線性連續(xù)系統的能觀性

線性連續(xù)系統的能觀性第一頁，共六十一頁，2022年，8月28日目錄(1/1)目錄概述4.1線性連續(xù)系統的能控性4.2線性連續(xù)系統的能觀性4.3線性定常離散系統的能控性和能觀性4.4對偶性原理4.5線性系統的結構性分解和零極點相消4.6能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形4.7實現問題4.8Matlab問題本章小結第二頁，共六十一頁，2022年，8月28日線性連續(xù)系統的能觀性(1/2)4.2線性連續(xù)系統的能觀性本節(jié)主要討論線性定常連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性問題。關鍵問題:1.基本概念:狀態(tài)能觀性2.基本方法:狀態(tài)能觀性的判別方法3.狀態(tài)能觀性的物理意義和在狀態(tài)空間中的幾何意義重點喔!要理解喔!第三頁，共六十一頁，2022年，8月28日線性連續(xù)系統的能觀性(2/2)本節(jié)首先從物理直觀性來討論狀態(tài)能觀性的基本含義,然后再引出狀態(tài)能觀性的定義。下面將看到,這種從直觀到抽象的討論,對于理解能觀性嚴格定義的確切含義是有益的。本節(jié)講授順序為:能觀性的直觀討論狀態(tài)能觀性的定義線性定常連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性判據第四頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(1/14)4.2.1能觀性的直觀討論狀態(tài)能觀性反映系統外部可直接或間接測量的輸出y(t)和輸入u(t)來確定或識別系統狀態(tài)的能力。如果系統的任何內部運動狀態(tài)變化都可由系統的外部輸出和輸入唯一地確定,那么稱系統是能觀的,或者更確切地說,是狀態(tài)能觀的。否則,就稱系統為狀態(tài)不完全能觀的。下面通過幾個例子來說明能觀性的意義。第五頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(2/14)例

考慮右圖所示的電網絡系統由輸出變量的值確定狀態(tài)變量值的能力問題。當電阻R1=R2,電感L1=L2,輸入電壓u(t)=0,以及兩個狀態(tài)變量的初始狀態(tài)x1(t0)=x2(t0)且為任意值時,必定有i3(t)=0,即輸出變量y(t)恒為零。因此,由恒為零的輸出y(t)顯然不能確定通過兩個電感的電流值i1(t)和i2(t),即由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值。該電網絡模型中,u(t)為輸入電壓,y(t)=i3(t)為輸出變量,通過兩電感的電流i1(t)和i2(t)分別為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。圖4-4電網絡第六頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(3/14)但當電阻R1R2或電感L1L2時,則上述由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。這種能由輸出變量值確定狀態(tài)變量值的特性稱為狀態(tài)能觀,若由輸出變量值不能唯一確定出狀態(tài)變量值的特性則稱為狀態(tài)不能觀。第七頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(4/14)從狀態(tài)空間模型上看，當選擇兩電感的電流i1(t)和i2(t)分別為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)時，狀態(tài)空間模型為第八頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(5/14)當電路中電阻值R1=R2=R,電感值L1=L2=L時,若輸入電壓u(t)突然短路,即u(t)=0,則狀態(tài)方程為顯然,當狀態(tài)變量的初始狀態(tài)為x1(t0)=x2(t0)且為任意值時,上述狀態(tài)方程的解必有x1(t)=x2(t),故有y(t)=i3(t)=0,即輸出變量y(t)恒為零。因此,由觀測到的恒為零的輸出變量y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值,即由輸出i3(t)不能確定通過兩個電感的電流值i1(t)和i2(t)。第九頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(6/14)但當電路中電阻值R1≠R2或電感值L1≠L2時,則上述由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。這種由可測量的輸出變量的值能惟一確定狀態(tài)變量的值的特性稱為狀態(tài)能觀,若不能惟一確定則稱為狀態(tài)不能觀。第十頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(7/14)補充例1

右圖所示的電網絡中,電源電壓u(t)為輸入,電壓y(t)為輸出,并分別取電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。因此,由輸出變量y(t)顯然不能確定電壓值uC(t),即由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)的值。故,該電網絡在開關K斷開后,是狀態(tài)不能觀的。當開關K在t0時刻斷開后,顯然電容C和電阻R1構成一階衰減電路,電容電壓uC(t)的變化只與初始狀態(tài)uC(t0)有關,與衰減電路外其他信號無關。第十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(8/14)例考慮間歇化學反應器的由輸出變量的值確定狀態(tài)變量的值的能力問題。設間歇化學反應器內進行如下常見的化學反應式中，k1和k2為反應速率常數。上述化學反應式可代表一大類化工操作,通常希望中間產物B的產量盡可能大,副產品C盡可能小,因而要求防止后面的反應繼續(xù)進行下去。第十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(9/14)設上述化學反應式中的第1步反應是二級反應,第2步反應是一級反應。這樣,可得如下間歇化學反應器內的物料平衡方程(狀態(tài)方程)和輸出方程式中，C1(t)、C2(t)和C3(t)分別是A、B和C的濃度。第十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(10/14)由上述物料平衡的動態(tài)方程可知,副產品C的濃度C3(t)的值不僅決定于產品B的濃度C2(t),而且還決定于C3(t)在初始時刻t0的值C3(t0)。因此,若在生產過程中,能直接檢測到的輸出量為產品B的濃度C2(t),則副產品C的濃度C3(t)的值是不可知的,即為不能觀的。若選擇C1(t),C2(t)和C3(t)為狀態(tài)變量,則上述化學反應過程為狀態(tài)不完全能觀的。上面用實際系統初步說明了能控性的基本含義,能控性在系統狀態(tài)空間模型上的反映可由如下兩個例子說明。第十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(11/14)補充例給定系統的狀態(tài)空間模型與結構圖分別為本例中,輸出變量y(t)即為狀態(tài)變量x1(t)。因此,由y(t)的測量值可直接得到x1(t)的值,即狀態(tài)變量x1(t)可由輸出唯一確定。1/s-2-21/s第十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(12/14)而由狀態(tài)變量x2(t)所滿足的狀態(tài)方程及其運動狀態(tài)的解可知,x2(t)的運動軌跡由x2(t)的初始狀態(tài)x2(t0),x1(t)和輸入u(t)三者共同決定。因此,由測量到的輸出y(t)和輸入u(t)并不能唯一確定出狀態(tài)變量x2(t)的值,即狀態(tài)x2(t)是狀態(tài)不能觀的。因此,整個系統的狀態(tài)是不完全能觀的。第十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(13/14)補充例給定系統的狀態(tài)空間模型為由狀態(tài)方程可知:狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)可分別由初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0)唯一決定,并可表示為xi(t)=e-txi(0)i=1,2第十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日能觀性的直觀討論(14/14)因此,輸出變量y(t)可表示為y(t)=e-t[x1(0)+x2(0)]由y(t)的解可知,由y(t)并不能唯一地分別確定初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0),進而唯一地確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t),即x1(t)和x2(t)是狀態(tài)不能觀的,整個系統的狀態(tài)是不完全能觀的。前面4個例子,可通過直觀分析來討論系統的狀態(tài)能觀性,但對維數更高、更復雜的系統,直觀判斷能觀性是困難的。下面將通過給出狀態(tài)能觀性的嚴格定義,來導出判定狀態(tài)能觀性的充要條件。第十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日狀態(tài)能觀性的定義(1/6)4.2.2狀態(tài)能觀性的定義對線性系統而言,狀態(tài)能觀性只與系統的輸出y(t),以及系統矩陣A和輸出矩陣C有關,與系統的輸入u(t)和輸入矩陣B無關,即討論狀態(tài)能觀性時,只需考慮系統的自由運動即可。上述結論可證明如下:對線性定常系統(A,B,C),其狀態(tài)和輸出的解分別為簡單否?第十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日狀態(tài)能觀性的定義(2/6)因為矩陣A,B,C和輸入u(t)均已知,故上式的右邊第二項可以計算出來,也是已知項。故可以定義如下輔助輸出:研究狀態(tài)能觀性問題,即為上式對任意的初始狀態(tài)x(t0)能否由輔助輸出y-(t)來唯一確定的問題。所以線性系統狀態(tài)能觀性僅與輸出y(t),以及系統矩陣A和輸出矩陣C有關,與輸入矩陣B和輸入u(t)無關。也就是說,分析線性系統的能觀性時,只需考慮齊次狀態(tài)方程和輸出方程即可。因此,我們有如下線性系統狀態(tài)能觀性的定義。對線性連續(xù)系統,我們有如下狀態(tài)能觀性定義。第二十頁，共六十一頁，2022年，8月28日狀態(tài)能觀性的定義(3/6)—能觀性定義定義4-3

若線性連續(xù)系統對初始時刻t0(t0T,T為時間定義域)和初始狀態(tài)x(t0),存在另一有限時刻t1(t1>t0,t1T),根據在有限時間區(qū)間[t0,t1]內量測到的輸出y(t),能夠唯一地確定系統在t0時刻的初始狀態(tài)x(t0),則稱在t0時刻的狀態(tài)x(t0)能觀;若對t0時刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能觀,則稱系統在t0時刻狀態(tài)完全能觀;第二十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日狀態(tài)能觀性的定義(4/6)—能觀性定義若系統在所有時刻狀態(tài)完全能觀,則稱系統狀態(tài)完全能觀,簡稱為系統能觀。即,若邏輯關系式為真,則稱系統狀態(tài)完全能觀。若存在某個狀態(tài)x(t0)不滿足上述條件,稱此系統是狀態(tài)不完全能觀的,簡稱系統為狀態(tài)不能觀?！醯诙?，共六十一頁，2022年，8月28日狀態(tài)能觀性的定義(5/6)對上述狀態(tài)能觀性的定義有如下注記。1.對于線性定常系統,由于系統矩陣A(t)和輸出矩陣C(t)都為常數矩陣,與時間無關,因此不必在定義中強調“在所有時刻狀態(tài)完全能觀”,而為“某一時刻狀態(tài)完全能觀,則系統狀態(tài)完全能觀”。即,若邏輯關系式為真,則稱線性定常連續(xù)系統(A,C)狀態(tài)完全能觀。第二十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日狀態(tài)能觀性的定義(6/6)2.上述定義中的輸出觀測時間為[t0,t1],并要求t0>t0。這是因為,輸出變量y(t)的維數m一般總是小于狀態(tài)變量x(t)的維數n。否則,若m=n且輸出矩陣C(t)可逆,則x(t)=C-1(t)y(t)即狀態(tài)變量x(t)可直接由輸出y(t)確定。由于m<n,為了能唯一地求出狀態(tài)變量的值,不得不依靠在一定區(qū)間內測量得的連續(xù)(或有限幾組)輸出值以確定系統狀態(tài)。3.在定義中把能觀性定義為對初始狀態(tài)的確定,這是因為,一旦確定初始狀態(tài),便可根據狀態(tài)方程的解表達式,由初始狀態(tài)和輸入,計算出系統各時刻的狀態(tài)值。第二十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日線性定常連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性判據(1/1)4.2.3線性定常連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性判據線性定常連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性判據有許多不同形式,下面分別討論代數判據和模態(tài)判據。第二十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(1/13)1.代數判據定理4-7(線性定常離散系統能控性秩判據)

線性定常連續(xù)系統(A,C)狀態(tài)完全能觀的充要條件為下述條件之一成立:1.矩陣函數CeAt的各列函數線性獨立,即不存在非零常數向量fRn,使得CeAtf02.如下定義的能觀性矩陣滿秩,即比較一下能控性矩陣第二十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(2/13)--代數判據定理證明rankQo=n□證明

對于線性定常系統,由能觀性定義可知,其狀態(tài)能觀性與初始時刻無關。因此,不失一般性,可設初始時刻t0為0。根據第3章中輸出方程解的表達式,有y(t)=CeAtx(0)由能觀性的定義可知,線性定常連續(xù)系統的狀態(tài)是否完全能觀,等價于上述方程是否有x(0)的唯一解問題。下面將利用上述方程分別證明判別狀態(tài)能觀性的上述兩個充要條件。第二十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(3/13)(1)證明條件1。先證充分性(條件結論)。即證明,若CeAt的各列函數線性獨立,則系統狀態(tài)能觀。用反證法證明:設狀態(tài)不能觀,但CeAt的各列函數線性獨立。充分性反證法證明的思路狀態(tài)不能觀存在兩個不同的初始狀態(tài)x1(0)和x2(0)所對應的輸出完全一致由輸出的解的表達可得:CeAt的各列函數線性相關與假設矛盾,充分性得證證明過程:第二十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(4/13)狀態(tài)不能觀,則意味著存在某一初始狀態(tài)x(0),由有限時間區(qū)間[t0,t1]內觀測到的輸出y(t),由方程y(t)=CeAtx(0)得不到x(0)的唯一解。設x1(0)和x2(0)分別是由方程y(t)=CeAtx(0)確定出的兩個不同初始狀態(tài),即x1(0)和x2(0)分別滿足y(t)=CeAtx1(0)t0y(t)=CeAtx2(0)t0將上述兩式相減,可得0=CeAt[x1(0)-x2(0)]t0而x1(0)-x2(0)為非零向量,因此上式恒成立的條件為CeAt的各列函數線性相關。這與前面的推論產生矛盾,故原假定系統狀態(tài)不能觀,但CeAt的各列函數線性獨立是不成立的。第二十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(5/13)因此,充分性得證。再證必要性(結論條件)。即證明,若系統狀態(tài)能觀,則CeAt的各列函數線性獨立。用反證法證明。設CeAt的各列函數線性相關,但狀態(tài)能觀。必要性的反證法證明思路:CeAt的各列函數線性相關存在某非零初始狀態(tài)f與零初始狀態(tài)的輸出均為0由0輸出不能確定初始狀態(tài)是為零或者為f狀態(tài)不完全能觀與假設矛盾,必要性得證第三十頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(6/13)證明過程:CeAt的各列函數線性相關,即存在非零向量fRn,使得CeAtf0因此,若x(0)=f,則有y(t)=CeAtx(0)=0t0而當x(0)=0時,系統輸出亦恒為零。因此,當系統輸出恒為零時,由方程y(t)=CeAtx(0)不能確定出初始狀態(tài)x(0)=f或0,即有部分狀態(tài)不能觀。這與前面的假設矛盾,故原假定CeAt的各列函數線性相關,但狀態(tài)能觀是不成立的。因此,必要性得證。第三十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(7/13)(2)下面通過證明CeAt的各列函數線性相關等價于能觀性矩陣Qo非滿秩來證明定理中的條件(2)。即證明(結論A)若CeAt的各列函數線性相關,則能觀性矩陣Qo非滿秩,以及(結論B)若能觀性矩陣Qo非滿秩,則CeAt的各列函數線性相關。下面分別加以證明。第三十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(8/13)先證結論A。即需證明:若CeAt的各列函數線性相關,則能觀性矩陣Qo非滿秩。若CeAt的各列函數線性相關,則存在非零向量f使得CeAtf0由于CeAt連續(xù)并有無窮階導數,因此,若上式對任意時間t恒成立,則對該方程的兩邊求任意階導數方程依然成立,即CAeAtf0CA2eAtf0……CAn-1eAtf0第三十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(9/13)令上述兩式的t=0,則有因此,若CeAt的各列函數線性相關,則能觀性矩陣Qo非滿秩,即結論A成立。第三十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(10/13)再證結論B。即需證明:若則能觀性矩陣Qo非滿秩,CeAt的各列函數線性相關。若能觀性矩陣Qo非滿秩,即式(4-26)式成立,則存在非零向量f使得成立。由凱萊-哈密頓定理,有第三十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(11/13)因此有即,若能觀性矩陣Qo非滿秩,則CeAt的各列函數線性相關。因此結論B得證。綜合上述過程,則證明了CeAt的各列函數線性相關等價于能觀性矩陣Qo非滿秩。故由定理的條件(1)可知,能觀性矩陣Qo滿秩亦為線性定常連續(xù)系統狀態(tài)能觀的充要條件。第三十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(12/13)定理4-7給出的是線性定常連續(xù)系統狀態(tài)能觀性充要的兩個判據,可直接用于能觀性判定。由于檢驗CeAt的各列是否函數線性獨立相對困難一些,因此實際應用中通常用定理4-7的條件(2)。條件(2)我們亦稱為線性定常連續(xù)系統狀態(tài)能觀性的代數判據。第三十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日代數判據(13/13)—例7例4-7

試判斷如下系統的狀態(tài)能觀性解

由狀態(tài)能觀性的代數判據有而系統的狀態(tài)變量的維數n=2,所以系統狀態(tài)不完全能觀。第三十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日模態(tài)判據(1/12)2.模態(tài)判據在給出線性定常連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據之前,先討論狀態(tài)能觀性的如下性質:線性定常系統經線性變換后狀態(tài)能觀性保持不變。下面對該結論作簡單證明。設線性變換陣為P,則系統(A,C)經線性變換后為

,并有第三十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日模態(tài)判據(2/12)因此系統

的狀態(tài)能觀性等價于(A,C)的狀態(tài)能觀性,即線性變換不改變狀態(tài)能觀性?；谏鲜鼋Y論,可利用線性變換將一般狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形(對角線規(guī)范形為其特例),通過分析約旦規(guī)范形的能觀性來分析原狀態(tài)空間模型的能觀性。下面討論線性定常連續(xù)系統約旦規(guī)范形的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據。第四十頁，共六十一頁，2022年，8月28日2.模態(tài)判據(3/12)定理4-8

對為約旦規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(A,C),有:1.若A為每個特征值都只有一個約旦塊的約旦矩陣,則系統能觀的充要條件為對應A的每個約旦塊的C的分塊的第一列都不全為零;2.

若A為某個特征值有多于一個約旦塊的約旦矩陣,則系統能觀的充要條件為對應A的每個特征值的所有約旦塊的C的分塊的第一列線性無關。第四十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日2.模態(tài)判據(4/12)定理4-8的證明可直接由定理4-7而得。對定理4-8作兩點說明:狀態(tài)能觀性模態(tài)判據討論的是約旦規(guī)范形。若系統的狀態(tài)空間模型不為約旦規(guī)范形,則可根據線性變換不改變狀態(tài)能觀性的性質,先將狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,然后再利用定理4-8來判別狀態(tài)能觀性;定理4-8不僅可判別出狀態(tài)能觀性,而且更進一步地指出是系統的哪一模態(tài)(特征值或極點)和哪一狀態(tài)不能觀。這對于進行系統分析、狀態(tài)觀測器和反饋校正是非常有幫助的。第四十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日2.模態(tài)判據(5/12)—例8例4-8

試判斷如下系統的狀態(tài)能觀性。解

由定理4-8可知,A為特征值互異的對角線矩陣,但C中的第2列全為零,故該系統的狀態(tài)x2不能觀,則系統狀態(tài)不完全能觀。狀態(tài)空間x1-x2不完全能觀狀態(tài)變量x1完全能觀狀態(tài)變量x2完全不能觀第四十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日模態(tài)判據(6/12)—例15解

由于A為每個特征值都只有一個約旦塊,且對應于各約旦塊的C的分塊的第一列都不全為零,故系統狀態(tài)完全能觀。第四十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日模態(tài)判據(7/12)—例15解

由于A中特征值-4的兩個約旦塊所對應的C的分塊的第一列線性相關,該系統的狀態(tài)x1,x2和x3不完全能觀,則系統狀態(tài)不完全能觀。狀態(tài)空間x1-x2-x3-x4不完全能觀狀態(tài)變量x1-x2-x4不完全能觀狀態(tài)變量x3完全能觀還能再分解否？第四十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日模態(tài)判據(8/12)由定理4-8的結論(2),對單輸出系統的狀態(tài)能觀性,有如下推論。推論4-2

若單輸出線性定常連續(xù)系統(A,C)的約旦規(guī)范形的系統矩陣為某個特征值有多于一個約旦塊的約旦矩陣,則該系統狀態(tài)不完全能觀。定理4-8所給出的狀態(tài)能觀性的模態(tài)判據在應用時需將一般的狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,屬于一種間接方法。下面我們給出另一種形式的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據,稱為PBH秩判據。該判據屬于一種直接法。第四十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日模態(tài)判據(9/12)—推論4-2與定理4-9定理4-9

線性定常連續(xù)系統(A,C)狀態(tài)完全能觀的充要條件為:對于所有的,下式成立:該定理的證明可由定理4-8直接得到。對于所有的,直接檢驗定理4-9的條件較困難?？梢宰C明,定理4-9的條件式對于所有的成立等價于其對A的所有特征值成立。因此,應用定理4-9時,只需將A的所有特征值代入定理4-9的條件式,檢驗其成立與否即可。第四十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日模態(tài)判據(10/12)—例9例4-9

試判斷如下系統的狀態(tài)能觀性。解由方程|I-A|=0,可解得矩陣A的特征值分別為-1,-2和-3。對特征值1=-1,有列3=列2-列1第四十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日模態(tài)判據(11/12)—例16由定理4-9知,因為對應于特征值-1,定理4-9的條件不成立,故該系統狀態(tài)不完全能觀。第四十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日模態(tài)判據(12/12)能觀性判據小結判定方法特點判據矩陣指數函數判據代數判據模態(tài)判據1模態(tài)判據2矩陣函數CeAt的各列函數線性獨立能觀性矩陣Qo滿秩約旦標準形中同一特征值對應的C矩陣分塊的第一列線性無關對于所有特征值

,rank[I-A

C]=n需要求矩陣指數函數并判定函數相關,計算復雜計算簡便可行。缺點為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點)能觀易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點)能觀。缺點為需變換成約旦標準形易于分析哪些特征值(極點)能觀。缺點為需求系統的特征值清楚了嗎?第五十頁，共六十一頁，2022年，8月28日線性時變連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性(1/11)4.2.4線性時變連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性以上討論的狀態(tài)能觀性的判據是針對線性定常連續(xù)系統而言的,對時變系統不成立。下面討論線性時變連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性的判據。第五十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日線性時變連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性(2/11)定理4-10

線性時變連續(xù)系統Σ(A(t),C(t)),即在初始時刻t0上狀態(tài)完全能觀的充分必要條件為:存在t1(t1>t0),使得如下能觀格拉姆矩陣為非奇異的比較一下能控格拉姆矩陣判據第五十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日線性時變連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性(3/11)證明1)

證明條件的充分性，即證明若存在t1(t1>t0),使得能觀格拉姆矩陣是非奇異的,即存在,則系統是狀態(tài)完全能觀的。設x0為初始時刻t0的任意給定的非零初始狀態(tài),則狀態(tài)空間模型Σ(A(t),C(t))的解為將上述輸出的解表達式兩邊左乘(t0,t)C(t),并在[t0,t1]區(qū)間內積分,得第五十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日線性時變連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性(4/11)若存在,即有因為系統輸出y(t)可測且A(t)和C(t)已知,故上式右邊是已知的。因此,上式表明,如果存在t1(t1>t0),使得能觀格拉姆矩陣是非奇異的,那么通過在時間區(qū)間[t0,t1]內測量到的y(t)可惟一地計算出系統任意的初始狀態(tài)x0。于是狀態(tài)能觀性得以證明。第五十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日線性時變連續(xù)系統的狀態(tài)能觀性(5/11)2)證明條件的必要性，即證明若系統是狀態(tài)完全能觀的,則一定存在t1(t1>t0)