1.3線段的垂直平分線（二）

第一章三角形的證明復(fù)習(xí)舊知1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。2、線段垂直平分線的判定定理：

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

求證：三角形三邊的垂直平分線交于一點,這一點到三個頂點的距離相等。已知：在△ABC中，設(shè)AB、BC的垂直平分線交于點O.求證：O點在AC的垂直平分線上．且OA=OB=OC證明：連接AO，BO，CO．

∵點O在線段AB的垂直平分線上，∴OA=OB(線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等)．同理OB=OC．∴OA=OC．∴O點在AC的垂直平分線上(到線段兩個端點距離相等的點.在這條線段的垂直平分線上)．∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點OOA=AB=OC,即O到三頂點的距離相等。CBAO如果三角形為直角或鈍角，中垂線J交點位置還在三角形內(nèi)部嗎？銳角三角形內(nèi)部直角三角形斜邊中點鈍角三角形外部

定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)定理

情景引入

如圖，有A、B、C三個工廠，現(xiàn)要建一個供水站，使它到這三個工廠的距離相等，你能確定供水站的位置嗎？ABC議一議

(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?這樣的三角形有無數(shù)多個．觀察還可以發(fā)現(xiàn)這些三角形不都全等．

1ADCBAah()DCBAah1ADCBAah1A議一議(2)已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?

這樣的等腰三角形也有無數(shù)多個．根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，只要作底邊的垂直平分線，取它上面除底邊的中點外的任意一點，和底邊的兩個端點相連接，都可以得到一個等腰三角形．如圖所示，這些三角形不都全等．議一議

(3)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出一個符合條件等腰三角形嗎?能作幾個?

這樣的等腰三角形應(yīng)該只有兩個，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè)．

你能嘗試著用尺規(guī)作出這個三角形嗎?放開手腳做一做已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形．已知：線段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1．作BC=a；

2．作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點；

3．以D為圓心，h長為半徑作弧交MN于A點；

4．連接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形NMDCBahA

（1）例題：已知直線a

和a上一點P，用尺規(guī)作a

的垂線，使它經(jīng)過點P.

（2）拓展：如果點P是直線a外一點，那么怎樣用尺規(guī)作a的垂線，使它經(jīng)過點P呢？說說你的作法.4.（煙臺·中考）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于（）A．80°

B．70°C．60°D．50°BADECC5.下列說法錯誤的是()(A)三角形三條邊的垂直平分線必交于一點。(B)如果等腰三角形內(nèi)一點到底邊兩端點的距離相等，那么過這點與頂點的直線必垂直于底邊。(C)平面上只存在一點到已知三角形三個頂點距離相等。(D)三角形關(guān)于任一邊上的垂直平分線成軸對稱。【解析】選D.等邊三角形關(guān)于任一邊上的垂直平分線成軸對稱，等腰三角形關(guān)于底邊上的垂直平分線成軸對稱，一般三角形不是軸對稱圖形，D選項沒有說明三角形的形狀，所以D選項說法錯誤.6.如圖所示，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平分線交BC于點D，DF⊥AC于點F,并與BC邊上的高AE交于G.求證：EG＝EC.

【證明】連接AD.∵點D在線段AB的垂直平分線上，∴DA＝DB,∴∠DAB＝∠B＝22.5°,∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°,∴AE＝DE.又∵DF⊥AC,∴∠DFC＝∠AEC＝90°,∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°,∴∠CAE＝∠CDF,∴△DEG≌△AEC,∴EG＝EC.7.已知：線段a.求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.【解析】作法：（1）作直線l；（