2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓解答題綜合訓(xùn)練（難度重點偏上）（含解析）

圓大題綜合訓(xùn)練1、如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點C，AD⊥EF于點D，∠DAC=∠BAC．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）求證：AC2=AD?AB；（3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．2、如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，弦AF交BC于點E，延長BC到點D，連接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，CE=2，求EF的長．3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，DE⊥AD，交AB于點E，AE為⊙O的直徑（1）判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）求證：△ABD∽△DBE；（3）若cosB=，AE=4，求CD．4．如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經(jīng)過點M，交BC于點G，交AB于點F．（1）求證：AE為⊙O的切線．（2）當(dāng)BC=8，AC=12時，求⊙O的半徑．（3）在（2）的條件下，求線段BG的長．5．如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點G，若AG?AB=12，求AC的長；（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．6．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，過點O作OH⊥AB交圓于點H，點C是弧AH上異于A、H的動點，過點C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分別為D、E，過點C的直線交OA的延長線于點G，且∠GCD=∠CED．（1）求證：GC是⊙O的切線；（2）求DE的長；（3）過點C作CF⊥DE于點F，若∠CED=30°，求CF的長．7、如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點E，交BC于點D，過點E作直線l∥BC．（1）判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠ABC的平分線BF交AD于點F，求證：BE=EF；（3）在（2）的條件下，若DE=4，DF=3，求AF的長．8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸正半軸上，OA=8，以O(shè)A為直徑作⊙M，點C在⊙M上，∠AOC=45°，四邊形ABCO為平行四邊形．（1）求證：BC為⊙M的切線．（2）求點B的坐標(biāo)．（3）若D點坐標(biāo)為（3，﹣3），求∠OCD的正弦值．9、如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點B，AF交⊙O于點D，點C在DF上，BC交⊙O于點E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于點G，連接AE．（1）直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；（2）求證：△BCG∽△ACE；（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半徑長．10、如圖，AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點，且AC=CG，過點C的直線CD⊥BG于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若，求∠E的度數(shù)．（3）連接AD，在（2）的條件下，若CD=，求AD的長．11、如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD=BC，延長AD到E，且有∠EBD=∠CAB．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）若BC=，AC=5，求圓的直徑AD及切線BE的長．12、已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB=∠AEC．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）求證：CE2=EH?EA；（3）若⊙O的半徑為5，sinA=，求BH的長．13、如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于E，過點A作∠DAF=∠DAB，過點D作AF的垂線，垂足為F，交AB的延長線于點P，連接CO并延長交⊙O于點G，連接EG，已知DE=4，AE=8．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）求證：OC2=OE?OP；（3）求線段EG的長．14、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分線．以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O．（1）求證：AB是⊙O的切線．（2）已知AO交⊙O于點E，延長AO交⊙O于點D，tanD=，求的值．（3）在（2）的條件下，設(shè)⊙O的半徑為3，求AB的長．15、如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以O(shè)A的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半徑．16、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB為半徑作⊙C，交AC于點D，交AC的延長線于點E，連接BD，BE．（1）求證：△ABD∽△AEB；（2）當(dāng)=時，求tanE；（3）在（2）的條件下，作∠BAC的平分線，與BE交于點F，若AF=2，求⊙C的半徑．17、如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點E，F(xiàn)是OE上的一點，使CF∥BD．（1）求證：BE=CE；（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的長．18、如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，P為BC延長線上一點，∠PAC=∠B，AD為⊙O的直徑，過C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判斷直線PA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：AG2=AF?AB；（3）若⊙O的直徑為10，AC=2，AB=4，求△AFG的面積．答案1、（1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥EF，∴OC⊥EF，∵OC為半徑，∴EF是⊙O的切線．（2）證明：連接BC，∵AB為⊙O直徑，AD⊥EF，∴∠BCA=∠ADC=90°，∵∠DAC=∠BAC，∴△ACB∽△ADC，∴=，∴AC2=AD?AB．（3）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°，∵OC=OA，∴△OAC是等邊三角形，∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，∵在Rt△ACD中，AD=AC=×2=1，由勾股定理得：DC=，∴陰影部分的面積是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=×（2+1）×﹣=﹣π．2、解：（1）∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切線；（2）連接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴=，∴EF=．3、（1）結(jié)論：BC與⊙O相切．證明：如圖連接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC．∴BC是⊙O的切線．（2）∵BC是⊙O切線，∴∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODE=90°，∵AE是直徑，∴∠ADE=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∴∠BDE=∠DAB，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△DBE．（3）在Rt△ODB中，∵cosB==，設(shè)BD=2k，OB=3k，∵OD2+BD2=OB2，∴4+8k2=9k2，∴k=2，∴BO=6，BD=4，∵DO∥AC，∴=，∴=，∴CD=．4、（1）證明：連接OM．∵AC=AB，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4，∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠CBM，∴∠OMB=∠CBM，∴OM∥BC又∵AE⊥BC，∴AE⊥OM，∴AE是⊙O的切線；（2）設(shè)⊙O的半徑為R，∵OM∥BE，∴△OMA∽△BEA，∴=即=，解得R=3，∴⊙O的半徑為3；（3）過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，∴四邊形OMEH是矩形，∴HE=OM=3，∴BH=1，∴BG=2BH=2．5、（1）證明：連接CD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，∴∠PAC=∠ADC，∴∠CAD+∠PAC=90°，∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直徑，∴PA是⊙O的切線；（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC，∴=，即AC2=AG?AB，∵AG?AB=12，∴AC2=12，∴AC=2；（3）解：設(shè)AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，∴AD=AF+FD=3x，在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF?AD，即3x2=12，解得；x=2，∴AF=2，AD=6，∴⊙O半徑為3，在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，根據(jù)勾股定理得：AG===，由（2）知，AG?AB=12，∴AB==，連接BD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，∴sin∠ADB=，∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=．6、（1）證明：連接OC，交DE于M，如圖所示：∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH，∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°，∴四邊形ODCE是矩形，∴∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，∴∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，∵∠GCD=∠CED，∴∠GCD+∠MCD=90°，即GC⊥OC，∴GC是⊙O的切線；（2）解：由（1）得：DE=OC=AB=3；（3）解：∵∠DCE=90°，∠CED=30°，∴CE=DE?cos∠CED=3×=，∴CF=CE=．7、解：（1）直線l與⊙O相切．理由：如圖1所示：連接OE．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∴．∴OE⊥BC．∵l∥BC，∴OE⊥l．∴直線l與⊙O相切．（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，∴∠EBF=∠EFB．∴BE=EF．（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，∴△BED∽△AEB．∴，即，解得；AE=．∴AF=AE﹣EF=﹣7=．8、（1）證明：連接CM，∵OM=CM，∠AOC=45°，∴∠AOC=∠OCM=45°，∴∠CMA=45°+45°=90°，∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴BC∥OA，∴∠BCM=180°﹣90°=90°，∴MC⊥BC，∵M(jìn)C是半徑，∴BC是⊙M的切線；（2）解：∵OA=8，∴OM=4，∴MC=OM=4，∴B的橫坐標(biāo)是4+8=12，即B的坐標(biāo)是（12，4）；（3）解：連接AD，過D作DN⊥OA于N，∵D（3，﹣3），∴ON=3，DN=3，∴DO===6，∵OA=8，由圓周角定理得：∠OAD=∠OCD，即sin∠OCD=sin∠OAD==．9、解：（1）如圖1，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°．∴AE⊥BC．（2）如圖1，∵BF與⊙O相切，∴∠ABF=90°．∴∠CBF=90°﹣∠ABE=∠BAE．∵∠BAF=2∠CBF．∴∠BAF=2∠BAE．∴∠BAE=∠CAE．∴∠CBF=∠CAE．∵CG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB=∠AEC=90°．∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，∴△BCG∽△ACE．（3）連接BD，如圖2所示．∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，∴∠DBE=∠CBF．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∴BD⊥AF．∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，∴CD=CG．∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，∴tan∠F==CG=tan60°=∵CG=，∴CD=．∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，∴∠BAF=30°．∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，∴AB=2BD．∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，∴∠ABE=∠ACE．∴AB=AC．設(shè)⊙O的半徑為r，則AC=AB=2r，BD=r．∵∠ADB=90°，∴AD=r．∴DC=AC﹣AD=2r﹣r=（2﹣）r=．∴r=2+3．∴⊙O的半徑長為2+3．10、（1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG，∵AC=CG，∴，∴∠ABC=∠CBG，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，∴，∴，∵OA=OB，∴AE=OA=OB，∴OC=OE，∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；（3）解：如圖2，過A作AH⊥DE于H，∵∠E=30°∴∠EBD=60°，∴∠CBD=EBD=30°，∵CD=，∴BD=3，DE=3，BE=6，∴AE=BE=2，∴AH=1，∴EH=，∴DH=2，在Rt△DAH中，AD===．11、解：如圖，連接OB，∵BD=BC，∴∠CAB=∠BAD，∵∠EBD=∠CAB，∴∠BAD=∠EBD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，OA=BO，∴∠BAD=∠ABO，∴∠EBD=∠ABO，∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，∵點B在⊙O上，∴BE是⊙O的切線，（2）如圖2，設(shè)圓的半徑為R，連接CD，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∵BC=BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA=OD，∴OF=AC=，∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BDE=∠ACB，∵∠DBE=∠ACB，∴△DBE∽△CAB，∴，∴，∴DE=，∵∠OBE=∠OFD=90°，∴DF∥BE，∴=，∴，∵R＞0，∴R=3，∴AD=2R=6，在Rt△ODF中，OF=，OD=R=3，∴DF==∵，∴BE===12、（1）證明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切線；（2）證明：連接AC，如圖1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH?EA；（3）解：連接BE，如圖2所示：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半徑為5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB?sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH?EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．13、（1）證明：連接OD，如圖1所示：∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵∠DAF=∠DAB，∴∠ADO=∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切線；（2）證明：由（1）得：DF⊥OD，∴∠ODF=90°，∵AB⊥CD，∴由射影定理得：OD2=OE?OP，∵OC=OD，∴OC2=OE?OP；（3）解：連接DG，如圖2所示：∵AB⊥CD，∴DE=CE=4，∴CD=DE+CE=8，設(shè)OD=OA=x，則OE=8﹣x，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴CG=2OA=10，∵CG是⊙O的直徑，∴∠CDG=90°，∴DG===6，∴EG===2．14、14、（1）如圖，過點O作OF⊥AB于點F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC=OF，∴AB是⊙O的切線；（2）如圖，連接CE，∵ED是⊙O的直徑，∴∠ECD=90°，∴∠ECO+∠OCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECO=90°，∴∠ACE=∠OCD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACE=∠ODC，∵∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D=，∴=，∴=；（3）由（2）可知：=，∴設(shè)AE=x，AC=2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2=AE?AD，∴（2x）2=x（x+6），解得：x=2或x=0（不合題意，舍去），∴AE=2，AC=4，由（1）可知：AC=AF=4，∠OFB=∠ACB=90°，∵∠B=∠B，∴△OFB∽△ACB，∴=，設(shè)BF=a，∴BC=，∴BO=BC﹣OC=﹣3，在Rt△BOF中，BO2=OF2+BF2，∴（﹣3）2=32+a2，∴解得：a=或a=0（不合題意，舍去），∴AB=AF+BF=．15、解：（1）直線CE與⊙O相切．…（1分）理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE；連接OE，則∠DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠AE0+∠DEC=90°∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．又OE是⊙O的半徑，∴直線CE與⊙O相切．…（5分）（2）∵tan∠ACB==，BC=2，∴AB=BC?tan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=tan∠ACB=，∴DE=DC?tan∠DCE=1；方法一：在Rt△CDE中，CE==，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即=r2+3解得：r=方法二：AE=AD﹣DE=1，過點O作OM⊥AE于點M，則AM=AE=在Rt△AMO中，OA==÷=…（9分）16、解：（1）∵∠ABC=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DBC，由題意知：DE是直徑，∴∠DBE=90°，∴∠E=90°﹣∠BDE，∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDE，∴∠ABD=∠E，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△AEB；（2）∵AB：BC=4：3，∴設(shè)AB=4，BC=3，∴AC==5，∵BC=CD=3，∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，由（1）可知：△ABD∽△AEB，∴==，∴AB2=AD?AE，∴42=2AE，∴AE=8，在Rt△DBE中tanE====；（3）過點F作FM⊥AE于點M，∵AB：BC=4：3，∴設(shè)AB=4x，BC=3x，∴由（2）可知；AE=8x，AD=2x，∴DE=AE﹣AD=6x，∵AF平分∠BAC，∴=