曲邊梯形的面積與定積分

曲邊梯形的面積與定積分第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日曲邊梯形的面積與定積分第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日了解：幾個常用求和公式第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日1.曲邊梯形：在直角坐標系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。Oxyaby=f(x)一.

曲邊梯形的定義x=ax=b曲邊梯形的特點

①、只有一邊是曲線

②、其他三邊是特殊直線第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日問題1圓的面積公式是如何推導的？第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日

曲邊梯形的面積將圓分成若干等份無限分割！第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

y=f(x)baxyOA1AA1.用一個矩形的面積A1近似代替曲邊梯形的面積A，得第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日AA1+A2用兩個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)baxyOA1A2第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日AA1+A2+A3+A4用四個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)baxyOA1A2A3A4第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日

y=f(x)baxyOAA1+A2++An

將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，于是曲邊梯形的面積A近似為A1AiAn——

以直代曲,無限逼近

第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日（1）分割把區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間：過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到n個小曲邊梯形，他們的面積分別記作

例1.求拋物線y=x2、直線x=1和x軸所圍成的曲邊梯形的面積。第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日（2）近似代替(不足近似值)

第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日（3）求和第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日（4）取極限第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日小結:求由連續(xù)曲線y=f(x)對應的曲邊梯形面積的方法（1）分割

（2）近似代替（3）求面積的和

（4）取極限

不足近似值！第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日

(過剩近似值)第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

(過剩近似值)第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日求曲邊梯形面積：(1)思想：以直代曲．(2)步驟：分割→近似代替→求和→取極限．(3)關鍵：近似代替．(4)結果：分割越細，面積越精確．第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日1、在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的近似值等于（）A.只能是左端點的函數(shù)值B.只能是右端點的函數(shù)值C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值D.以上答案均不正確C練習第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日二.定積分定義設函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在[a，b]中任意插入n-1個分點：把區(qū)間[a,b]等分成n個小區(qū)間，則，這個常數(shù)A稱為f(x)在[a，b]上的定積分(簡稱積分)記作第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日被積函數(shù)被積表達式積分變量積分上限積分下限積分和第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值說明（1）定積分是特殊和式極限,它是一個定數(shù);

(2)定積分的大小僅與區(qū)間[a,b]和被積函數(shù)f(x)有關第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日

1、如果函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且f（x）≥0時，那么：定積分就表示以y=f（x）為曲邊的曲邊梯形面積。

2、定積分的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯形面積的代數(shù)和來表示。定積分的幾何意義是什么？第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日【錯因分析】

在應用定積分的幾何意義求定積分時，錯解中沒有考慮在x軸下方的面積取負號，x軸上方的面積取正號，導致錯誤．解：錯解！第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日定積分的簡單性質(zhì)第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日題型1：定積分的簡單性質(zhì)的應用第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日題型2：定積分的幾何意義的應用8問題1：你能求出下列格式的值嗎？不妨試試。第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日理解練習見學案例1；例2；例3第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日微積分基本定理第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日微積分基本定理：設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且F’(x)＝f（x)，則，這個結論叫微積分基本定理（fundamentaltheoremofcalculus)，又叫牛頓－萊布尼茨公式（Newton-LeibnizFormula).第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日說明：牛頓－萊布尼茨公式提供了計算定積分的簡便的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x)，然后計算原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.該公式把計算定積分歸結為求原函數(shù)的問題。第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日解（１）找出f(x)的原函數(shù)是關鍵例1計算下列定積分第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日練習1:第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日例２．計算定積分解:第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日

達標練習：

初等函數(shù)第三十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日微積分基本定理三、小結第三十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日定積分公式第四十頁，共四十二頁，2022年，8月28日牛頓牛頓，是英國偉大的數(shù)學家、物理學家、天文學家和自然哲學家。1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村,1727年3月20日在倫敦病逝。

牛頓1661年入英國劍橋大學三一學院，1665年獲文學士學位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學創(chuàng)造的藍圖。1667年回劍橋后當選為三一學院院委，次年獲碩士學位。1669年任盧卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國皇家學會會長。1706年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學與神學。

牛頓在科學上最卓越的貢獻是微積分和經(jīng)典力學的創(chuàng)建。返回第四十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日萊布尼茲萊布尼茲，德國數(shù)學家、哲學家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人；1646年7月1日生于萊比錫，1716年11月14日卒于德國的漢諾威。他父親是萊比錫大學倫理學教授，家庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。1661年入萊比錫大學學習法律，又曾到耶拿大學學習幾何，1666年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學博士學位。他當時寫的論文《論組