2021北京師大二附中未來科技城學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

17/172021北京師大二附中未來科技城學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)一、單選題（每小題5分，共50分）1．（5分）經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程是A． B． C． D．2．（5分）已知向量，3，，，，，則A． B． C．2 D．3．（5分）圓的圓心到直線的距離為A．2 B． C．1 D．4．（5分）已知直線與直線互相垂直，垂足為，則的值為A． B．22 C．2 D．265．（5分）如圖，已知在長方體中，，，則直線和平面所成角的正弦值為A． B． C． D．6．（5分）若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），則的值為)A． B．1 C．或 D．或17．（5分）已知點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，且過點(diǎn)，則直線的方程為A．或 B．或 C． D．8．（5分）直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A．， B．， C．， D．，9．（5分）若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，則直線一定過定點(diǎn)A． B． C． D．10．（5分）如圖，正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，在平面內(nèi)且與平面平行的直線A．不存在 B．有1條 C．有2條 D．有無數(shù)條二、填空題（每小題5分，共30分）11．（5分）直線與直線平行，則的值為．12．（5分）若圓被直線相切，則實(shí)數(shù)的值是．13．（5分）已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為原點(diǎn)，則的取值范圍是．14．（5分）已知以為圓心的圓與圓相內(nèi)切，則圓的方程是．15．（5分）如圖，正方體的棱長為1，、分別是兩條棱的中點(diǎn)，、、是頂點(diǎn)，那么點(diǎn)到截面的距離是．16．（5分）方程表示的曲線圍成的圖形對稱中心的坐標(biāo)為，面積為．三、解答題（共5道，共70分）17．（13分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）在中，求邊上的高線所在的直線方程；（2）求的面積．

18．（13分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，為棱的中點(diǎn)，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．19．（15分）已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線相切、切點(diǎn)為．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）已知斜率為的直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)、．①若直線被圓截得的弦的長為14，求直線的方程；②當(dāng)?shù)拿娣e最大值時(shí)，求直線的方程．20．（15分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為平行四邊形，，且，，是棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在線段上（不含端點(diǎn)）是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．21．（14分）如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)，在的上方），且．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作任一條直線與圓相交于，兩點(diǎn)．①求證：為定值，并求出這個(gè)定值；②求的面積的最大值．

參考答案一、單選題（每小題5分，共50分）1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，求得直線的斜率，再運(yùn)用點(diǎn)斜式，即可求解．【解答】解：傾斜角為的直線的斜率為，過點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程是，即．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查直線的斜率公式，以及利用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)已知條件求出兩個(gè)向量的和即，再結(jié)合空間向量求模的公式求出答案即可．【解答】解：因?yàn)椋?，，，，，所以所以．故選：．【點(diǎn)評】解決此類問題的關(guān)鍵是進(jìn)行正確的運(yùn)算以及掌握向量的模的計(jì)算公式．3．【分析】由圓的方程求出圓心坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解．【解答】解：圓的圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題．4．【分析】由兩條直線的垂直關(guān)系知斜率之積為，從而得，再把點(diǎn)代入直線的方程求出的值后，得解．【解答】解：因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，即，因?yàn)榇棺阍谥本€上，所以，即，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查兩條直線的垂直關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】要求線面角，先尋找斜線在平面上的射影，因此，要尋找平面的垂線，利用已知條件可得．【解答】解：由題意，連接，交于點(diǎn)長方體中，平面，所以為直線和平面所成角，在中，，直線和平面所成角的正弦值為，故選：．【點(diǎn)評】本題的考點(diǎn)是直線與平面所成的角，主要考查線面角，關(guān)鍵是尋找線面角，通常尋找斜線在平面上的射影．6．【分析】由題意，根據(jù)直線經(jīng)過定點(diǎn)，可得、中有一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，由此求得直線的斜率的值．【解答】解：直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），直線經(jīng)過定點(diǎn)，故、中有一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故直線的斜率或，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查直線經(jīng)過定點(diǎn)問題、直線和圓的位置關(guān)系，直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】先求出直線的斜率，由點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，且過點(diǎn)，得到直線與直線平行，且直線過點(diǎn)，或直線的方程為，由此能求出直線的方程．【解答】解：點(diǎn)和點(diǎn)，，點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，且過點(diǎn)，直線與直線平行，且直線過點(diǎn)，或直線的方程為，直線的方程為：，或，整理得：或．故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線方程的求法，考查直線的斜率公式、直線的點(diǎn)斜式方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．【分析】求出，，，設(shè)，，點(diǎn)到直線的距離：，由此能求出面積的取值范圍．【解答】解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，令，得，令，得，，，，點(diǎn)在圓上，設(shè)，，點(diǎn)到直線的距離：，，，，面積的取值范圍是：，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查三角形面積的取值范圍的求法，考查直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．9．【分析】先找出直線恒過定點(diǎn)，其關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)在直線上，可得直線恒過定點(diǎn)．【解答】解：由于直線恒過定點(diǎn)，其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，又由于直線與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，直線恒過定點(diǎn)．故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線過定點(diǎn)問題，由于直線和直線關(guān)于點(diǎn)對稱，故有直線上的定點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)一定在直線上．10．【分析】由已知中，分別為棱，的中點(diǎn)，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征易得平面與平面相交，由公理3，可得兩個(gè)平面必有交線，由線面平行的判定定理在平面內(nèi)，只要與平行的直線均滿足條件，進(jìn)而得到答案．【解答】解：由題設(shè)知平面與平面有公共點(diǎn)，由平面的基本性質(zhì)中的公理知必有過該點(diǎn)的公共線，在平面內(nèi)與平行的線有無數(shù)條，且它們都不在平面內(nèi)，由線面平行的判定定理知它們都與面平行，故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)，正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，熟練掌握這些基本的立體幾何的公理、定理，培養(yǎng)良好的空間想像能力是解答此類問題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題5分，共30分）11．【分析】根據(jù)兩直線平行，可得，求出的值，驗(yàn)證并排除兩直線重合的情況，即可求得的值．【解答】解：直線與直線平行，，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線的方程重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，兩直線的方程為和，兩直線平行，符合題意，故．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查直線平行的判斷，涉及直線的一般式方程，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】由圓的方程可知圓心坐標(biāo)及半徑的值，由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再由題意求出的值．【解答】解：因?yàn)閳A，所以可知圓的圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，由題意可得，解得：，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用及直線與圓相切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】設(shè)．可得，．利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．【解答】解：設(shè)，，．則，因?yàn)?，，所以，，即，，故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、圓的參數(shù)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14．【分析】由題意求出圓的半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案．【解答】解：點(diǎn)在圓外，若圓與圓內(nèi)切，則，得．圓的方程是．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查圓圓位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．15．【分析】建立的空間直角坐標(biāo)系，可得平面的一個(gè)法向量為，，，而到截面的距離，代入計(jì)算即可．【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，0，，，1，，，，，，1，，，1，，，1，，，，，設(shè)，，為平面的法向量，則，取，可得，，，，，到截面的距離故答案為：【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到平面的距離，建立坐標(biāo)系用空間向量來求解是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．16．【分析】將方程進(jìn)行化簡，作出表示的曲線所圍成的圖形即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)，時(shí)，方程等價(jià)為，當(dāng)，時(shí)，方程等價(jià)為，當(dāng)，時(shí)，方程等價(jià)為，當(dāng)，時(shí)，方程等價(jià)為，則對應(yīng)的圖象如圖：圖形的對稱中心為，則圍成的圖象為矩形，其中，，則，則矩形的面積，故答案為：；8．【點(diǎn)評】本題主要考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域以及對應(yīng)圖象的面積的計(jì)算，根據(jù)條件將方程進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題（共5道，共70分）17．【分析】（1）求出直線的斜率，從而得到邊上的高線斜率，由此能求出邊上的高線所在的直線方程．（2）求出和直線的方程，再求出到直線的距離，由此能求出的面積．【解答】解：（1）直線的斜率．邊上的高線斜率，邊上的高線方程為：，邊上的高線所在的直線方程為．（2），，，由，得直線的方程為：．到直線的距離，的面積．【點(diǎn)評】本題考查直線方程、三角形面積的求法，考查直線的斜率、直線垂直、直線方程、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．18．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明．（Ⅱ）由，側(cè)棱底面，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)．利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值．（Ⅲ）求出平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【解答】（共14分）證明：（Ⅰ）因?yàn)榈酌?，底面，所以，正方形中，，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．．?分）解：（Ⅱ）正方形中，，側(cè)棱底面．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)．依題意，則，0，，，2，，，0，，，1，，所以，，，，2，，，1，．設(shè)平面的法向量，，，則，令，得，，，所以，，所以直線與平面所成角的正弦值為．（11分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以，0，為平面的法向量，因?yàn)?，且二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．（14分）【點(diǎn)評】本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．【分析】（Ⅰ）依題意可求得直線的方程，可求得的垂直平分線的方程，二者聯(lián)立即可求得圓心坐標(biāo)，從而可得圓的方程；（Ⅱ）圓心到直線的距離，①由，解得即可．②的面積，即可求得，即可求得直線方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓的圓心為，依題意得直線的斜率，直線的方程為，即．直線的斜率，線段的垂直平分線為，即．解方程組得圓心．圓的半徑，圓的方程為．（Ⅱ）①圓心到直線的距離，，解得，直線的方程為：．②的面積，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)?shù)拿娣e最大值時(shí)，直線的方程為．【點(diǎn)評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查分析與運(yùn)算能力、計(jì)算能力，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）連接交于點(diǎn)，并連接，推導(dǎo)出，由此能證明面．（Ⅱ）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量，，，由向量垂直的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得法向量，再由向量的夾角公式可得所求值；（Ⅲ）假設(shè)在線段上（不含端點(diǎn)）存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，利用向量法能求出在線段上（不含端點(diǎn)）存在一點(diǎn)，設(shè)平面的法向量，，，由向量數(shù)量積的夾角公式計(jì)算即可判斷存在性．【解答】解：（Ⅰ）證明：連接交于點(diǎn)，并連接，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，在中為中位線，面，面，面．（Ⅱ）證明：在四棱錐中，底面，底面為平行四邊形，，且，，是棱的中點(diǎn)．以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，0，，，0，，，，，，，，，，0，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為：．（Ⅲ）假設(shè)在線段上（不含端點(diǎn)）存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，設(shè)，，，，，3，，則，，，3，，解得，，，，，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，二面角的余弦值為．，解得或（舍．在線段上（不含端點(diǎn)）存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，且．【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值、滿足二面角的余弦值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，是中檔題．21．【分析】（1）利用垂徑定理計(jì)算圓的半徑，從而得出圓心坐