2023屆福建華安縣第一中學高三第六次模擬考試數學試卷含解析

2023年高考數學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面平面，且是正方形，在正方形內部有一點，滿足與平面所成的角相等，則點的軌跡長度為（）A． B．16 C． D．2．設集合，，若，則（）A． B． C． D．3．若函數，在區(qū)間上任取三個實數，，均存在以，，為邊長的三角形，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知f（x）=ax2+bx是定義在[a–1，2a]上的偶函數，那么a+b的值是A． B．C． D．5．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內為（）A． B． C． D．6．我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺體的體積公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸7．很多關于整數規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數學家和數學愛好者，有些猜想已經被數學家證明，如“費馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內容是：對于每一個正整數，如果它是奇數，則將它乘以再加1；如果它是偶數，則將它除以；如此循環(huán)，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為，則輸出i的值為（）A． B． C． D．8．已知函數，存在實數，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．9．在中，角所對的邊分別為，已知，．當變化時，若存在最大值，則正數的取值范圍為A． B． C． D．10．已知集合，，若，則（）A．4 B．－4 C．8 D．－811．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率等于()A． B． C． D．12．某人用隨機模擬的方法估計無理數的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點作軸的垂線與曲線相交于點，過作軸的垂線與軸相交于點（如圖），然后向矩形內投入粒豆子，并統計出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數的估計值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代數學著作《九章算術》中記載“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”設人數、物價分別為、，滿足，則_____，_____．14．已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經過點，則該雙曲線的標準方程為________.15．已知函數，則下列結論中正確的是_________.①是周期函數；②的對稱軸方程為，；③在區(qū)間上為增函數；④方程在區(qū)間有6個根.16．的展開式中常數項是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，上頂點為，離心率為，直線交軸于點，交橢圓于，兩點，直線，分別交軸于點，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：為定值．18．（12分）在平面直角坐標系中，直線的的參數方程為（其中為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線經過點．曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）過點作直線的垂線交曲線于兩點(在軸上方)，求的值.19．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的短軸長為，直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為.當與連線的斜率為時，直線的傾斜角為（1）求橢圓的標準方程；（2）若是以為直徑的圓上的任意一點，求證：20．（12分）已知函數，為的導數，函數在處取得最小值．（1）求證：；（2）若時，恒成立，求的取值范圍．21．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，角為銳角，的面積為.（1）求角的大?。唬?）求的值.22．（10分）已知拋物線：（）上橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4.（1）求p的值；（2）設（）為拋物線上的動點，過P作圓的兩條切線分別與y軸交于A、B兩點.求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標系，求得點的軌跡方程，由此求得點的軌跡長度.【詳解】由于平面平面，且交線為，，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，則，，設（點在第一象限內），由得，即，化簡得，由于點在第一象限內，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點的軌跡長度為.故選：C【點睛】本小題主要考查線面角的概念和運用，考查動點軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.2、A【解析】

根據交集的結果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【點睛】本題考查集合的交，注意根據交集的結果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎題.3、D【解析】

利用導數求得在區(qū)間上的最大值和最小，根據三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為，，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個實數，，均存在以，，為邊長的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當、時，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.4、B【解析】

依照偶函數的定義，對定義域內的任意實數，f（﹣x）=f（x），且定義域關于原點對稱，a﹣1=﹣2a，即可得解.【詳解】根據偶函數的定義域關于原點對稱，且f（x）是定義在[a–1，2a]上的偶函數，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故選B．【點睛】本題考查偶函數的定義，對定義域內的任意實數，f（﹣x）=f（x）；奇函數和偶函數的定義域必然關于原點對稱，定義域區(qū)間兩個端點互為相反數．5、C【解析】程序在運行過程中各變量值變化如下表：KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應為k>5?本題選擇C選項.點睛：使用循環(huán)結構尋數時，要明確數字的結構特征，決定循環(huán)的終止條件與數的結構特征的關系及循環(huán)次數．尤其是統計數時，注意要統計的數的出現次數與循環(huán)次數的區(qū)別．6、B【解析】試題分析：根據題意可得平地降雨量，故選B.考點：1.實際應用問題；2.圓臺的體積.7、B【解析】

根據程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結果.【詳解】輸入，不成立，是偶數成立，則，；不成立，是偶數不成立，則，；不成立，是偶數成立，則，；不成立，是偶數成立，則，；不成立，是偶數成立，則，；不成立，是偶數成立，則，；成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果，考查計算能力，屬于基礎題.8、A【解析】

畫出分段函數圖像，可得，由于，構造函數，利用導數研究單調性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【點睛】本題考查了導數在函數性質探究中的應用，考查了學生數形結合，轉化劃歸，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.9、C【解析】

因為，，所以根據正弦定理可得，所以，，所以，其中，，因為存在最大值，所以由，可得，所以，所以，解得，所以正數的取值范圍為，故選C．10、B【解析】

根據交集的定義，，可知，代入計算即可求出.【詳解】由，可知，又因為，所以時，，解得.故選：B.【點睛】本題考查交集的概念，屬于基礎題.11、B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為，即，所以，選B.12、D【解析】

利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關于的等式，解出的表達式即可.【詳解】在函數的解析式中，令，可得，則點，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應用，同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用已知條件，通過求解方程組即可得到結果．【詳解】設人數、物價分別為、，滿足，解得，.故答案為：；.【點睛】本題考查函數與方程的應用，方程組的求解，考查計算能力，屬于基礎題．14、【解析】

設雙曲線方程為，代入點，計算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為，則設雙曲線方程為：，代入點，則.故雙曲線方程為：.故答案為：.【點睛】本題考查了根據漸近線求雙曲線，設雙曲線方程為是解題的關鍵.15、①②④【解析】

由函數，對選項逐個驗證即得答案.【詳解】函數，是周期函數，最小正周期為，故①正確；當或時，有最大值或最小值，此時或，即或，即.的對稱軸方程為，，故②正確；當時，，此時在上單調遞減，在上單調遞增，在區(qū)間上不是增函數，故③錯誤；作出函數的部分圖象，如圖所示方程在區(qū)間有6個根，故④正確.故答案為：①②④.【點睛】本題考查三角恒等變換，考查三角函數的性質，屬于中檔題.16、-160【解析】試題分析：常數項為.考點：二項展開式系數問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析．【解析】

（Ⅰ）根據題意列出關于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的方程；（Ⅱ）設點，，點，，易求直線的方程為：，令得，，同理可得，所以，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理代入上式，化簡即可得到．【詳解】（Ⅰ）解：由題意可知：，解得，橢圓的方程為：；（Ⅱ）證：設點，，點，，聯立方程，消去得：，，①，點，，，直線的方程為：，令得，，，，同理可得，，，把①式代入上式得：，為定值．【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關系、定值問題的求解；關鍵是能夠通過直線與橢圓聯立得到韋達定理的形式，利用韋達定理化簡三角形面積得到定值；考查計算能力與推理能力，屬于中檔題．18、（1），；（2）【解析】

(1)利用代入法消去參數可得到直線的普通方程，利用公式可得到曲線的直角坐標方程；(2)設直線的參數方程為（為參數），代入得，根據直線參數方程的幾何意義，利用韋達定理可得結果.【詳解】（1）由題意得點的直角坐標為，將點代入得則直線的普通方程為.由得，即.故曲線的直角坐標方程為.（2）設直線的參數方程為（為參數），代入得．設對應參數為，對應參數為．則，，且.．【點睛】參數方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數化為普通方程，通過選取相應的參數可以把普通方程化為參數方程，利用關系式，等可以把極坐標方程與直角坐標方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標方程，用直角坐標方程解決相應問題．19、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）由短軸長可知，設，，由設而不求法作差即可求得，將相應值代入即求得，橢圓方程可求；（2）考慮特殊位置，即直線與軸垂直時候，成立，當直線斜率存在時，設出直線方程，與橢圓聯立，結合中點坐標公式，弦長公式，得到與的關系，將表示出來，結合基本不等式求最值，證明最后的結果【詳解】解：（1）由已知，得由，兩式相減，得根據已知條件有，當時，∴，即∴橢圓的標準方程為（2）當直線斜率不存在時，，不等式成立.當直線斜率存在時，設由得∴，∴由化簡，得∴令，則當且僅當時取等號∴∵∴當且僅當時取等號綜上，【點睛】本題為直線與橢圓的綜合應用，考查了橢圓方程的求法，點差法處理多未知量問題，能夠利用一元二次方程的知識轉化處理復雜的計算形式，要求學生計算能力過關，為較難題20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）對求導，令，求導研究單調性，分析可得存在使得，即，即得證；（2）分，兩種情況討論，當時，轉化利用均值不等式即得證；當，有兩個不同的零點，，分析可得的最小值為，分，討論即得解.【詳解】（1）由題意，令，則，知為的增函數，因為，，所以，存在使得，即．所以，當時，為減函數，當時，為增函數，故當時，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，證畢．（2）由（1）知，的最小值為，①當，即時，為的增函數，所以，，由（1）中，得，即．故滿足題意．②當，即時，有兩個不同的零點，，且，即，若時，為減函數，（*）若時，為增函數，所以的最小值為．注意到時，，且此時，（?。┊敃r，，所以，即，又，而，所以，即．由于在下，恒有，所以．（ⅱ）當時，