計算方法課件第六章

1第6章解線性方程組的迭代法§6.1迭代法的基本概念§6.2雅可比迭代法與高斯-賽德爾迭代法§6.3超松弛迭代法§6.4共軛梯度法21引言我們知道，凡是迭代法都有一個收斂問題，有時某種方法對一類方程組迭代收斂，而對另一類方程組進行迭代時就會發(fā)散。一個收斂的迭代法不僅具有程序設(shè)計簡單，適于自動計算，而且較直接法更少的計算量就可獲得滿意的解。因此，迭代法亦是求解線性方程組，尤其是求解具有大型稀疏矩陣的線性方程組的重要方法之一。 6.1迭代法的基本概念32迭代法的基本思想

迭代法的基本思想是將線性方程組轉(zhuǎn)化為便于迭代的等價方程組，對任選一組初始值，按某種計算規(guī)則，不斷地對所得到的值進行修正，最終獲得滿足精度要求的方程組的近似解。

迭代法的基本思想設(shè)非奇異，，則線性方程組

有惟一解，經(jīng)過變換構(gòu)造出一個等價同解方程組4將上式改寫成迭代式選定初始向量,反復(fù)不斷地使用迭代式逐步逼近方程組的精確解,直到滿足精度要求為止。這種方法稱為迭代法如果存在極限

則稱迭代法是收斂的，否則就是發(fā)散的。迭代法的基本思想5收斂時，在迭代公式中當時，,則,故是方程組的解。對于給定的方程組可以構(gòu)造各種迭代公式。并非全部收斂

迭代法的基本思想6例1用迭代法求解線性方程組

解構(gòu)造方程組的等價方程組據(jù)此建立迭代公式取計算得例題7例題迭代解離精確解越來越遠迭代不收斂

81雅可比（Jacobi）迭代法1.雅可比迭代法算法構(gòu)造

6.2雅可比迭代法與高斯-賽德爾迭代法例2用雅可比迭代法求解方程組9例題解：從方程組的三個方程中分離出和10例題建立迭代公式取初始向量進行迭代,可以逐步得出一個近似解的序列：（k=1,2,…）11直到求得的近似解能達到預(yù)先要求的精度，則迭代過程終止，以最后得到的近似解作為線性方程組的解。當?shù)降?0次有計算結(jié)果表明，此迭代過程收斂于方程組的精確解x*=(3,2,1)T。

例題12寫成例題考察一般的方程組，將n元線性方程組

13若,分離出變量例題據(jù)此建立迭代公式上式稱為解方程組的Jacobi迭代公式。142.雅可比迭代法的矩陣表示

設(shè)方程組的系數(shù)矩陣A非奇異，且主對角元素，則可將A分裂成記作A=L+D+U雅可比（Jacobi）迭代法15則等價于即因為

，則這樣便得到一個迭代公式雅可比（Jacobi）迭代法16其中

雅可比（Jacobi）迭代法稱為雅可比迭代公式,B稱為雅可比迭代矩陣則有（k=0,1,2…）令17雅可比迭代矩陣表示法，主要是用來討論其收斂性，實際計算中，要用雅可比迭代法公式的分量形式。即

雅可比（Jacobi）迭代法在例2中,由迭代公式寫出雅可比迭代矩陣為18雅可比（Jacobi）迭代法(k=0,1,2,…)193高斯-塞德爾（Gauss-Seidel）迭代法1.高斯-塞德爾迭代法的基本思想在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用當前最新的迭代值，即在求時用新分量代替舊分量,就得到高斯-賽德爾迭代法。其迭代法格式為：

高斯-賽德爾迭代法(i=1,2,…,n

k=0,1,2,…)20例3用GaussSeidel迭代格式解方程組精確要求為ε=0.005

解GaussSeidel迭代格式為例題21例題取初始迭代向量,迭代結(jié)果為：x*≈222.Gauss—Seidel迭代法的矩陣表示

將A分裂成A=L+D+U，則等價于

(L+D+U)x=b，于是,則高斯—塞德爾迭代過程因為,所以則高斯-塞德爾迭代形式為：故令高斯-賽德爾迭代法235

超松弛迭代法（SOR方法）

使用迭代法的困難在于難以估計其計算量。有時迭代過程雖然收斂，但由于收斂速度緩慢，使計算量變得很大而失去使用價值。因此，迭代過程的加速具有重要意義。逐次超松弛迭代（SuccessiveOverrelaxaticMethod，簡稱SOR方法）法，可以看作是帶參數(shù)的高斯—塞德爾迭代法，實質(zhì)上是高斯-塞德爾迭代的一種加速方法。超松弛迭代法（SOR方法）246.3超松弛迭代法1.超松弛迭代法的基本思想超松弛迭代法目的是為了提高迭代法的收斂速度，在高斯—塞德爾迭代公式的基礎(chǔ)上作一些修改。這種方法是將前一步的結(jié)果與高斯-塞德爾迭代方法的迭代值適當加權(quán)平均，期望獲得更好的近似值。是解大型稀疏矩陣方程組的有效方法之一，有著廣泛的應(yīng)用。其具體計算公式如下：

⑴用高斯—塞德爾迭代法定義輔助量。25(2)把取為與的加權(quán)平均，即

合并表示為：

式中系數(shù)ω稱為松弛因子，當ω=1時，便為高斯-塞德爾迭代法。為了保證迭代過程收斂，要求0<ω<2。

當0<ω<1時，低松弛法；當1<ω<2時稱為超松弛法。但通常統(tǒng)稱為超松弛法(SOR)。

超松弛迭代法（SOR方法）262.超松弛迭代法的矩陣表示設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣A非奇異,且主角元素,則將A分裂成A=L+D+U,則超松弛迭代公式用矩陣表示為或故

超松弛迭代法（SOR方法）27令則超松弛迭代公式可寫成超松弛迭代法（SOR方法）顯然對任何一個ω值,(D+ωL)非奇異,(因為假設(shè))于是超松弛迭代公式為28例4用SOR法求解線性方程組取ω=1.46，要求解：SOR迭代公式例題29該方程組的精確解只需迭代20次便可達到精度要求如果取ω=1(即高斯—塞德爾迭代法)和同一初值

,要達到同樣精度,需要迭代110次初值

例題k=0,1,2,…，

30我們知道,對于給定的方程組可以構(gòu)造成簡單迭代公式、雅可比迭代公式、高斯-塞德爾迭代公式和超松弛迭代公式，但并非一定收斂?，F(xiàn)在分析它們的收斂性。對于方程組經(jīng)過等價變換構(gòu)造出的等價方程組在什么條件下迭代序列收斂？先引入如下定理迭代法的收斂性31定理1對給定方陣G,若,則為非奇異

矩陣,且證:用反證法,若為奇異矩陣,則存在非零量x，使,即有由相容性條件得

由于,兩端消去,有,與已知條件矛盾,假設(shè)不成立,命題得證。又由于有

迭代法的收斂性32將G分別取成G和-G，再取范數(shù)

又已知，有

迭代法的收斂性即

33定理2

迭代公式收斂的充分必要條件是迭代矩陣G的譜半徑證:必要性設(shè)迭代公式收斂,當k→∞時,則在迭代公式兩端同時取極限得記,則收斂于0(零向量),且有于是由于可以是任意向量,故收斂于0當且僅當收斂于零矩陣，即當時迭代法的收斂性34迭代法的收斂性所以必有于是充分性:設(shè),則必存在正數(shù)ε,使則存在某種范數(shù)

,使,

，則，所以

，即。故收斂于0，收斂于35由此定理可知，不論是雅可比迭代法、高斯—塞德爾迭代法還是超松弛迭代法，它們收斂的充要條件是其迭代矩陣的譜半徑

。

事實上,在例1中,迭代矩陣G=，其特征多項式為,特征值為-2，-3，,所以迭代發(fā)散

迭代法的收斂性36定理3(迭代法收斂的充分條件)若迭代矩陣G的一種范數(shù),則迭代公式收斂,且有誤差估計式及迭代法的收斂性37又因為,則det(I-G)≠0,I-G為非奇異矩陣,故x＝Gx＋d有惟一解,即與迭代過程相比較,有兩邊取范數(shù)證:矩陣的譜半徑不超過矩陣的任一種范數(shù),已知,因此,根據(jù)定理2可知迭代公式收斂迭代法的收斂性38迭代法的收斂性∴

39由迭代格式，有

兩邊取范數(shù)，代入上式，得證畢由定理知，當時，其值越小，迭代收斂越快，在程序設(shè)計中通常用相鄰兩次迭代（ε為給定的精度要求）作為控制迭代結(jié)束的條件迭代法的收斂性40例5已知線性方程組考察用Jacobi迭代和G-S迭代求解時的收斂性解:⑴雅可比迭代矩陣例題41⑵將系數(shù)矩陣分解則高斯-塞德爾迭代矩陣例題故Jacobi迭代收斂42故高斯—塞德爾迭代收斂。

例題43定理4設(shè)n階方陣為對角占優(yōu)陣,則非奇異證:因A為對角占優(yōu)陣,其主對角元素的絕對值大于同行其它元素絕對值之和,且主對角元素全不為0,故對角陣

為非奇異。作矩陣迭代法的收斂性44利用對角占優(yōu)知由定理1知非奇異,從而A非奇異,證畢

系數(shù)矩陣為對角占優(yōu)陣的線性方程組稱作對角占優(yōu)方程組。迭代法的收斂性45定理5對角占優(yōu)線性方程組的雅可比迭代公式和高斯-賽德爾迭代公式均收斂。證:雅可比迭代公式的迭代矩陣為由定理4知，這時,再由定理3知迭代收斂，再考察高斯-賽德爾迭代公式的迭代矩陣令，則有迭代法的收斂性即46迭代法的收斂性寫出分量形式有設(shè)而

47由上式得

由此整理得利用對角占優(yōu)條件知上式右端小于1,(如果右端大1,則得出與對角占優(yōu)條件矛盾的結(jié)果)故有據(jù)定理3知G-S收斂迭代法的收斂性48定理6若方程組的系數(shù)矩陣A是正定的，

則G－S迭代法收斂；如

則SOR迭代法收斂。迭代法的收斂性49例6設(shè)求解線性方程組的雅可比迭代

求證當<1時,相應(yīng)的高斯-塞德爾迭代收斂證:由于B是雅可比迭代的迭代矩陣,故有例題50∴系數(shù)矩陣為對角占優(yōu)陣,故G-S迭代收斂例題則又<1,故有51例7設(shè),證明,求解方程組的Jacobi迭代與G-S迭代同時收斂或發(fā)散證:雅可比迭代矩陣例題52G-S迭代矩陣其譜半徑顯然,和同時小于、等于或大于1,因而Jacobi迭代法與G-S迭代法具有相同的收斂性例題其譜半徑53例8設(shè)求解線性方程組的雅可比迭代 x(k+1)=Bx(k)+fk=0,1,…

求證當‖B‖<1時,相應(yīng)的G-S迭代收斂證這里以‖B‖

為例,‖B‖1類似由于B是雅可比迭代的迭代矩陣，故有例題54∴Ax=b的系數(shù)矩陣按行嚴格對角占優(yōu),故高斯-塞德爾迭代收斂例題55例9考察用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法解線性方程組Ax=b的收斂性，其中解：先計算迭代矩陣例題雅可比矩陣56求特征值例題57例題

(B)=0<1∴用雅可比迭代法求解時，迭代過程收斂高斯-塞德爾迭代矩陣58例題1=0,2=2,3=2(G1)=2>1

∴用高斯-塞德爾迭代法求解時，迭代過程發(fā)散求特征值59例10設(shè)有迭代格式

X(k+1)=BX(k)+g(k=0,1,2……）其中B=I-A,如果A和B的特征值全為正數(shù)，試證：該迭代格式收斂。分析:根據(jù)A，B和單位矩陣I之間的特征值的關(guān)系導(dǎo)出()<1,從而說明迭代格式收斂。例題60例題證:因為B=I-A,故(B)=(I)-(A)=1-(A)

(A)+(B)=1由于已知(A)和(B)全為正數(shù)，故0<(B)<1,從而(B)<1所以該迭代格式收斂。61例11設(shè)方程組寫出解方程組的Jacobi迭代公式和迭代矩陣并討論迭代收斂的條件。寫出解方程組的Gauss-Seidel迭代矩陣,并討論迭代收斂的條件。解①Jacobi迭代公式和Jacobi矩陣分別為

例題62②Gauss-Seidel矩陣為

例題當時a<1時,Jacobi矩陣GJ∞<1,對初值x(0)均收斂63例題當時a<1時,Gauss-Seidel矩陣Gs∞<1,所以對任意初值x(0)均收斂。也可用矩陣的譜半徑p(GS)<1來討論64解：先計算迭代矩陣例12討論用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法解線性方程組Ax=b的收斂性。例題雅可比矩陣65求特征值例題66求特征值高斯-塞德爾迭代矩陣例題

(B)=1∴用雅可比迭代法求解時，迭代過程不收斂1=-1，2,3=1/267例題1=0,(G1)=0.3536<1∴用高斯-塞德爾迭代法求解時，迭代過程收斂68求解AX=b,當取何值時迭代收斂？解:所給迭代公式的迭代矩陣為

例13給定線性方程組AX=b

用迭代公式X(K+1)=X(K)+(b-AX(K))(k=0,1,…）例題69即2-(2-5)+1-5+4

2=0

2-(2-5)+(1-)(1-4)=0

[-(1-)][-(1-4)]=0

1=1-2=1-4例題70例題取0<<1/2迭代收斂(B)=max{|1-|,|1-4|}<171例14設(shè)求解線性方程組Ax=b的簡單迭代法

x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,2,……)

收斂,求證:對0<<1,迭代法

x(k+1)=[(1-)I+B]x(k)+g(k=0,1,2,…)收斂。