山東省舜耕中學高三數(shù)學一輪復習資料第六編數(shù)列61數(shù)列的概念簡單表示法理

高三數(shù)學（理）一輪復習教學設(shè)計第六編數(shù)列總第26期§6.1數(shù)列的概念及簡單表示法基礎(chǔ)自測以下對數(shù)列的理解有四種：①數(shù)列能夠當作一個定義在N*（或它的有限子集{1，2，3，，n}）上的函數(shù)；②數(shù)列的項數(shù)是有限的；③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點；④數(shù)列的通項公式是唯一的.此中說法正確的選項是（填序號）.答案①③設(shè)an=-n2+10n+11，則數(shù)列{an}從首項到第項的和最大.答案10或113.(2008·安徽文，15)在數(shù)列{an}中,an=4n-5,a1+a2+2+an=an2+bn,n∈N*,此中a、b為常數(shù)，則ab=.答案-14.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=3n1(n為奇數(shù))，則2n2(n為偶數(shù))，a·a=.23答案20（2008·北京理，6）已知數(shù)列{an}對隨意的p,q∈N*知足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10=.答案-30例題精講例1寫出下邊各數(shù)列的一個通項公式：（1）3，5，7，9，；（2）1，23，7，15，31，；481632（3）-1，3，-1，3，-1，3，；（4）2，-1，234563，-17，26，-37，；7911135）3，33，333，3333，.解（1）各項減去1后為正偶數(shù)，因此an=2n+1.（2）每一項的分子比分母少1，而分母構(gòu)成數(shù)列21，22，23，24，，因此an=2n1.2n（3）奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式中含n1，2，3，4，；因子（-1）；各項絕對值的分母構(gòu)成數(shù)列而各項絕對值的分子構(gòu)成的數(shù)列中，奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為3，即奇數(shù)項為2-1，偶數(shù)項為2+1，因此an=（-1）n·2(1)n1(n為正奇數(shù))..也可寫為an=nn3(n為正偶數(shù))n（4）偶數(shù)項為負，奇數(shù)項為正，故通項公式必含因子（-1）n+1，察看各項絕對值構(gòu)成的數(shù)列，從第3項到第6項可見，分母分別由奇數(shù)7，9，11，13構(gòu)成，而分子則是32+1，42+1，52+1，62+1，依據(jù)這樣的規(guī)律第1、2兩項可改寫為121，-221，因此an=(-1)n+1·n21.212212n1（5）將數(shù)列各項改寫為9，99，999，9999，，3333分母都是3，而分子分別是10-1,102-1,103-1,104-1,,因此an=1(10n-1).3例2已知數(shù)列的通項公式為an=n2.n21（1）0.98是否是它的項？（2）判斷此數(shù)列的增減性.解（1）假定0.98是它的項，則存在正整數(shù)n,知足n2=0.98，∴n2=0.98n2+0.98.n21∵n=7時建立，∴0.98是它的項.（2）an+1-an=(n1)2n2=2n1(n1)21n21[(n1)21](n21)

＞0.∴此數(shù)列為遞加數(shù)列.例3、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn知足an+2SnSn-1=0(n2),a1=1,求an.2解∵當n≥2時，a=S-Sn-1,∴S-Sn-1+2SS=0，即nnnnn-1-1=2，SnSn1∴數(shù)列1是公差為2的等差數(shù)列.又S1=a1=1，∴1=2，Sn2S11=2+（n-1）·2=2n，Sn∴Sn=1∴當n≥2時，an=-2SnSn-1=-2·1·1=-1，2n2n2(n1)2n(n1)1(n1)∴an=21(n2)2n(n1)穩(wěn)固練習依據(jù)下邊各數(shù)列前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1）2，4，6，8，10，（2）1，2，9，315356399228，25，2（3）5，55，555，5555，55555，（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，5）1，3，7，15，31，解（1）這是一個分數(shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，，每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積，經(jīng)過組合，則所求數(shù)列的通項公式an=2n.(2n1)(2n1)（2）數(shù)列的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都一致成分數(shù)再察看：1，4，9，16，25，，可得通項公式an=n2.222222n個n個n個(10n-1),（3）聯(lián)想999=10n-1,則an=555=5(999)=599即an=5(10n-1).9（4）數(shù)列的各項都擁有周期性，聯(lián)想基本數(shù)列1，0，-1，0，，則an=5sinn.25）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，∴an=2n-1，故所求數(shù)列的通項公式為an=2n-1.已知函數(shù)f（x）=2x-2-x，數(shù)列{an}知足f（log2an）=-2n.1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求證：數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.1）解∵f（x）=2x-2-x，∴f（log2an）log2anlog2ann1=2=-2n.-2=-2n，即a-an∴an2+2n·an-1=0.∴an=2n4n24，又an＞0，∴2an=n21-n.（2）證明∵an＞0，且an=n21-n,∴an1=(n1)21(n1)=n21n＜1.ann21n(n1)21(n1)an+1＜an.即{an}為遞減數(shù)列.已知在正項數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和且2Sn=an+1，求an.解∵2Snn+1,∴Sn=1(a=a4

2n+2an+1),∴Sn-1=1(a2n1+2an-1+1),4∴當n≥2時，an=Sn-Sn-1=1［（a2n-a2n1）+2（an-an-1）］，4整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，an＞0，∴an-an-1=2，當n=1時，a1=1,∴{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.∴an=2n-1(n∈N*).回首總結(jié)知識方法思想課后練習一、填空題數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第100項是.答案14n1*都有2.數(shù)列{a}中，a=1,關(guān)于全部的n≥2，n∈Na1·a2·a3··an=n2，則a3+a5=.答案61163.數(shù)列-1,8，-15，24，的一個通項公式579是.答案an=(-1)nn(n2)2n1以下圖是用相同規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第n個圖案中需用黑色瓷磚塊.（用含n的代數(shù)式表示）答案4n+8已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-9n，第k項知足5＜ak＜8，則k=.答案86.若數(shù)列{an}的通項公式an=1，記f（n）(n1)2=2(1-a1)(1-a2)(1-an)，試經(jīng)過計算f(1),f(2),f(3)的值，推斷出f(n)=(用含n的代數(shù)式表示）.答案n2n12an,0an1,7.（2008·沈陽模擬）數(shù)列{an}知足an+1=12，2an1,an1,2a1=3，則數(shù)列的第2008項為.5答案458.已知數(shù)列{an}中,a1=1,(n+1)an=nan+1,則數(shù)列{an}的一個通項公式an=.答案n二、解答題9.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，知足log2(1+Sn)=n+1,求數(shù)列的通項公式.解：Sn知足log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n+1,∴Sn=2n+1-1.1nnn-1=(2n+1nn(n≥2),∴a=3,a=S-S-1)-(2-1)=2nn3(n1),∴{a}的通項公式為a=2n(n2).10.已知數(shù)列{an}中，a1=1,前n項和為Sn，對隨意的n≥2,3Sn-4,an,2-3Sn1總成等差數(shù)列.2（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通項公式an.解（1）當n≥2時，3Sn-4,an,2-3Sn1成等差數(shù)列，2∴2an=3Sn-4+2-3Sn-1，∴an=3Sn-4（n≥2）.2由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,∴a2=1,a3=311a3-4,∴22a3=-1,a4=3111a44=1.4248a2=1，a3=-1，a4=1.248（2）∵當n≥2時，an=3Sn-4,∴3Sn=an+4,∴3Snan4,3Sn1an14可得:3an+1=an+1-an,∴an1=-1，an2∴a2，a3，，an成等比數(shù)列，∴n-211n21n11(n1)n1·=-，∴an=.an=a2·q=221(n222)11.在數(shù)列{an}中，a1=1，an=1-1(n≥2,n∈N*)，數(shù)列2an1{an}的前n項和為Sn.1）求證：an+3=an;(2）求a2008.（1）證明an+3=1-1=1-11=1-1=11an21111111an11ananan=1-1=1-1=1-1=1-(1-an)=an.∴an1an1an1an1an1an1an+3=an.（2）解由（1）知數(shù)列{an}的周期T=3，a1=1，a2=-1，2a3=2.又∵a2008=a3×669+1=a1=1.∴a2008=1.22已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(x∈R)同時知足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)建立.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=f（n）.1）求函數(shù)f(x)的表達式；（2）求數(shù)列{an}的通項公式.解（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個元素，∴=a2-4a=0a=0或a=4，當a=4時，函數(shù)f(x)=x2-4x+4在（0，2）上遞減，故存在0＜x1＜x2