微積分第四版答案(二)曲面的概念+曲面的第一基本形式

1曲面的概念1.求正螺面產(chǎn)=｛護(hù)。汕，u艙卩，bv｝的坐標(biāo)曲線.解 U-曲線為F二｛十°“0,u汕％,bv。｝=｛0,0,bv。｝+u｛匚^比，沁％,0｝，為曲線的直母線；v-曲線為戶(hù)=｛叫閃汕，航溝卩，bv｝為圓柱螺線.2.證明雙曲拋物面^=｛a(u+v),b(u-v),2uv｝的坐標(biāo)曲線就是它的直母線。證u-曲線為F二｛a(u+?),b(u-巾)，2十口｝=｛a^o,b巾，0｝+u｛a,b,2巾｝表示過(guò)點(diǎn)｛a%,b%,0｝以｛a,b,2%｝為方向向量的直線；v-曲線為廠={a(%+v),b(肚J-v),2%v}={a%,b%,0}+v{a,-b,2%｝表示過(guò)點(diǎn)(aS,b%,0)以｛a,-b,2%｝為方向向量的直線。3.求球面產(chǎn)=仏。沏沖餉汐恥沖閔上任意點(diǎn)的切平面和法線方程。{-asin呂cos<p-asin禺win<p,acos{-acog<9sin(p衛(wèi)cow召cos貯，。}x-acos19匚osq?y_a匚0$召￡111爐-asin19匚0￡訶-asin19sin任意點(diǎn)的切平面方程為-acos^sifL acos^e^s即xcos^cos卩+ycos停sin?+zsin停-a=0；任意點(diǎn)的切平面方程為z-acosi9-cos(py~匚鳳召：山⑷z-tisin19法線方程為cos^cos cos^sin sin _l_^__—]求橢圓柱面護(hù)—在任意點(diǎn)的切平面方程，并證明沿每一條直母線,此曲面只有一個(gè)切平面。 _|_^__—] _|_^__—]解橢圓柱面*護(hù)-的參數(shù)方程為X=cos召，y=asin^,z二t,={-asincos9,0}^=(°A1)。所以切平面方程為:={-asincos9,0}^=(°A1)。所以切平面方程為:-(2sin19丿一3win召bcos19=0，即xbcos?+yasin*—ab=0此方程與t無(wú)關(guān)，對(duì)于?的每一確定的值，確定唯一一個(gè)切平面，而?的每一數(shù)值對(duì)應(yīng)一條直母線，說(shuō)明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面。5.證明曲面5.證明曲面妝"兀的切平面和三個(gè)坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常數(shù)。凡7丄一滬。切平面方程為:=3凡7丄一滬。切平面方程為:=3與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0，盤(pán)卩)。于是，四面體的體積為：2是常數(shù)。為：2是常數(shù)?！?曲面的第一基本形式1.求雙曲拋物面^=｛a(u+v),b(u-v),2uv｝的第一基本形式.解 吒=｛欽氏劉，兀=血-3急｝仏=圧腫+滬+4汽p=^.?y=^-h2+4迥G=￥=陽(yáng)+護(hù)+4盤(pán)2

2.求正螺面廣={US",uJbv}的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直。cosv?sinp?0),rvcosv?sinp?0),rv={,,,Gf=/+滬，...1=擰+3+滬加，?.?f=o,??.坐標(biāo)曲線互相垂直。3.在第一基本形式為I=//十5述'如?護(hù)的曲面上，求方程為u=v的曲線的弧長(zhǎng)。ds2=du2sinh2udv2二匚osh2vtiv2解由條件幾'二心'十sinh2誠(chéng)/,沿曲線u二vds2=du2sinh2udv2二匚osh2vtiv2I「七coshvdv1=1sinhv.-sinhv,I匕的弧長(zhǎng)為4.設(shè)曲面的第一基本形式為1=血‘4(/+/眉護(hù)，求它上面兩條曲線U+v=0,u-v=0的交角。分析由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一類(lèi)基本量應(yīng)二1,氏■二°,G= ，曲線u+v=0與u-v二0的交點(diǎn)為u二0,v=0,交點(diǎn)處的第一類(lèi)基本量為E二[，兔=0,&二衛(wèi)。曲線u+v=0的方向?yàn)閐u=-dv,u-v=0的方向?yàn)?u=6v,設(shè)兩曲線的夾角為?，則有Edn&i十Gdv&i \-a1二兀的交角.egW二J尿宀羈佝加+&附 ]+/。二兀的交角.求曲面z=axy上坐標(biāo)曲線x=x°,y解曲面的向量表示為產(chǎn)二｛x,y,axy｝,坐標(biāo)曲線x=X的向量表示為產(chǎn)=｛xo o o 兀 r,y,axy｝,其切向量=｛0,1,ax｝；坐標(biāo)曲線y二的向量表示為二｛x,,ax｝，其切向量二｛1,0，a｝，設(shè)兩曲線x=x與y二的夾角為，則有cos=求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.解對(duì)于u-曲線dv=0,設(shè)其正交軌線的方向?yàn)?u：5v，則有Edu5u+F（du6v+dv§u）+Gdv§v=0,將dv=0代入并消去du得u-曲線的正交軌線的微分方程為E5u+F5v=0.同理可得v-曲線的正交軌線的微分方程為F5u+G5v=0.『血一、玄duc—r—血 血&R dud/ 2Q證明因?yàn)閐u,dv不同時(shí)為零，假定dv二0,則所給二次方程可寫(xiě)成為P在曲面上一點(diǎn)，含du,dv的二次方程P山'+2Qdudv+『血一、玄duc—r—血 血&R dud/ 2Q證明因?yàn)閐u,dv不同時(shí)為零，假定dv二0,則所給二次方程可寫(xiě)成為P+2Q^+R=0，設(shè)其二根必，矽,則必血二F,必+皿二P……①血& dudz又根據(jù)二方向垂直的條件知E石&+F（代+員）+G=0……②將①代入②則得ER-2FQ+GP=0.8?證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為E血'=G必1證用分別用5、方二d表示沿u—曲線，v—曲線及其二等分角線的微分符號(hào)，即沿u—曲線5u=0，5v=0，沿v—曲線方u=0，燈v=0.沿二等分角軌線方向?yàn)閐u:dv，根據(jù)題設(shè)條件,又交角公式得

(Edti?十 GdvS\) (Edu-^Fdvf[Fdu+Gdv)，即E&i2ds展開(kāi)并化簡(jiǎn)得E（EG-滬）山'=g（eG-戸）出？，而EG-F^O,消去(Edti?十 GdvS\) (Edu-^Fdvf[Fdu+Gdv)，即E&i2ds9.設(shè)曲面的第一基本形式為I二血$+（屮亠小卅,求曲面上三條曲線口=±^v,v=1相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形（如圖）所示。曲線圍城的三角形的面積是/［土蘭十誠(chéng)1十龍）］10.求球面「仏泌卩工曲包如鼻戊沁閃的面積。[-asin◎cossin召win申、注cos{-acoe<9sin(p,a匚os召cosq?,0}E二寸=/,F二忌丨二0,G== ?球面的面積為:{tcos*,tsin {tcos*,tsin -111.證明螺面戶(hù)二｛ucosv,usinv,u+v｝和旋轉(zhuǎn)曲面產(chǎn)=（t>1,?！碸絵兀）之間可建立等距映射?二arctgu+v,t=“+1.分析根據(jù)等距對(duì)應(yīng)的充分條件，要證以上兩曲面可建立等距映射?=arctgu+v,t= ，可在一個(gè)曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù),然后證明在新的參數(shù)下,兩曲面具有相同的第一基本形式.證明螺面的第一基