2023年高考數學專題19正、余弦定理的應用黃金解題模板

專題19正、余弦定理的應用【高考地位】正余弦定理是三角函數中有關三角知識的繼續(xù)與開展，進一步揭示了任意三角形的邊與角之間的關系，其邊角轉換功能在求解三角形及判斷三角形形狀時有著重要應用.在高考各種題型均有出現如選擇題、填空題和解答題，其試題難度屬中檔題.【方法點評】類型一判斷三角形的形狀使用情景：邊與三角函數之間的等式關系解題模板：第一步運用正弦定理或余弦定理將等式全部轉化為都是角或都是邊的等式；第二步利用三角函數的圖像及其性質或者邊與邊之間的等式關系得出所求的三角形的形狀；第三步得出結論.例1在中，，那么一定是〔〕A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【變式演練1】在中，角所對的邊分別為，假設，那么為．A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形【答案】A【解析】試題分析：根據定理：,那么,根據,所以,所以,整理為：,三角形中,所以,那么．考點：1．正弦定理；2．解斜三角形．【變式演練2】在中，內角，，所對的邊分別為，，，假設，且，，成等比數列，那么一定是〔〕A．不等邊三角形B．鈍角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形【答案】D考點：1．等比數列；2．解三角形．【變式演練3】在中，假設，那么的形狀一定是〔〕A．銳角三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形【答案】D考點：正余弦定理解三角形【變式演練4】在△ABC中，假設2cosBsinA＝sinC，那么△ABC的形狀一定是〔〕A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形【答案】C【解析】試題分析：2cosBsinA＝sinC=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB-cosAsinB=0，所以sin〔A-B〕=0，所以A=B，三角形為等腰三角形考點：三角函數公式類型二解三角形中的邊和角使用情景：三角形中解題模板：第一步直接運用正弦或余弦定理通常使用的條件判斷是運用正弦定理還是余弦定理；第二步利用相應的正弦、余弦定理的計算公式即可得出所求的結論.例2在銳角中，角的對邊分別為，假設，，那么的取值范圍〔〕A.B.C.D.【答案】B,故答案選【點評】在解三角形中求范圍問題往往需要轉化為角的問題，利用輔助角公式，結合角的范圍求得最后結果。在邊角互化中，注意化簡和誘導公式的運用。:例3設的內角，，所對的邊長分別為，，，假設，，，那么〔〕A.B.C.D.或【答案】C【變式演練3】△中，，，，假設三角形有兩解，那么的取值范圍是〔〕A．B．C.D．【答案】C【解析】試題分析：由題意得，，要使得三角形有兩解，那么滿足，解得，應選C.考點：三角形解的個數的判定.【變式演練4】在中，角的對邊為，假設，那么角為〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：因為，由余弦定理，可得，又，所以，應選A．考點：余弦定理．【變式演練5】在中，，那么〔〕A．B．C.D．【答案】D考點：正弦定理與余弦定理.類型三解決與面積有關問題使用情景：三角形中解題模板：第一步主要利用正、余弦定理求出三角形的根本元素如角與邊；第二步結合三角形的面積公式直接計算其面積.例4中，,在邊上，且,.當的面積最大時，那么的外接圓半徑為〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】因為所以的面積最大時,由題可知，,,可得,所以,由正弦定理可得，故，應選C.例5在中，內角的對邊分別為，且，假設，那么的面積為____________．【答案】【變式演練6】在△中，，，分別為角，，的對邊，如果，，成等差數列，，△的面積為,那么b為〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：成等差數列,,即,又因為面積為,,由,得,,由余弦定理得,,解得,.應選B.考點：1.余弦定理；2.面積公式.【變式演練7】頂點在單位圓上的中，角所對的邊分別為．假設，，那么．【答案】考點：余弦定理；正弦定理【變式演練8】在中，角、、所對的邊分別為、、，．〔1〕求及的面積；〔2〕求．【答案】〔1〕；〔2〕．【高考再現】1.【2023全國I卷文，11】△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．，a=2，c=，那么C=A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：由題意得，即，所以．由正弦定理得，即，得，應選B．【考點】解三角形【名師點睛】在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適宜，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，那么考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，那么要考慮兩個定理都有可能用到．2.【2023山東，理9】在中，角，，的對邊分別為，，．假設為銳角三角形，且滿足，那么以下等式成立的是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】試題分析：所以，選A.【考點】1.三角函數的和差角公式2.正弦定理.【名師點睛】此題較為容易，關鍵是要利用兩角和差的三角函數公式進行恒等變形.首先用兩角和的正弦公式轉化為含有，，的式子，用正弦定理將角轉化為邊，得到.解答三角形中的問題時，三角形內角和定理是經常用到的一個隱含條件，不容無視.3.【2023高考新課標3理數】在中，，邊上的高等于,那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C4.【2023高考天津理數】在△ABC中，假設,BC=3，,那么AC=〔〕〔A〕1 〔B〕2 〔C〕3 〔D〕4【答案】A【解析】試題分析：由余弦定理得,選A.考點：余弦定理【名師點睛】1.正、余弦定理可以處理四大類解三角形問題，其中兩邊及其一邊的對角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其關鍵是運用兩個定理實現邊角互化，從而到達知三求三的目的．5.【2023高考廣東，文5】設的內角，，的對邊分別為，，．假設，，，且，那么〔〕A．B．C．D．【答案】B【考點定位】余弦定理．【名師點晴】此題主要考查的是余弦定理，屬于容易題．解題時要抓住關鍵條件“〞，否那么很容易出現錯誤．此題也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角時要注意檢驗有兩角的情況，否那么很容易出現錯誤．解此題需要掌握的知識點是余弦定理，即．6.【2023浙江，14】△ABC，AB=AC=4，BC=2．

點D為AB延長線上一點，BD=2，連結CD，那么△BDC的面積是______，cos∠BDC=_______．【答案】【解析】【考點】解三角形【名師點睛】利用正、余弦定理解決實際問題的一般思路：〔1〕實際問題經抽象概括后，量與未知量全部集中在一個三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；〔2〕實際問題經抽象概括后，量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時需要設出未知量，從幾個三角形中列出方程〔組〕，解方程〔組〕得出所要的解．7.【2023全國III文，15】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.C=60°，b=，c=3，那么A=_________.【答案】75°【考點】正弦定理【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而到達解決問題的目的.其根本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向.第二步：定工具，即根據條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結果.8.【2023高考新課標2理數】的內角的對邊分別為，假設，，，那么．【答案】9.【2023高考重慶，文13】設的內角A，B，C的對邊分別為,且,那么c=________.【答案】4【解析】由及正弦定理知：,又因為,所以，由余弦定理得：，所以;故填：4.【考點定位】正弦定理與余弦定理.【名師點睛】此題考查正弦定理與余弦定理的應用，先由正弦定理將轉化為3a=2b結合即可求得b的值，再用余弦定理即可求解.此題屬于根底題，注意運算的準確性及最后結果還需開方.10.【2023天津理，25】在中，內角所對的邊分別為.，，.〔Ⅰ〕求和的值；〔Ⅱ〕求的值.【答案】(1).(2)【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉邊〞得出邊的關系，再根據余弦定理求出，進而得到，由轉化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數值，利用兩角差的正弦公式求出結果.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕及，得，所以，.故.考點：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點睛】利用正弦定理進行“邊轉角〞尋求角的關系，利用“角轉邊〞尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經常利用三角形內角和定理，三角形面積公式，結合正、余弦定理解題.12.【2023天津文，15】在中，內角所對的邊分別為.，.〔I〕求的值；〔II〕求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】試題分析〔Ⅰ〕首先根據正弦定理代入得到，再根據余弦定理求得；〔Ⅱ〕根據〔Ⅰ〕的結論和條件，根據求，和以及正弦定理求得，再求，以及，最后代入求的值.〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，可得，代入，得.由〔Ⅰ〕知，A為鈍角，所以.于是，，故.【考點】1.正余弦定理；2.三角恒等變換.【名師點睛】高考中經常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，那么考慮用正弦定理實現邊角互化；以上特征都不明顯時，那么要考慮兩個定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變函數名和變運算形式〞，其中的核心是“變角〞，即注意角之間的結構差異，彌補這種結構差異的依據就是三角公式13.【2023全國III理，17】的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，．〔1〕求c；〔2〕設為邊上一點，且，求的面積．【解析】〔1〕由得，即，又，∴，得.由余弦定理.又∵代入并整理得，故.〔2〕∵，由余弦定理.∵，即為直角三角形，那么，得.由勾股定理.又，那么，.14.【2023山東，文17】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=3,,S△ABC=3,求A和a.【答案】【解析】又，所以，由余弦定理，得，所以.【考點】解三角形【名師點睛】正、余弦定理是應用極為廣泛的兩個定理,它將三角形的邊和角有機地聯系起來,從而使三角與幾何產生聯系,為求與三角形有關的量(如面積、外接圓、內切圓半徑和面積等)提供了理論依據,也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關等式的重要依據．其主要方法有：化角法,化邊法,面積法,運用初等幾何法．注意體會其中蘊涵的函數與方程思想、等價轉化思想及分類討論思想．15.【2023全國II文，16】的內角的對邊分別為,假設,那么【答案】16.【2023北京理，15】在△ABC中，=60°，c=a.〔Ⅰ〕求sinC的值；〔Ⅱ〕假設a=7，求△ABC的面積.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】試題分析：〔Ⅰ〕根據正弦定理求的值；〔Ⅱ〕根據條件可知根據〔Ⅰ〕的結果求，再利用求解，最后利用三角形的面積.【考點】1.正余弦定理；2.三角形面積；3.三角恒等變換.【名師點睛】高考中經常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，那么考慮用正弦定理實現邊角互化；以上特征都不明顯時，那么要考慮兩個定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變函數名和變運算形式〞，其中的核心是“變角〞，即注意角之間的結構差異，彌補這種結構差異的依據就是三角公式17.【2023全國I卷理，16】的內角，，的對邊分別為，，，的面積為．〔1〕求；〔2〕假設，，求的周長．此題主要考查三角函數及其變換，正弦定理，余弦定理等根底知識的綜合應用.

〔1〕面積.且由正弦定理得，由得.

〔2〕由〔1〕得，

又，，

由余弦定理得①由正弦定理得，②由①②得，即周長為18.【2023年高考北京理數】在ABC中，.〔1〕求的大??；〔2〕求的最大值.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】考點：1.三角恒等變形；2.余弦定理.【名師點睛】正、余弦定理是應用極為廣泛的兩個定理，它將三角形的邊和角有機地聯系起來，從而使三角與幾何產生聯系，為求與三角形有關的量(如面積、外接圓、內切圓半徑和面積等)提供了理論依據，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關等式的重要依據．其主要方法有：化角法，化邊法，面積法，運用初等幾何法．注意體會其中蘊涵的函數與方程思想、等價轉化思想及分類討論思想．19.【2023高考新課標1卷】的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,〔I〕求C；〔II〕假設的面積為,求的周長．【答案】〔I〕〔II〕【解析】〔II〕由,．又,所以．由及余弦定理得,．故,從而．所以的周長為．考點：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式【名師點睛】三角形中的三角變換常用到誘導公式,,就是常用的結論,另外利用正弦定理或余弦定理處理條件中含有邊或角的等式,?？紤]對其實施“邊化角〞或“角化邊.〞20.【2023高考山東理數】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，〔Ⅰ〕證明：a+b=2c〔Ⅱ〕求cosC的最小值.【答案】〔Ⅰ〕見解析；〔Ⅱ〕考點：1.和差倍半的三角函數；2.正弦定理、余弦定理；3.根本不等式.【名師點睛】此類題目是解三角形問題中的典型題目，可謂相當經典.解答此題，關鍵在于能利用三角公式化簡三角恒等式，利用正弦定理實現邊角轉化，到達證明目的；三角形中的求角問題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數.此題覆蓋面較廣，能較好的考查考生的根本運算求解能力及復雜式子的變形能力等.21.【2023高考浙江理數】〔此題總分值14分〕在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.b+c=2acos〔I〕證明：A=2B；〔II〕假設△ABC的面積，求角A的大小.【答案】〔I〕證明見解析；〔II〕或．〔II〕由得，故有，因，得．又，，所以．當時，；當時，．綜上，或．考點：1、正弦定理；2、兩角和的正弦公式；3、三角形的面積公式；4、二倍角的正弦公式．【思路點睛】〔I〕用正弦定理將邊轉化為角，進而用兩角和的正弦公式轉化為含有，的式子，根據角的范圍可證；〔II〕先由三角形的面積公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三角形的內角和可得角的大?。?2.【2023年高考四川理數】在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.〔I〕證明：；〔II〕假設，求.【答案】〔Ⅰ〕證明詳見解析；〔Ⅱ〕4.〔Ⅱ〕由，b2+c2–a2=bc，根據余弦定理，有cosA==．所以sinA==．由〔Ⅰ〕，sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以sinB=cosB+sinB，故．考點：正弦定理、余弦定理、商數關系、平方關系.【名師點睛】此題考查正弦定理、余弦定理、商數關系等根底知識，考查學生的分析問題的能力和計算能力.在解三角形的應用中，但凡遇到等式中有邊又有角時，可用正弦定理進行邊角互化，一種是化為三角函數問題，一般是化為代數式變形問題．在角的變化過程中注意三角形的內角和為這個結論，否那么難以得出結論．23.【2023高考新課標2，理17】中，是上的點，平分，面積是面積的2倍．(Ⅰ)求；(Ⅱ)假設，，求和的長．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)，，因為，【考點定位】1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理．【名師點睛】此題考查了三角形的面積公式、角分線、正弦定理和余弦定理，由角分線的定義得角的等量關系，由面積關系得邊的關系，由正弦定理得三角形內角正弦的關系；分析兩個三角形中和互為相反數的特點結合條件，利用余弦定理列方程，進而求．【反應練習】1．【河南省中原名校(豫南九校)2023-2023學年高二上學期第二次聯考數學〔文〕試題】在中，內角，，所對的邊分別是，，，，，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B2．【陜西省西安市長安區(qū)第五中學2023屆高三上學期第二次模擬考試數學〔理〕試題】三個內角所對的邊為，且，那么角等于〔〕A.B.C.D.或【答案】A【解析】由正弦定理可得：，那么，又，所以，應選A。3．【安徽省十大名校2023屆高三11月聯考數學〔文〕試題】在中，角的對邊分別為，，那么〔〕A.1B.2C.3D.【答案】C【解析】因為，所以，又，即，解得，應選C.4．【全國名校大聯考2023-2023年度高三第二次聯考數學〔文〕試題】某新建的信號發(fā)射塔的高度為，且設計要求為：29米29.5米.為測量塔高是否符合要求，先取與發(fā)射塔底部在同一水平面內的兩個觀測點，測得，，米，并在點處的正上方處觀測發(fā)射塔頂部的仰角為30°，且米，那么發(fā)射塔高〔〕A.米B.米C.米D.米【答案】A【解析】過點E作，垂足為，那么米，，在中，由正弦定理得：米.在中，〔米〕.所以〔米〕，符合設計要求.應選A.6．【河北省衡水中學2023屆高三9月大聯考數學〔文〕試題】的內角，，的對邊分別是，，，且，假設，那么的取值范圍為〔〕A.B.C.D.【答案】B7．【河南省許平汝2023-2023學年高二上學期第一次聯考數學試題】在斜中，角的對邊分別為，，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B8.【河南省中原名校(豫南九校)2023-2023學年高二上學期第二次聯考數學〔文〕試題】在中，，，是的中點，，那么等于__________．【答案】【解析】延長至N，使，連接，那么四邊形為平行四邊形，，在中，，在中，，，.9．【河南省漯河市高級中學2023屆高三上學期第三次模擬考試〔期中〕數學〔文〕試題】在中，內角的對邊分別為，，，那么的取值范圍是__________．【答案】【解析】，得，，，那么，得，解得，又，的范圍是。10．【遼寧省莊河市高級中學、沈陽市第二十中學2023屆高三上學期第一次聯考數學〔理〕試題】在中，角所對的邊分別為，且，，那么的最小值為__________.【答案】11．【廣西賀州市桂梧高中2023屆高三上學期第四次聯考數學〔理〕試題】的內角，，所對的邊分別為，，.，且，有以下結論：①；