部編人教版九年級數(shù)學(xué)(下)教案2721第3課時兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

相像三角形的判斷第3課時兩邊成比率且夾角相等的兩個三角形相像1．理解“兩邊成比率且夾角相等的兩個三角形相像”的含義，能分清條件和結(jié)論，并能用文字、圖形和符號語言表示；(要點)2．會運用“兩邊成比率且夾角相等的兩個三角形相像”判斷兩個三角形相像，并解決簡單的問題．(難點)一、情境導(dǎo)入利用刻度尺和量角器畫兩個三角形，使它們的兩條對應(yīng)邊成比率，而且夾角相等．量一量第三條對應(yīng)邊的長，計算它們的比與前兩條對應(yīng)邊的比能否相等．另兩個角能否對應(yīng)相等？你能得出什么結(jié)論？二、合作研究研究點：兩邊成比率且夾角相等的兩個三角形相像【種類一】直接利用判斷定理判斷兩個三角形相像已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別是AB、CB延伸線上的點，CE9，AD＝15，連結(jié)DE.若BC＝6，AC＝8，求證：△ABC∽△DBE.分析：第一利用勾股定理可求出AB的長，再由已知條件可求出DB，從而可獲得DB∶AB的值，再計算出

EB∶BC

的值，既而可判斷

△ABC∽△

DBE.證明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝BC2＋AC2＝10，∴DBAD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.方法總結(jié)：解此題時必定要注意一定是兩邊對應(yīng)的夾角才行，還要注意一些隱含條件，如公共角、對頂角等．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“講堂達標(biāo)訓(xùn)練”【種類二】增添條件使三角形相像

第2題如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點，P為邊AB上一點，AB＝12，AC＝8，AD＝6，當(dāng)AP的長度為________時，△ADP和△ABC相像．分析：當(dāng)△ADP∽△ACB時，APADAP＝6ADAB＝AC，∴128，解得AP＝9.當(dāng)△ADP∽△ABC時，ABAP6AP＝AC，∴12＝8，解得AP＝4，∴當(dāng)AP的長度為4或9時，△ADP和△ABC相像．故答案為4或9.方法總結(jié)：增添條件時，先明確已知的條件，再依據(jù)判斷定理找尋需要的條件，對應(yīng)本題可先假定兩個三角形相像，再利用倒推法以及分類議論解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“講堂達標(biāo)訓(xùn)練”第5題【種類三】利用三角形相像證明等積式如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點，ED的延伸線交CA的延伸線于F.求證：AC·CF＝BC·DF.分析：先證明△ADC∽△CDB可得CDAD＝ACBC，再聯(lián)合條件證明△FDC∽△FAD，可得ADCD＝DFCF，則可證得結(jié)論．證明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°，∴∠DAC＝ADAC∠DCB，且∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴CD＝BC.∵E為BC的中點，CD⊥AB，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE，∵∠EDC＋∠FDA＝∠ECD＋∠ACD，∴∠FCD＝∠FDA，又∠F＝∠F，∴△FDC∽△FAD，∴DFCF＝ADDC，∴ACBC＝DFCF，∴AC·CF＝BC·DF.方法總結(jié)：證明等積式或比率式的方法：把等積式或比率式中的四條線段分別當(dāng)作兩個三角形的對應(yīng)邊，而后證明兩個三角形相像，獲得要證明的等積式或比率式．【種類四】利用相像三角形的判斷進行計算如下圖，BC⊥CD于點C，BE⊥DE于點E，BE與CD訂交于點A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的長．分析：由于AC＝3，因此只要求出AD即可求出CD.可證明△ABC與△ADE相像，再利用相像三角形對應(yīng)邊成比率即可求出AD.解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝BC2＋AC2＝42＋32＝5.∵BC⊥CD，BE⊥DE，∴∠C＝∠E，又∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴AB＝AC，即5＝3，解ADAEAD2101019得AD＝3，∴CD＝AD＋AC＝3＋3＝3.方法總結(jié)：利用相像三角形的判斷進行邊角計算時，應(yīng)先利用條件證明三角形相像或通過作協(xié)助線結(jié)構(gòu)相像三角形，而后利用相像三角形對應(yīng)角相等和對應(yīng)邊成比率進行求解．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后穩(wěn)固提高”第7題【種類五】利用相像三角形的判斷解決動點問題如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，點P從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度挪動，與此同時點Q從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度挪動，經(jīng)過多長時間△ABC和△PQC相像？分析：由

AC

與

AB的關(guān)系，設(shè)出

AC＝3xcm，AB＝5xcm，在直角三角形

ABC

中，利用勾股定理列出對于

x的方程，求出方程的解獲得

x的值，從而獲得

AB

與

AC

的長．而后設(shè)出動點運動的時間為

ts，依據(jù)相應(yīng)的速度分別表示出

PC與

CQ

的長，由△ABC

和△PQC

相似，依據(jù)對應(yīng)極點不一樣分兩種狀況列出比率式，把各邊的長代入即可獲得對于

t的方程，求出方程的解即可獲得

t的值，從而獲得全部知足題意的時間

t的值．解：由5AC－3AB＝0，獲得5AC＝3AB，設(shè)AB為5xcm，則AC＝3xcm，在Rt△ABC中，由BC＝8cm，依據(jù)勾股定理得25x2＝9x2＋64，解得x＝2或x＝－2(舍去)，∴AB＝5x10cm，AC＝3x＝6cm.設(shè)經(jīng)過t秒△ABC和△PQC相像，則有BP＝2tcm，PC＝(8－2t)cm，BC＝AC，即8＝6，解得t＝32；②CQ＝tcm，分兩種狀況：①當(dāng)△ABC∽△PQC時，有QCPCt8－2t11當(dāng)△ABC∽△QPC時，有AC＝BC，即6＝8，解得t＝1212或32秒△ABCQCPCt8－2t5.綜上可知，經(jīng)過511和△PQC相像．方法總結(jié)：此題的要點是依據(jù)三角形相像的對應(yīng)極點不一樣，分兩種狀況△ABC∽△PQC與△ABC∽△QPC分別列出比率式來解決問題．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后穩(wěn)固提高”第8題三、板書設(shè)計1．三角形相像的判斷定理：兩邊成比率且夾角相等的兩個三角形相像；2．應(yīng)用判斷定理解決簡單的問題．本節(jié)課采納研究發(fā)現(xiàn)式教課