2022屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義第二章　函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ,第8講　函數(shù)與方程函數(shù)的應(yīng)用8

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2022屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ,第8講函數(shù)與方程函數(shù)的應(yīng)用8§2.8函數(shù)與方程最新考綱考情考向分析結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理或函數(shù)的圖象，對(duì)函數(shù)是否存在零點(diǎn)舉行判斷或利用零點(diǎn)(方程實(shí)根)的存在處境求相關(guān)參數(shù)的范圍，是高考的熱點(diǎn)，題型以選擇、填空為主，也可和導(dǎo)數(shù)等學(xué)識(shí)交匯展現(xiàn)解答題，中高檔難度.1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義函數(shù)y＝f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a)·f(b)0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ＝0Δ0)的圖像與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210學(xué)識(shí)拓展有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，那么f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的全體函數(shù)值保持同號(hào)．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖像通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)．題組一斟酌辨析1．判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)．(×)(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，那么f(a)·f(b)0且函數(shù)f(x)的圖像連續(xù)不斷，f(x)為增函數(shù)，∴f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi)．3．若函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，那么n＝________.答案2解析由于ln21，所以f(3)>0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故n＝2.4．函數(shù)f(x)＝－x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案1解析作函數(shù)y1＝和y2＝x的圖像如下圖，由圖像知函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)．題組三易錯(cuò)自糾5．已知函數(shù)f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，那么()A．x11時(shí)，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又由于x>1，所以此時(shí)方程無(wú)解．綜上函數(shù)f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)．7．函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案解析∵函數(shù)f(x)的圖像為直線，由題意可得f(－1)f(1)0，∴f(1)·f(2)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)．因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，應(yīng)選A.3．設(shè)函數(shù)y1＝x3與y2＝x－2的圖像的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，那么x0所在的區(qū)間是______．答案(1,2)解析令f(x)＝x3－x－2，那么f(x0)＝0，易知f(x)為增函數(shù)，且f(1)0，∴x0所在的區(qū)間是(1,2)．思維升華確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理；

(2)數(shù)形結(jié)合法．題型二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷典例(1)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．答案2解析當(dāng)x≤0時(shí)，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．又由于f(2)＝－2＋ln20，所以f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ex＋x－3，那么f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案C解析由于函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x>0時(shí)，令f(x)＝ex＋x－3＝0，那么ex＝－x＋3，分別畫(huà)出函數(shù)y1＝ex和y2＝－x＋3的圖像，如下圖，兩函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，當(dāng)x0，即a2－10a＋9>0，解得a9.又由圖像得a>0，∴09.引申探究本例中，若f(x)＝a恰有四個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，那么a的取值范圍是________________．答案解析作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的圖像如下圖．當(dāng)x＝－時(shí)，y1＝；

當(dāng)x＝0或x＝－3時(shí)，y1＝0，由圖像易知，當(dāng)y1＝|x2＋3x|和y2＝a的圖像有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，00，解得a.(2)已知函數(shù)f(x)＝那么使函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[0,1)B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞)D．(－∞，0]∪(1，＋∞)答案D解析函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m的零點(diǎn)就是方程f(x)＋x＝m的根，畫(huà)出h(x)＝f(x)＋x＝的大致圖像(圖略)．查看它與直線y＝m的交點(diǎn)，得知當(dāng)m≤0或m>1時(shí)，有交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點(diǎn)．命題點(diǎn)3根據(jù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)典例若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，那么m的取值范圍是__________．答案解析依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像分析可知m需得志即解得<m<.思維升華根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的處境求參數(shù)有三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分開(kāi)參數(shù)法：先將參數(shù)分開(kāi)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．跟蹤訓(xùn)練(1)方程(a－2x)＝2＋x有解，那么a的最小值為_(kāi)_______．答案1解析若方程(a－2x)＝2＋x有解，那么2＋x＝a－2x有解，即x＋2x＝a有解，由于x＋2x≥1，故a的最小值為1.(2)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案(0,1)解析畫(huà)出函數(shù)f(x)＝的圖像，如下圖．由于函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖像得0<m<1，即m∈(0,1)．利用轉(zhuǎn)化思想求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題典例(1)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．(