無限深方勢阱中的粒子

無限深方勢阱中的粒子第一頁，共五十八頁，2022年，8月28日1舉幾個(gè)小例

1)說明量子力學(xué)解題的思路

2)了解量子力學(xué)給出的一些重要的結(jié)論第二頁，共五十八頁，2022年，8月28日21.由粒子運(yùn)動(dòng)的實(shí)際情況正確地寫出勢函數(shù)U(x)2.代入定態(tài)薛定諤方程3.解方程4.解出能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)5.求出概率密度分布及其他力學(xué)量一、量子力學(xué)解題的一般思路第三頁，共五十八頁，2022年，8月28日3二、幾種勢函數(shù)1.自由粒子2.方勢阱無限深方勢阱能級結(jié)構(gòu)問題方勢阱第四頁，共五十八頁，2022年，8月28日4方勢阱是實(shí)際情況的極端化和簡化分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢肼金屬中的電子第五頁，共五十八頁，2022年，8月28日53.勢壘梯形勢散射問題勢壘隧道貫穿第六頁，共五十八頁，2022年，8月28日64.其他形式超晶格諧振子第七頁，共五十八頁，2022年，8月28日7a金屬U(x)U=U0U=U0EU=0x極限U=0EU→∞U→∞U(x)x0a

無限深方勢阱（potentialwell）一、一維無限深方形勢阱功函數(shù)分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢肼第八頁，共五十八頁，2022年，8月28日8U=0EU→∞U→∞U(x)x0a特點(diǎn)：粒子在勢阱內(nèi)受力為零勢能為零在阱內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)在阱外勢能為無窮大在阱壁上受極大的斥力不能到阱外第九頁，共五十八頁，2022年，8月28日91.勢函數(shù)粒子在阱內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)不能到阱外二、薛定諤方程和波函數(shù)阱外0阱內(nèi)0第十頁，共五十八頁，2022年，8月28日102.哈密頓量3.定態(tài)薛定諤方程阱外：阱內(nèi)：0第十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日11根據(jù)波函數(shù)有限的條件阱外1)阱外4.分區(qū)求通解第十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日12令2)阱內(nèi)為了方便將波函數(shù)腳標(biāo)去掉將方程寫成通解式中

A

和B

是待定常數(shù)第十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日135.由波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件和邊界條件定特解通解是(1)解的形式解的形式為(2)能量取值第十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日14A已經(jīng)為零了B不能再為零了即只能

ka等于零要求能量可能值第十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日151)每個(gè)可能的值叫能量本征值2)束縛態(tài)粒子能量取值分立(能級概念)

能量量子化3)最低能量不為零波粒二象性的必然結(jié)果請用不確定關(guān)系說明4)當(dāng)n趨于無窮時(shí)能量趨于連續(xù)5)通常表達(dá)式寫為討論L--阱寬第十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日16(3)本征函數(shù)系由歸一性質(zhì)定常數(shù)B得本征函數(shù)第十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日17考慮到振動(dòng)因子（駐波解）6.定態(tài)波函數(shù)第十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日187.概率密度第十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日19小結(jié)：本征能量和本征函數(shù)的可能取值第二十頁，共五十八頁，2022年，8月28日20一維無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)和概率密度oaao第二十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日21時(shí)，量子經(jīng)典玻爾對應(yīng)原理|2Ψn|an很大En0第二十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日22三、舊量子論的半經(jīng)典解釋粒子在阱外的波函數(shù)為零允許的波長為:粒子的動(dòng)量粒子在勢阱內(nèi)動(dòng)量為阱內(nèi)的波函數(shù)在阱壁上的值也必為零（駐波）量子化能量由波函數(shù)的連續(xù)性第二十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日23能量量子化是粒子的波動(dòng)性和邊界條件的必然o允許的波長為:第二十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日24§4勢壘和隧道效應(yīng)一、粒子進(jìn)入勢壘二、有限寬勢壘和隧道效應(yīng)三、隧道效應(yīng)的應(yīng)用第二十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日25ψ2ψ1透射?反射入射1.勢函數(shù)

討論入射能量E<U0情況xⅡ區(qū)0Ⅰ區(qū)EU0U(x)

一、粒子進(jìn)入勢壘

U(x)=

U0íì?0x<0x>

0第二十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日26I區(qū)令2.定態(tài)薛定諤方程xⅡ區(qū)0Ⅰ區(qū)EU0U(x)

方程為第二十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日27II區(qū)令>第二十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日283.薛定諤方程通解通解通解波動(dòng)形式指數(shù)增加和衰減第二十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日29考慮物理上的要求當(dāng)x時(shí)2(x)應(yīng)有限所以D

=0于是EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ區(qū)Ⅰ區(qū)0第三十頁，共五十八頁，2022年，8月28日304.概率密度

(x>0區(qū))x>0區(qū)(E<U0)粒子出現(xiàn)的概率0U0

x

概率

本征波函數(shù)概率密度第三十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日31經(jīng)典：電子不能進(jìn)入E<U的區(qū)域(因動(dòng)能0)量子：電子可透入勢壘

若勢壘寬度不大則電子可逸出金屬表面在金屬表面形成一層電子氣EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ區(qū)Ⅰ區(qū)0第三十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日32二、有限寬勢壘和隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)EΨ1Ψ20aU0xⅠ區(qū)Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)x=aΨ3第三十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日33隧道效應(yīng)EΨ1Ψ20aU0xⅠ區(qū)Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)Ψ3振幅為

波穿過勢壘后將以平面波的形式繼續(xù)前進(jìn)()稱為勢壘穿透或隧道效應(yīng)第三十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日34經(jīng)典量子隧道效應(yīng)第三十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日351.穿透系數(shù)穿透系數(shù)會(huì)下降6個(gè)數(shù)量級以上當(dāng)勢壘寬度

a約50nm以上時(shí)此時(shí)量子概念過渡到經(jīng)典第三十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日36量子物理：粒子有波動(dòng)性遵從不確定原理粒子經(jīng)過II區(qū)和能量守恒并不矛盾只要?jiǎng)輭緟^(qū)寬度x=a不是無限大粒子能量就有不確定量Ex=a很小時(shí)

P和E很大2.怎樣理解粒子通過勢壘區(qū)經(jīng)典物理：從能量守恒的角度看是不可能的第三十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日37三、隧道效應(yīng)的應(yīng)用隧道二極管金屬場致發(fā)射核的衰變…1.核的衰變UTh+He2382344粒子怎么過去的呢?通過隧道效應(yīng)出來的對不同的核算出的衰變概率和實(shí)驗(yàn)一致rRU35MeV4.25MeV0<<勢壘高度第三十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日382.掃描隧道顯微鏡（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）STM是一項(xiàng)技術(shù)上的重大發(fā)明

用于觀察表面的微觀結(jié)構(gòu)（不接觸、不破壞樣品）原理：利用量子力學(xué)的隧道效應(yīng)1986.Nob：魯斯卡（E.Ruska）1932發(fā)明電子顯微鏡賓尼（G.Binning）羅爾（Rohrer）發(fā)明STM第三十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日39U0U0U0ABdE電子云重疊隧道電流iABUd探針樣品A——常量——樣品表面平均勢

壘高度（~eV）d~10A。d變

i變反映表面情況第四十頁，共五十八頁，2022年，8月28日40隧道電流反饋傳感器參考信號顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖第四十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日41某種型號的掃描隧道顯微鏡第四十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日42第四十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日43第四十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日44基于STM工作原理或掃描成像方法的派生顯微鏡系列原子力(AFM)磁力分子力顯微鏡等等

用AFM得到的癌細(xì)胞的表面圖象“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮P.98圖4-8第四十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日45操縱原子不是夢“原子書法”1994年中國科學(xué)院科學(xué)家“寫”出的平均每個(gè)字的面積僅百萬分之一平方厘米“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮插頁彩圖13硅單晶表面直接提走硅原子形成2納米的線條第四十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日46“掃描隧道繪畫”一氧化碳“分子人”“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮P.151圖7-8CO分子豎在鉑片上分子人高5nm第四十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日471993年美國科學(xué)家移動(dòng)鐵原子，鐵原子距離0.9納米“量子圍欄”48個(gè)鐵原子排列在銅表面證明電子的波動(dòng)性第四十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日48§5一維諧振子一、勢函數(shù)二、薛定諤方程及解三、與經(jīng)典諧振子的比較第四十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日49諧振子不僅是經(jīng)典物理的重要模型也是量子物理的重要模型如：黑體輻射場量子化第五十頁，共五十八頁，2022年，8月28日50一、勢函數(shù)選線性諧振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢能點(diǎn)則一維線性諧振子的勢能為：m是粒子的質(zhì)量k是諧振子的勁度系數(shù)是諧振子的角頻率第五十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日51二、薛定諤方程及解解得：n=0,1,2,…第五十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日52線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置概率密度第五十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日53線性諧振子n=11時(shí)的概率密度分布虛線代表經(jīng)典結(jié)果經(jīng)典諧振子在原點(diǎn)速度最大停留時(shí)間短粒子出現(xiàn)的概率小在兩端速度為零出現(xiàn)的概率最大

第五十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日54xn很大EnE1E2E00U(x)能量特點(diǎn)：(1)量子化等間距

符合不確定關(guān)系概率分布特點(diǎn):

E<U區(qū)有隧道效應(yīng)(2)有零點(diǎn)能第五十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日55躍遷只能逐級進(jìn)行