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本文格式為Word版,下載可任意編輯——2022屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ,第8講函數(shù)與方程函數(shù)的應(yīng)用8§2.8函數(shù)與方程最新考綱考情考向分析結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理或函數(shù)的圖象,對(duì)函數(shù)是否存在零點(diǎn)舉行判斷或利用零點(diǎn)(方程實(shí)根)的存在處境求相關(guān)參數(shù)的范圍,是高考的熱點(diǎn),題型以選擇、填空為主,也可和導(dǎo)數(shù)等學(xué)識(shí)交匯展現(xiàn)解答題,中高檔難度.1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反,即f(a)·f(b)0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ=0Δ0)的圖像與x軸的交點(diǎn)(x1,0),(x2,0)(x1,0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210學(xué)識(shí)拓展有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),那么f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(2)連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的全體函數(shù)值保持同號(hào).(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖像通過(guò)零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值可能變號(hào),也可能不變號(hào).題組一斟酌辨析1.判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn).(×)(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷),那么f(a)·f(b)0且函數(shù)f(x)的圖像連續(xù)不斷,f(x)為增函數(shù),∴f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi).3.若函數(shù)f(x)=3x-7+lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(n,n+1)(n∈N)內(nèi),那么n=________.答案2解析由于ln21,所以f(3)>0,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi),故n=2.4.函數(shù)f(x)=-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.答案1解析作函數(shù)y1=和y2=x的圖像如下圖,由圖像知函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn).題組三易錯(cuò)自糾5.已知函數(shù)f(x)=x-(x>0),g(x)=x+ex,h(x)=x+lnx的零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,那么()A.x11時(shí),由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又由于x>1,所以此時(shí)方程無(wú)解.綜上函數(shù)f(x)只有1個(gè)零點(diǎn).7.函數(shù)f(x)=ax+1-2a在區(qū)間(-1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案解析∵函數(shù)f(x)的圖像為直線,由題意可得f(-1)f(1)0,∴f(1)·f(2)0,f(b)=(b-c)(b-a)0,由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知,在區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi)分別存在零點(diǎn),又函數(shù)f(x)是二次函數(shù),最多有兩個(gè)零點(diǎn).因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi),應(yīng)選A.3.設(shè)函數(shù)y1=x3與y2=x-2的圖像的交點(diǎn)為(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,那么x0所在的區(qū)間是______.答案(1,2)解析令f(x)=x3-x-2,那么f(x0)=0,易知f(x)為增函數(shù),且f(1)0,∴x0所在的區(qū)間是(1,2).思維升華確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理;
(2)數(shù)形結(jié)合法.題型二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷典例(1)函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.答案2解析當(dāng)x≤0時(shí),令x2-2=0,解得x=-(正根舍去),所以在(-∞,0]上有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)x>0時(shí),f′(x)=2+>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).又由于f(2)=-2+ln20,所以f(x)在(0,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn),綜上,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ex+x-3,那么f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案C解析由于函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),所以f(0)=0,即0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)x>0時(shí),令f(x)=ex+x-3=0,那么ex=-x+3,分別畫出函數(shù)y1=ex和y2=-x+3的圖像,如下圖,兩函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱性知,當(dāng)x0,即a2-10a+9>0,解得a9.又由圖像得a>0,∴09.引申探究本例中,若f(x)=a恰有四個(gè)互異的實(shí)數(shù)根,那么a的取值范圍是________________.答案解析作出y1=|x2+3x|,y2=a的圖像如下圖.當(dāng)x=-時(shí),y1=;
當(dāng)x=0或x=-3時(shí),y1=0,由圖像易知,當(dāng)y1=|x2+3x|和y2=a的圖像有四個(gè)交點(diǎn)時(shí),00,解得a.(2)已知函數(shù)f(x)=那么使函數(shù)g(x)=f(x)+x-m有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.[0,1)B.(-∞,1)C.(-∞,1]∪(2,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞)答案D解析函數(shù)g(x)=f(x)+x-m的零點(diǎn)就是方程f(x)+x=m的根,畫出h(x)=f(x)+x=的大致圖像(圖略).查看它與直線y=m的交點(diǎn),得知當(dāng)m≤0或m>1時(shí),有交點(diǎn),即函數(shù)g(x)=f(x)+x-m有零點(diǎn).命題點(diǎn)3根據(jù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)典例若函數(shù)f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi),那么m的取值范圍是__________.答案解析依題意,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像分析可知m需得志即解得<m<.思維升華根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的處境求參數(shù)有三種常用方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分開參數(shù)法:先將參數(shù)分開,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像,然后數(shù)形結(jié)合求解.跟蹤訓(xùn)練(1)方程(a-2x)=2+x有解,那么a的最小值為________.答案1解析若方程(a-2x)=2+x有解,那么2+x=a-2x有解,即x+2x=a有解,由于x+2x≥1,故a的最小值為1.(2)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.答案(0,1)解析畫出函數(shù)f(x)=的圖像,如下圖.由于函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn),結(jié)合圖像得0<m<1,即m∈(0,1).利用轉(zhuǎn)化思想求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題典例(1)已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個(gè)不同的實(shí)根,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.(
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