2019屆數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布專題突破六中的概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題學(xué)案_第1頁(yè)
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE32學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE高考專題突破六高考中的概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題【考點(diǎn)自測(cè)】1.(2018·合肥模擬)某小區(qū)有1000戶,各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布N(300,102),則用電量在320度以上的戶數(shù)約為()(參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ〈ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ〈ξ≤μ+2σ)=95。44%,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=99。74%)A.17 B.23C.34 D.46答案B解析P(ξ>320)=eq\f(1,2)×[1-P(280〈ξ≤320)]=eq\f(1,2)×(1-95.44%)=0。0228,0.0228×1000=22.8≈23,∴用電量在320度以上的戶數(shù)約為23.故選B。2.節(jié)日前夕,小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時(shí)通電后,它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D。eq\f(7,8)答案C解析設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi),甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為x,y,x,y相互獨(dú)立,由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4,,0≤y≤4,,|x-y|≤2,))不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.所以兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過(guò)2秒的概率為P(|x-y|≤2)=eq\f(S正方形-2S△ABC,S正方形)=eq\f(4×4-2×\f(1,2)×2×2,4×4)=eq\f(12,16)=eq\f(3,4).3.某班從4名男生、2名女生中選出3人參加志愿者服務(wù),若選出的男生人數(shù)為ξ,則ξ的方差D(ξ)=________。答案eq\f(2,5)解析從4名男生、2名女生中選出3人參加志愿者服務(wù),選出的男生人數(shù)ξ可能為1,2,3,其中,P(ξ=1)=eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))=eq\f(1,5),P(ξ=2)=eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))=eq\f(3,5),P(ξ=3)=eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,2),C\o\al(3,6))=eq\f(1,5).所以ξ的均值E(ξ)=1×eq\f(1,5)+2×eq\f(3,5)+3×eq\f(1,5)=2,D(ξ)=(1-2)2×eq\f(1,5)+(2-2)2×eq\f(3,5)+(3-2)2×eq\f(1,5)=eq\f(2,5)。4.已知高一年級(jí)某班有63名學(xué)生,現(xiàn)要選1名學(xué)生作為標(biāo)兵,每名學(xué)生被選中的概率是相同的,若“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是“選出的標(biāo)兵是男生”的概率的eq\f(10,11),則這個(gè)班男生的人數(shù)為_(kāi)_______.答案33解析根據(jù)題意,設(shè)該班的男生人數(shù)為x,則女生人數(shù)為63-x,因?yàn)槊棵麑W(xué)生被選中的概率是相同的,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式知,“選出的標(biāo)兵是女生”的概率是eq\f(63-x,63),“選出的標(biāo)兵是男生”的概率是eq\f(x,63),故eq\f(63-x,63)=eq\f(10,11)×eq\f(x,63),解得x=33,故這個(gè)班男生的人數(shù)為33.5.(2017·廣州模擬)為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生選修文理科是否與性別有關(guān),現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生,得到如圖所示2×2列聯(lián)表:理科文科總計(jì)男131023女72027總計(jì)203050已知P(K2≥3.841)≈0。05,P(K2≥5。024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù),得到K2的觀測(cè)值k=eq\f(50×13×20-10×72,23×27×20×30)≈4。844,則認(rèn)為選修文理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為_(kāi)_______.答案5%解析由k=4.844>3.841可認(rèn)為選修文理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為5%.題型一古典概型與幾何概型例1(1)(2017·榆林二模)若函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex,0≤x<1,,lnx+e,1≤x≤e,))在區(qū)間[0,e]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x,則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是()A。eq\f(1,e)B.1-eq\f(1,e)C.eq\f(e,1+e)D.eq\f(1,1+e)答案B解析當(dāng)0≤x<1時(shí),f(x)〈e,當(dāng)1≤x≤e時(shí),e≤f(x)≤1+e,∵f(x)的值不小于常數(shù)e,∴1≤x≤e,∴所求概率為eq\f(e-1,e)=1-eq\f(1,e),故選B.(2)(2017·山西一模)現(xiàn)有2名女教師和1名男教師參加說(shuō)題比賽,共有2道備選題目,若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說(shuō)題,其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為()A。eq\f(1,3) B。eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)答案C解析記兩道題分別為A,B,所有抽取的情況為AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB(其中第1個(gè)、第2個(gè)分別表示兩個(gè)女教師抽取的題目,第3個(gè)表示男教師抽取的題目),共有8種;其中滿足恰有一男一女抽到同一道題目的情況為ABA,ABB,BAA,BAB,共4種.故所求事件的概率為eq\f(1,2).故選C。思維升華幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別在于試驗(yàn)結(jié)果的無(wú)限性,幾何概型經(jīng)常涉及的幾何度量有長(zhǎng)度、面積、體積等,解決幾何概型的關(guān)鍵是找準(zhǔn)幾何測(cè)度;古典概型是命題的重點(diǎn),對(duì)于較復(fù)雜的基本事件,列舉時(shí)要按照一定的規(guī)律進(jìn)行,做到不重不漏.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2017·商丘二模)已知函數(shù)f(x)=eq\f(1,3)x3+ax2+b2x+1,若a是從1,2,3中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2中任取的一個(gè)數(shù),則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C。eq\f(5,9) D。eq\f(2,3)答案D解析f′(x)=x2+2ax+b2,要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則有Δ=(2a)2-4b2>0,即a2〉b2。由題意知所有的基本事件有9個(gè),即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值.滿足a2>b2的有6個(gè)基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事件的概率為eq\f(6,9)=eq\f(2,3)。(2)(2017·青島模擬)如圖所示,四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的大正方形,若直角三角形中較小的銳角θ=eq\f(π,6)?,F(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢,則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是________.答案eq\f(2-\r(3),2)解析易知小正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(3)-1,故小正方形的面積為S1=(eq\r(3)-1)2=4-2eq\r(3),又大正方形的面積為S=2×2=4,故飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率P=eq\f(S1,S)=eq\f(4-2\r(3),4)=eq\f(2-\r(3),2)。題型二求離散型隨機(jī)變量的均值與方差例2(2017·南京模擬)《最強(qiáng)大腦》是江蘇衛(wèi)視推出的國(guó)內(nèi)首檔大型科學(xué)類真人秀電視節(jié)目.該節(jié)目集結(jié)了國(guó)內(nèi)外最頂尖的腦力高手,堪稱腦力界的奧林匹克.某校為了增強(qiáng)學(xué)生的記憶力和辨識(shí)力也組織了一場(chǎng)類似《最強(qiáng)大腦》的PK賽,A,B兩隊(duì)各由4名選手組成,每局兩隊(duì)各派一名選手PK,除第三局勝者得2分外,其余各局勝者均得1分,每局的負(fù)者得0分.假設(shè)每局比賽兩隊(duì)選手獲勝的概率均為0.5,且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率;(2)求比賽結(jié)束時(shí)B隊(duì)得分X的分布列和均值.解(1)記第i局A隊(duì)勝為事件Ai(i=1,2,3,4),比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)得分高于B隊(duì)得分的事件記為C,則P(C)=P(A1A2eq\x\to(A)3A4)+P(A3)[1-P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)4)]=eq\f(1,2)。(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,5.則P(X=0)=P(A1A2A3A4)=eq\f(1,16),P(X=1)=Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4=eq\f(3,16),P(X=2)=P(A1A2eq\x\to(A)3A4)+Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4=eq\f(1,4),P(X=4)=Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4=eq\f(3,16),P(X=5)=eq\f(1,16),P(X=3)=1-eq\f(1,16)-eq\f(3,16)-eq\f(1,4)-eq\f(1,16)-eq\f(3,16)=eq\f(1,4).X的分布列為X012345Peq\f(1,16)eq\f(3,16)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(3,16)eq\f(1,16)E(X)=0×eq\f(1,16)+1×eq\f(3,16)+2×eq\f(1,4)+3×eq\f(1,4)+4×eq\f(3,16)+5×eq\f(1,16)=eq\f(5,2)。思維升華離散型隨機(jī)變量的均值和方差的求解,一般分兩步:一是定型,即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型,還是一般類型,如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型;二是定性,對(duì)于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解,而對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量,應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計(jì)算,注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率的對(duì)應(yīng).跟蹤訓(xùn)練2受轎車(chē)在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車(chē)的利潤(rùn)與該轎車(chē)首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān).某轎車(chē)制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車(chē),保修期均為2年.現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車(chē)中各隨機(jī)抽取50輛,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間x(年)0〈x≤11〈x≤2x〉20〈x≤2x〉2轎車(chē)數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(rùn)(萬(wàn)元)1231.82.9將頻率視為概率,解答下列問(wèn)題:(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車(chē)中隨機(jī)抽取一輛,求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;(2)若該廠生產(chǎn)的轎車(chē)均能售出,記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車(chē)的利潤(rùn)為X1,生產(chǎn)一輛乙品牌轎車(chē)的利潤(rùn)為X2,分別求X1,X2的分布列;(3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車(chē)銷(xiāo)量相當(dāng),由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車(chē).若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車(chē)?說(shuō)明理由.解(1)設(shè)“甲品牌轎車(chē)首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)"為事件A,則P(A)=eq\f(2+3,50)=eq\f(1,10)。(2)依題意得,X1的分布列為X1123Peq\f(1,25)eq\f(3,50)eq\f(9,10)X2的分布列為X21。82.9Peq\f(1,10)eq\f(9,10)(3)由(2)得E(X1)=1×eq\f(1,25)+2×eq\f(3,50)+3×eq\f(9,10)=eq\f(143,50)=2.86(萬(wàn)元),E(X2)=1.8×eq\f(1,10)+2.9×eq\f(9,10)=2。79(萬(wàn)元).因?yàn)镋(X1)>E(X2),所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車(chē).題型三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用例3(2018·濟(jì)南模擬)2018年6月14日至7月15日,第21屆世界杯足球賽將于俄羅斯舉行,某大學(xué)為世界杯組委會(huì)招收志愿者,被招收的志愿者需參加筆試和面試,把參加筆試的40名大學(xué)生的成績(jī)分組:第1組[75,80),第2組[80,85),第3組[85,90),第4組[90,95),第5組[95,100],得到的頻率分布直方圖如圖所示:(1)分別求出成績(jī)?cè)诘?,4,5組的人數(shù);(2)現(xiàn)決定在筆試成績(jī)較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6人進(jìn)行面試.①已知甲和乙的成績(jī)均在第3組,求甲或乙進(jìn)入第二輪面試的概率;②若從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官D的面試,設(shè)第4組中有X名學(xué)生被考官D面試,求X的分布列和均值.解(1)由頻率分布直方圖知:第3組的人數(shù)為5×0。06×40=12。第4組的人數(shù)為5×0。04×40=8。第5組的人數(shù)為5×0.02×40=4.(2)利用分層抽樣,在第3組、第4組、第5組中分別抽取3人、2人、1人.①設(shè)“甲或乙進(jìn)入第二輪面試”為事件A,則P(A)=1-eq\f(C\o\al(3,10),C\o\al(3,12))=eq\f(5,11),所以甲或乙進(jìn)入第二輪面試的概率為eq\f(5,11)。②X的所有可能取值為0,1,2,P(X=0)=eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))=eq\f(2,5),P(X=1)=eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))=eq\f(8,15),P(X=2)=eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))=eq\f(1,15)。所以X的分布列為X012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)E(X)=0×eq\f(2,5)+1×eq\f(8,15)+2×eq\f(1,15)=eq\f(10,15)=eq\f(2,3).思維升華概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體,已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn).它與其他知識(shí)融合、滲透,情境新穎,充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性.跟蹤訓(xùn)練3經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲得利潤(rùn)500元,未售出的產(chǎn)品,每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷(xiāo)售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷(xiāo)商為下一個(gè)銷(xiāo)售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量,T(單位:元)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)經(jīng)銷(xiāo)該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).(1)將T表示為X的函數(shù);(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率;(3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值,需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率),求T的均值.解(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí),T=500X-300(130-X)=800X-39000。當(dāng)X∈[130,150]時(shí),T=500×130=65000。所以T=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X-39000,100≤X<130,,65000,130≤X≤150。))(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0。7,所以下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7。(3)依題意可得T的分布列為T(mén)45000530006100065000P0。10。20.30.4所以E(T)=45000×0.1+53000×0.2+61000×0。3+65000×0。4=59400.題型四概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用例4某校計(jì)劃面向高一年級(jí)1200名學(xué)生開(kāi)設(shè)校本選修課程,為確保工作的順利實(shí)施,先按性別進(jìn)行分層抽樣,抽取了180名學(xué)生對(duì)社會(huì)科學(xué)類、自然科學(xué)類這兩大類校本選修課程進(jìn)行選課意向調(diào)查,其中男生有105人.在這180名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類的男生、女生均為45人.(1)分別計(jì)算抽取的樣本中男生、女生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率,并以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率,估計(jì)實(shí)際選課中選擇社會(huì)科學(xué)類的學(xué)生人數(shù);(2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果,完成以下2×2列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0。025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)?選擇自然科學(xué)類選擇社會(huì)科學(xué)類合計(jì)男生女生合計(jì)附:K2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d),其中n=a+b+c+d。P(K2≥k0)0。5000.4000。2500.1500。100k00.4550.7081。3232。0722。706P(K2≥k0)0.0500。0250.0100。0050.001k03。8415。0246.6357。87910。828解(1)由條件知,抽取的男生有105人,女生有180-105=75(人).男生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率為eq\f(45,105)=eq\f(3,7),女生選擇社會(huì)科學(xué)類的頻率為eq\f(45,75)=eq\f(3,5)。由題意,知男生總數(shù)為1200×eq\f(105,180)=700,女生總數(shù)為1200×eq\f(75,180)=500,所以估計(jì)選擇社會(huì)科學(xué)類的人數(shù)為700×eq\f(3,7)+500×eq\f(3,5)=600。(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),可得列聯(lián)表如下:選擇自然科學(xué)類選擇社會(huì)科學(xué)類合計(jì)男生6045105女生304575合計(jì)9090180則k=eq\f(180×60×45-30×452,105×75×90×90)=eq\f(36,7)≈5。1429〉5.024,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下能認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān).思維升華統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主,概率以考查概率計(jì)算為主,往往和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合,要注意理解實(shí)際問(wèn)題的意義,使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來(lái),只有這樣才能有效地解決問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練4電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查,其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖:將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料是否可以認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X。若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列、均值E(X)和方差D(X).附:K2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d).P(K2≥k0)0.100。050.01k02.7063.8416。635解(1)由所給的頻率分布直方圖知,“體育迷”人數(shù)為100×(10×0。020+10×0.005)=25,“非體育迷”人數(shù)為75,從而2×2列聯(lián)表如下:非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100將2×2列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得k=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d)=eq\f(100×30×10-45×152,45×55×75×25)=eq\f(100,33)≈3.030.因?yàn)?.706<3。030〈3。841,所以有90%的把握認(rèn)為“體育迷"與性別有關(guān).(2)由頻率分布直方圖知,抽到“體育迷”的頻率為0。25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷"的概率為eq\f(1,4)。由題意,X~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f(1,4))),從而X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)E(X)=np=3×eq\f(1,4)=eq\f(3,4),D(X)=np(1-p)=3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)=eq\f(9,16)。1.在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(π,2)))上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則sinx+cosx∈[1,eq\r(2)]的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,8) D。eq\f(5,8)答案B解析因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(π,2))),所以x+eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12),\f(3π,4))),由sinx+cosx=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))∈[1,eq\r(2)],得eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))≤1,所以x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),故要求的概率為eq\f(\f(π,2)-0,\f(π,2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6))))=eq\f(3,4).2.從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為_(kāi)_____.答案eq\f(3,5)解析取2個(gè)點(diǎn)的所有情況為10種,所有距離不小于正方形邊長(zhǎng)的情況有6種,概率為eq\f(6,10)=eq\f(3,5).3.(2018·重慶檢測(cè))在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y+1≥0,,x+y-2≤0,,y≥0))所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P恰好落在第二象限的概率為_(kāi)_______.答案eq\f(2,9)解析畫(huà)出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y+1≥0,,x+y-2≤0,,y≥0))表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分所示),因?yàn)镾△ABC=eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)=eq\f(9,4),S△AOD=eq\f(1,2)×1×1=eq\f(1,2),所以點(diǎn)P恰好落在第二象限的概率為eq\f(S△AOD,S△ABC)=eq\f(\f(1,2),\f(9,4))=eq\f(2,9)。4.(2017·貴州模擬)為了增強(qiáng)消防安全意識(shí),某中學(xué)對(duì)全體學(xué)生做了一次消防知識(shí)講座,從男生中隨機(jī)抽取50人,從女生中隨機(jī)抽取70人參加消防知識(shí)測(cè)試,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)男生153550女生304070總計(jì)4575120(1)試判斷能否有90%的把握認(rèn)為消防知識(shí)的測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀與否與性別有關(guān)?(2)為了宣傳消防知識(shí),從該校測(cè)試成績(jī)獲得優(yōu)秀的同學(xué)中采用分層抽樣的方法,隨機(jī)選出6人組成宣傳小組.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人到校外宣傳,求到校外宣傳的同學(xué)中男生人數(shù)X的分布列和均值.附:K2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d)。P(K2≥k0)0。250。150.100.050。0250。010k01。3232。0722.7063。8415。0246.635解(1)因?yàn)閗=eq\f(120×15×40-35×302,50×70×45×75)≈2。057,且2。057〈2.706。所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀與否與性別有關(guān).(2)用分層抽樣的方法抽取時(shí)抽取比例是eq\f(6,45)=eq\f(2,15),則抽取女生30×eq\f(2,15)=4(人),抽取男生15×eq\f(2,15)=2(人).由題意,得X可能的取值為0,1,2.P(X=0)=eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))=eq\f(6,15)=eq\f(2,5),P(X=1)=eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))=eq\f(8,15),P(X=2)=eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))=eq\f(1,15)。故X的分布列為X012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)X的均值E(X)=0×eq\f(2,5)+1×eq\f(8,15)+2×eq\f(1,15)=eq\f(2,3).5.(2017·洛陽(yáng)模擬)某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類節(jié)目的收視情況,抽查東、西部各5個(gè)城市,得到觀看該節(jié)目的人數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位:千人),并畫(huà)出如下莖葉圖,其中一個(gè)數(shù)字被污損.(1)求東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)的概率;(2)該節(jié)目的播出極大地激發(fā)了觀眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)積累的熱情,現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的周均時(shí)間(單位:小時(shí))與年齡(單位:歲),并繪制了如下對(duì)照表:年齡x20304050周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間y2。5344。5根據(jù)表中數(shù)據(jù),試求線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x+eq\o(a,\s\up6(^)),并預(yù)測(cè)年齡為55歲的觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間.參考公式:eq\o(b,\s\up6(^))=eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))xiyi-n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))x\o\al(2,i)-n\x\to(x)2),eq\o(a,\s\up6(^))=eq\x\to(y)-eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)。解(1)設(shè)被污損的數(shù)字為a,則a有10種情況.由88+89+90+91+92>83+83+87+90+a+99,得a〈8,∴有8種情況使得東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù),所求概率為eq\f(8,10)=eq\f(4,5).(2)由表中數(shù)據(jù),計(jì)算得eq\x\to(x)=35,eq\x\to(y)=3.5,eq\o(b,\s\up6(^))=eq\f(\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i=1))xiyi-4\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i=1))x\o\al(2,i)-4\x\to(x)2)=eq\f(525-4×35×3.5,5400-4×352)=eq\f(7,100),eq\o(a,\s\up6(^))=eq\x\to(y)-eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)=3。5-eq\f(7,100)×35=eq\f(21,20).∴eq\o(y,\s\up6(^))=eq\f(7,100)x+eq\f(21,20)。當(dāng)x=55時(shí),eq\o(y,\s\up6(^))=4.9。即預(yù)測(cè)年齡為55歲的觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間為4.9小時(shí).6.為了評(píng)估天氣對(duì)某市運(yùn)動(dòng)會(huì)的影響,制定相應(yīng)預(yù)案,該市氣象局通過(guò)對(duì)最近50多年氣象數(shù)據(jù)資料的統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)8月份是該市雷電天氣高峰期,在31天中平均發(fā)生雷電14。57天(如圖所示).如果用頻率作為概率的估計(jì)值,并假定每一天發(fā)生雷電的概率均相等,且相互獨(dú)立.(1)求在該市運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕(8月12日

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