的增大而

，

在對稱軸的左側，y隨x的增大而

，

a值越大，開口越

.一、在同一坐標系中畫二次函數(shù)的圖象：探究歸納用平移觀點看函數(shù)：

拋物線可以看作是由拋物線平移得到。(1)當c>0時，向上平移個單位；(2)當c<0時，向下平移個單位；2、二次函數(shù)是由二次函數(shù)

向

平移

個單位得到的。3、二次函數(shù)是由二次函數(shù)

向上平移5個單位得到的。二次函數(shù)

的圖象及性質：歸納1.圖象是一條拋物線，對稱軸為y軸，頂點為(0，c)。2.當a>0時，開口向上；在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大；當x=0時，y取最小值為c。3.當a<0時，開口向下；在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減?。划攛=0時，y取最大值為c。4、說出下列函數(shù)圖象的性質：開口方向、對稱軸、頂點、增減性。范例例1、求符合下列條件的拋物線

的函數(shù)關系式：(1)經(jīng)過點(-3，2)；(3)當x的值由0增加到2時，函數(shù)值減少4。(2)與的開口大小相同，方向相反；鞏固5、已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象大致是如下圖的()xyoxyoxyoxyoxyoABCD鞏固6、如圖，某橋洞的拋物線形，水面寬AB=1.6m，橋洞頂點C到水面的距離為2.4m，求這個橋洞所在拋物線的解析式。xyoABC范例例2、如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成：長方形的長是8m，寬是2m，拋物線可用表示。(1)一輛貨運卡車高4m，寬2m，它能通過隧道嗎？xyo-444-2(2)如果隧道內(nèi)設雙行道，那么這輛貨運卡車是否可以通過？(3)如果隧道內(nèi)設雙行道，為安全起見，你認為2m寬的卡車應限高多少比較合適？xyo-444-2小結二次函數(shù)的圖象及性質：(1)形狀、對稱軸、頂點坐標；(2)開口方向、極值、開口大?。?3)對稱軸兩側增減性。第3課時

復習1、拋物線向上平移3個單位，得到拋物線

；2、拋物線向

平移

個單位，得到拋物線。用平移觀點看函數(shù)：

拋物線可以看作是由拋物線平移得到。(1)當c>0時，向上平移個單位；(2)當c<0時，向下平移個單位；復習3、指出下列函數(shù)的開口方向、頂點坐標、對稱軸及增減性：、二次函數(shù)的圖象及性質：復習1.圖象是一條拋物線，對稱軸為y軸，頂點為(0，c)。2.當a>0時，開口向上；在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大；當x=0時，y取最小值為c。3.當a<0時，開口向下；在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減?。划攛=0時，y取最大值為c。一、在同一坐標系中畫二次函數(shù)的圖象：探究二、關于三條拋物線，你有什么看法？左右平移得到-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy歸納用平移觀點看函數(shù)：

拋物線可以看作是由拋物線平移得到。xyo(1)當h>0時，向右平移

個單位；(2)當h<0時，向左平移

個單位。鞏固4、二次函數(shù)是由二次函數(shù)

向

平移

個單位得到的。5、二次函數(shù)是由二次函數(shù)

向左平移3個單位得到的。探究三、觀察三條拋物線：(1)開口方向是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy(2)開口大小有沒有變化？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy(3)對稱軸是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy(4)頂點各是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy(5)增減性怎么樣？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy二次函數(shù)的圖象及性質：歸納1.圖象是一條拋物線，對稱軸為直線x=h，頂點為(h，0)。2.當a>0時，開口向上；在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大；當x=h時，y取最小值為0。3.當a<0時，開口向下；在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減?。划攛=h時，y取最大值為0。范例例1、已知拋物線經(jīng)過點(1，3)，求：(1)拋物線的關系式；(2)拋物線的對稱軸、頂點坐標；(3)x=3時的函數(shù)值；(4)當x取何值時，y隨x的增大而增大。鞏固6、說出下列函數(shù)圖象的性質：開口方向、對稱軸、頂點、增減性。鞏固7、將拋物線向左平移后，所得新拋物線的頂點橫坐標為-2，且新拋物線經(jīng)過點(1，3)，求a的值。范例例2、求拋物線的對稱軸方程和最大值(或最小值)，然后畫出圖象。學過哪些二次函數(shù)的特殊形式？鞏固8、將拋物線左右平移，使得它與x軸相交于點A，與y軸相交于點B。若△ABO的面積為8，求平移后的拋物線的解析式。小結(1)形狀、對稱軸、頂點坐標；(2)開口方向、極值、開口大??；(3)對稱軸兩側增減性。二次函數(shù)的圖象及性質：第4課時

復習1、拋物線可以看作是由拋物線向

平移

個單位而得到。☆拋物線的頂點坐標和對稱軸是什么？復習用平移觀點看函數(shù)：

拋物線可以看作是由拋物線平移得到。(1)當c>0時，向上平移個單位；(2)當c<0時，向下平移個單位；2、拋物線可以看作是由拋物線向

平移

個單位而得到。復習用平移觀點看函數(shù)：

拋物線可以看作是由拋物線平移得到。xyo(1)當h>0時，向右平移

個單位；(2)當h<0時，向左平移

個單位。一、在同一坐標系中畫二次函數(shù)的圖象：探究二、觀察三條拋物線：(1)形狀怎么樣？位置怎么樣？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy歸納用平移觀點看函數(shù)：(1)、拋物線與拋物線

形狀相同，位置不同。xyo探究(2)可以通過平移得到嗎？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy歸納用平移觀點看函數(shù)：(1)、拋物線與拋物線

形狀相同，位置不同。(2)、把拋物線上下、左右平移，可以得到拋物線，平移的方向、距離要根據(jù)h、k的值來決定。xyo鞏固3、二次函數(shù)是由二次函數(shù)先向

平移

個單位，再向

平移

個單位得到。探究三、觀察三條拋物線：(1)開口方向是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy探究三、觀察三條拋物線：(2)開口大小有沒有變化？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy探究三、觀察三條拋物線：(3)對稱軸是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy探究三、觀察三條拋物線：(4)頂點各是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy探究三、觀察三條拋物線：(5)增減性怎么樣？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy二次函數(shù)圖象及性質：歸納1.圖象是一條拋物線，對稱軸為直線x=h，頂點為(h，k)。歸納2.當a>0時，開口向上；在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大；當x=h時，y取最小值為k。二次函數(shù)圖象及性質：歸納3.當a<0時，開口向下；在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減??；當x=h時，y取最大值為k。二次函數(shù)圖象及性質：范例例1、已知拋物線

.(1)寫出拋物線的開口方向、頂點M的坐標、對稱軸；(2)作出函數(shù)的圖象；(3)寫出與y軸交點C的坐標及與x軸交點A、B的坐標；(4)當x取何值時：①函數(shù)值y隨x的增大而增大？②函數(shù)值y隨x的增大而減?。慷魏瘮?shù)形式之一：歸納二次函數(shù)的頂點式：鞏固4、說出下列函數(shù)圖象的性質：開口方向、對稱軸、頂點、增減性、最大(小)值。范例例2、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(1，0)、(0，3)兩點，對稱軸為x=-1。(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)設這個函數(shù)的圖象與x軸的交點為A、B(A在B的左邊)，與y軸的交點為C，頂點為D，求A、B、C、D四點的坐標；(3)求四邊形ABCD的面積。鞏固5、已知二次函數(shù)圖象頂點為(-1，-6)，并且圖象經(jīng)過點(0，5)，求這個二次函數(shù)的解析式。小結(1)形狀、對稱軸、頂點坐標；(2)開口方向、極值、開口大小；(3)對稱軸兩側增減性。二次函數(shù)圖象及性質：第5課時

我們來畫的圖象，并討論一般地怎樣畫二次函數(shù)的圖象．?思考我們知道，像這樣的函數(shù)，容易確定相應拋物線的頂點為（h,k)，二次函數(shù)也能化成這樣的形式嗎？接下來，利用圖象的對稱性列表（請?zhí)畋恚﹛···3456789·········33.557.53.557.5xyO510510配方可得，由此可知，拋物線的頂點是（6，3），對稱軸是直線x=6函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點式這個結果通常稱為求頂點坐標公式.因此，拋物線的對稱軸是，頂點坐標是一般地，我們可以用配方法求拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點與對稱軸

這是確定拋物線頂點與對稱軸的公式矩形場地的周長是60m，一邊長為l，則另一邊長為，場地的面積用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化，當l是多少時，場地的面積S最大？即可以看出，這個函數(shù)的圖象是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點是函數(shù)的圖象的最高點，也就是說，當l取頂點的橫坐標時，這個函數(shù)有最大值．由公式可求出頂點的橫坐標．分析：先寫出S與l的函數(shù)關系式，再求出使S最大的l值．S＝l(30－l)S＝－l2+30l(0<l<30)lsO51010020015202530也就是說，當l是15m時，場地的面積S最大（S＝225m2）

因此，當時，

S有最大值S＝－l2+30l(0<l<30)

一般地，因為拋物線的頂點是最低（高）點，所以當時，二次函數(shù)有最?。ù螅┲刀魏瘮?shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質1.頂點坐標與對稱軸2.位置與開口方向3.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符號確定由a,b和c的符號確定向上向下在對稱軸的左側,y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側,y隨著x的增大而增大.在對稱軸的左側,y隨著x的增大而增大.在對稱軸的右側,y隨著x的增大而減小.根據(jù)圖形填表：1．寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標．當x為何值時，y的值最?。ù螅?？（4）（3）（2）（1）練習解:(1)a=3>0，拋物線開口向上解:a=－1<0，拋物線開口向下（2）解:a=－2<0拋物線開口向下（3）解:a=0.5>0拋物線開口向上（4）2．已知直角三角形兩條直角邊的和等于8，兩條直角邊各為多少時，這個直角三角形的面積最大，最大值是多少？第1章二次函數(shù)1.3不共線三點確定二次函數(shù)的表達式(1)y=kx+b

(k≠0)系數(shù)k待定找一個點確定一個方程解一元一次方程

系數(shù)k,b待定找兩個點兩個方程解二元一次方程組y=kx(k≠0)y=(k≠0)xk1.什么是待定系數(shù)法？怎樣用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式？2、二次函數(shù)的解析式怎樣？要確定二次函數(shù)表達式需待定的系數(shù)是哪些？y=ax2+bx+c(a≠0)解：設二次函數(shù)表達式是：y=ax2+bx+cc=2a+b+c=04a-2b+c=3例1、已知一個二次函數(shù)的圖象過點（0，2）、（1，0）、（-2，3）三點，求這個函數(shù)的表達式？把點(0，2)、(1，0)、(-2，3)代入表達式，得：解之得：21a=-23b=-c=2∴

y=-x2-x+22321已知三點求二次函數(shù)的解析式。1.設y=ax2+bx+c2.代（三點）3.列（三元一次方程組）4.解5.寫（回代，寫成一般形式）（消元）解：設

y=a(x＋1)2-3例2、已知拋物線的頂點為(-1,-3)，與x軸交點為(0,-5)，求拋物線的解析式？y=-2(x＋1)2-3，即y=-2x2-4x-5y=

-2(x2

+2x+1)-3又拋物線與x軸交點為（0，-5）a-3=-5，得a=-2已知拋物線的頂點求表達式?！霸O”時，不設一般式，而設為“y=a(x-h)2+k”的形式（頂點式）。再把另一點代入，得一元一次方程。(1)已知拋物線y=x2+4x+3它的開口向

，對稱軸是直線

，頂點坐標為

，圖象與x軸的交點為

，與y軸的交點為

.上x=-2（-2，-1）(-3,0)，(-1,0)（0，3）(2)二次函數(shù)y=3(x+1)2+4的頂點坐標為

。(-1，4)(3)頂點為（0，0）且過點（1，-3）的拋物線的解析式為

.y=-3x2(4)拋物線y=-x2-2x+m，若其頂點在x軸上，則m=

.-1(5)寫出一個圖象經(jīng)過原點的二次函數(shù)的表達式

.y=x2y=-x2+3x1、填空鞏固練習4、已知拋物線與x軸交于點M（-1,0）、（2,0），且經(jīng)過點（1,2），求拋物線解析式．3、當自變量x=0時，函數(shù)值y=-2，當自變量x=-1時，函數(shù)值y=-1，當自變量x=1時，函數(shù)值y=1,求當自變量x=2時，函數(shù)值y是多少？y=2x2+x-22、二次函數(shù)的圖象過點（-1,0）（2,0）（-3,5）求這個函數(shù)的表達式？5、已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為(2，1)，且這條拋物線與x軸的一個交點坐標是(3，0)，求拋物線的表達式。設一般式a-b+c=04a+2b+c=09a-3b+c=5設一般式求出表達式，再求函數(shù)值。實際就是已知三點，求函數(shù)表達式。設頂點式，求解。6、某拋物線是將拋物線y=ax2

向右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到的，且拋物線過點（3,-3），求該拋物線的表達式。頂點坐標（1，1）設y=a(x-1)2+17、已知拋物線對稱軸為x=2，且經(jīng)過點（1，4）和（5，0），求該二次函數(shù)解析式。8、拋物線的圖象經(jīng)過（2，0）與（6，0）兩點，其頂點的縱坐標是2，求它的函數(shù)關系式提示：由題意得x==4

22+6∴頂點坐標為（4，2）由頂點式可求得,

y=-

x2+4x-621設y=ax2+bx+c-

=22aba+b+c=425a+5b+c=0設y=a(x-2)2+ka+k=49a+k=0今天我們學到了什么？1、求二次函數(shù)解析式的一般方法：.已知圖象上三點坐標，通常選擇一般式。.已知圖象的頂點坐標（對稱軸或最值）,通常選擇頂點式。y=ax2+bx+c

（a≠0）三個系數(shù)待定找三個點三個方程解三元一次方程組2、求二次函數(shù)解析式的

常用思想：轉化思想

無論采用哪一種表達式求解，最后結果都化為一般形式。解方程或方程組課堂小結1.3不共線三點確定二次函數(shù)的表達式(2)1、求二次函數(shù)解析式的一般方法：.已知圖象上三點坐標，通常選擇一般式。.已知圖象的頂點坐標（對稱軸或最值）,通常選擇頂點式。y=ax2+bx+c

（a≠0）三個系數(shù)待定找三個點三個方程解三元一次方程組2、求二次函數(shù)解析式的

常用思想：轉化思想

無論采用哪一種表達式求解，最后結果都化為一般形式。解方程或方程組3、求二次函數(shù)解析式的

兩種形式：一般式：y=ax2+bx+c頂點式：y=a(x-h)2+k

例1、已知拋物線與x軸交于點A(-2,0),B（1,0），且經(jīng)過點

C（2,8），求該二次函數(shù)解析式。解：設二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，則4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解得a=2b=2c=-4∴y=2x2+2x-4想一想：還有更快更好的解法嗎？由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(-2,0)和(1，0)，設x1=-2，x2=1，將x1、x2分別代入二次函數(shù)解析式中可得y=0，x1、x2也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，方程可寫成a(x-x1)(x-x2)=0形式。二次函數(shù)的解析式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，我們把這種解析式稱為“交點式”。于是，二次函數(shù)的解析式也可得到以下這種形式：小結：二次函數(shù)的表達式有幾種形式？已知拋物線與x軸交于點A(-2，0)，B（1，0），且經(jīng)過點C（2，8），求該二次函數(shù)解析式。解法二：設函數(shù)解析式為y=a(x+2)(x-1)，又拋物線經(jīng)過點C(2,8)，則把點C(2,8)代入可得，8=a(2+2)(2-1)，解得a=2故解析式為y=2(x+2)(x-1)，即y=2x2+2x-4例2．已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(1，4)、(-1，0)和(3，0)三點，

求二次函數(shù)的表達式。（交點式）∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(3，0)、(-1，0)∴設二次函數(shù)表達式為：y=a(x-3)(x+1)∵函數(shù)圖象過點(1，4)∴4=a(1-3)(1+1)得a=-1∴函數(shù)的表達式為：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3知道拋物線與x軸的兩個交點的坐標，用交點式比較簡便。（一般式）設二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c∵二次函數(shù)圖象過點(1,4),(-1,0)和(3,0)，則得：a+b+c=4a-b+c=09a+3b+c=0

解得a=-1b=2c=3∴函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3∵

拋物線與x軸相交兩點(-1,0)和(3,0)，∴

點(1，4)為拋物線的頂點可設二次函數(shù)解析式為y=a(x-1)2+4

（頂點式）∵拋物線過點(-1，0)∴0=a(-1-1)2+4

得，a=-1∴函數(shù)的解析式為y=-(x-1)2+4=-x2+2x+34、已知拋物線與x軸兩交點橫坐標為1，3且圖像過（0，-3），求

出對應的二次函數(shù)解析式。y=-x2+4x-35、已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過A(0，－5)，B(5，0)兩點，

它的對稱軸為直線x＝2，求這個二次函數(shù)的解析式？y=x2-4x-51、求經(jīng)過三點A（-2，-3），B（1，0），C（2，5）的二次函數(shù)的

解析式.2、已知拋物線的頂點為D(-1，-4)，又經(jīng)過點C(2，5)，求其解析式。3、已知拋物線與x軸的兩個交點為A(-3，0)、B(1，0)，又經(jīng)過點

C(2，5)，求其解析式。6、拋物線與x軸的一個交點坐標是(-1，0)，且當x=1時，

函數(shù)有最大值為4，求此函數(shù)解析式。課堂練習7、已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4，-3)，并且當x=3時有最大值4，試確定這個二次函數(shù)的解析式。8、已知二次函數(shù)的對稱軸是直線x=1，圖像上最低點P的縱坐標為-8，圖像還過點(-2，10)，求此函數(shù)的表達式。頂點坐標（

1，-8）設y=a(x-1)2-89、已知二次函數(shù)的圖象與x軸兩交點間的距離為4，且當x=1時，函數(shù)有最小值-4，求此表達式。頂點坐標（1，-4）設y=a(x-1)2-410、有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．y=-

x2+

x25158求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或三對的對應值，通常選擇一般式y(tǒng)=ax2+bx+c

已知圖象的頂點坐標、對稱軸和最值通常選擇頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k已知圖象與x軸的兩個交點的橫x1、x2，通常選擇交點式（兩根式）y=a(x-x1)(x-x2)。確定二次函數(shù)的解析式時，應該根據(jù)條件的特點，恰當?shù)剡x用一種函數(shù)表達式。課堂小結第1章二次函數(shù)1.4二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系

已知函數(shù)值y=0，求對應自變量x.請問這位同學的跳遠成績是多少？

高度y(m)與水平距離x(m)之間具有的關系:

高度h(m)與時間t(s)之間具有的關系:h=20t-5t2

球從飛出到落地需要多少時間？

已知函數(shù)值h=0，求對應自變量t.

已知二次函數(shù)y=ax2

+bx+c(a≠0)的函數(shù)值為0，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程ax2

+bx+c=0(a≠0).探究新知(1)球的飛行高度能否達到15m?若能,需要多少飛行時間?

已知函數(shù)值h=15，求對應自變量t.(2)球的飛行高度能否達到20m?若能,需要多少飛行時間?(3)球的飛行高度能否達到20.5m?若能,需要多少飛行時間?

已知二次函數(shù)y=ax2

+bx+c(a≠0)的函數(shù)值為m，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程ax2

+bx+c=m(或ax2

+bx+c-m=0)(a≠0).探究新知h=20t-5t2歸納總結

已知二次函數(shù)y=ax2

+bx+c(a≠0)的函數(shù)值為0，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值為m，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=m(或ax2+bx+c-m=0)(a≠0).以上關系反之也成立.

根據(jù)圖象你能得出相應方程的解嗎?思考0xy1y=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1..(1)方程x2

+x-2=0的根是______________;(2)方程x2

-6x+9=0的根是______________;(3)方程x2

-x+1=0的根是______________.

如果拋物線y=ax2

+bx+c(a≠0)與x軸有公共點(x0,0),那么x=x0

就是方程ax2+bx+c=0的一個根.x1

=-2,x2

=1x1=x2

=3無實數(shù)根歸納總結二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點一元二次方程ax2+bx+c=0的根有兩個交點有兩個相異的實數(shù)根有一個交點有兩個相等的實數(shù)根沒有交點沒有實數(shù)根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式Δ=b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0說明：a≠0練一練下列二次函數(shù)的圖象與x軸有交點嗎？有幾個交點？(5)y=2x2

-(4k+1)x+2k2

-1;(1)y=2x2

+x-3;(2)y=-4x2

-4x-1;(3)y=3x2

-2x+3;(4)y=x2

+(2k+1)x-k2

+k;若此拋物線與x軸有兩個交點,求k的取值范圍.基礎練習:1.不與x軸相交的拋物線是()Ay=

2x2–3By=-2x2+3Cy=-x2

–3x

Dy=

-

2(x+1)2-32.若拋物線y=ax2+bx+c,當a>0,c<0時,圖象與x軸交點情況是()A無交點B只有一個交點C有兩個交點D不能確定DC3.如果關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根,則m=＿＿＿＿,此時拋物線y=x2-2x+m與x軸有＿＿個交點

.4.已知拋物線y=x2–8x+c的頂點在x軸上,則c=＿＿＿.11165.若函數(shù)y=-x2+2kx+2與坐標軸交點的個數(shù)有

個.3(1,0)6.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖,則關于x的方程ax2+bx+c

=0根的情況是()A有兩個不相等的實數(shù)根B有兩個異號的實數(shù)根C有兩個相等的實數(shù)根D沒有實數(shù)根xyO12D-3例:利用函數(shù)圖象求方程

x

2-2x-2=0的實數(shù)根

(精確到0.1)解:作y=x2-2x-2的圖象(如圖),它與x軸的公共點的橫坐標大約是–0.7,2.7

所以方程x

2-2x-2=0的實數(shù)根為

x?≈-0.7,

x?≈2.7.練習:根據(jù)下列表格的對應值:

判斷方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))一個解x的范圍是(

)

A3<x<3.23

B3.23<x<3.24

C3.24<x<3.25

D3.25<x<3.26

x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C升華提高體會兩種思想：數(shù)形結合思想弄清一種關系------函數(shù)與一元二次方程的關系

如果拋物線y=ax2

+bx+c

與x軸有公共點(x0,0),那么x=x0

就是方程ax2+bx+c

=0的一個根.分類討論思想二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點一元二次方程ax2+bx+c=0的根有兩個交點有兩個相異的實數(shù)根有一個交點有兩個相等的實數(shù)根沒有交點沒有實數(shù)根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式Δ=b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0第1章二次函數(shù)1.5二次函數(shù)的應用（1）復習鞏固：1、二次函數(shù)可以用哪幾種方法表示？2、寫出下列函數(shù)的頂點坐標，并說出它的最值情況：（1）y=2x2-3x+5（2）y=-2x2+4x+3何時橙子總產(chǎn)量最大某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.種多少棵橙子樹，可以使果園橙子的總產(chǎn)量最多？(1)假設果園增種x棵橙子樹,那么果園共有多少棵橙子樹？(2)如果果園橙子的總產(chǎn)量為y個,那么請你寫出y與x之間的關系式.（100+x）棵這時平均每棵樹結多少個橙子？（600-5x）個何時橙子總產(chǎn)量最大果園共有（100+x）棵樹,平均每棵樹結（600-5x）個橙子,因此果園橙子的總產(chǎn)量你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出猜想嗎？y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000.在上述問題中,種多少棵橙子樹,可以使果園橙子的總產(chǎn)量最多?X/棵1234567891011121314Y/個6009560180602556032060375604206045560480604956050060495604806045560420y/個x/棵0132456789101214131160000601006040060200603006050060600678910111213142.利用函數(shù)圖象描述橙子的總產(chǎn)量與增種橙子樹的棵數(shù)之間的關系.?何時橙子總產(chǎn)量最大1.利用函數(shù)表達式描述橙子的總產(chǎn)量與增種橙子樹的棵數(shù)之間的關系.3.增種多少棵橙子樹,可以使橙子的總產(chǎn)量在60400個以上?請你幫助分析:銷售單價是多少時,可以獲利最多?何時獲得最大利潤某商店經(jīng)營T恤衫,已知成批購進時單價是2.5元.根據(jù)市場調(diào)查,銷售量與銷售單價滿足如下關系:在某一時間內(nèi),單價是13.5元時,銷售量是500件,而單價每降低1