初三升高中數(shù)學銜接講義

第一講.數(shù)與式的運算--絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的

絕對值仍是零.即

a>

0,

/仇

Qa-

O

<

0,-見a

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：|a-b|表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.

例1解不等式：|x-l|+|x-3|>4.

練習1.填空:

(1)若|x|=5,則下——;若|x|=|-4|,則尸―

(2)如果同+聞=5,且a-1,貝Ib=若|1一c|=2,則c

2.選擇題:

下列敘述正確的是()

(A)若|a|=出|,則a=b(B)若|a|>\b\,則a>b

(C)若a<b,則|a|<161(D)若=網(wǎng)，則a=±b

3.化簡：|x—51—12x—131(才>5).

4.觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應點間的距離4與-2,3與5,-2與-6,-4與3.

并回答下列各題：

(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關系嗎？

(2)若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x,點B表示的數(shù)為一1,則A與B兩點間的距離

可以表示為.

(3)結合數(shù)軸求得僅-2|+|x+3|的最小值為，取得最小值時x的取值范圍為

(4)滿足|x+1|+|x+4|>3的x的取值范圍為

5,(閱讀理解題)閱讀下面材料：

點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b,A、B兩點之間的距離表示為|AB|.當A、

B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1,

IAB|=|OB|=|6|=|a—b\；

?(A)pQ94.p??[”

0b0abba0b0a

圖1圖2圖3圖4

當AB兩點都不在原點時，

①如圖2,點A、B都在原點的右邊，

IAB|=IOB|—IOA|=|6|—|aI=b~a=\a~bI；

②如圖3,點A、B都在原點的左邊，

IAB|=IOB|—IOA|=\b\—\a\=—b~(—a)=Ia~b\；

③如圖4,點A、B在原點的兩邊，

IAB|=IOA|+IOB|=Ia|+|Z?|=a+(—6)=|a-b\.

綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離IAB|=\a-b\.

(2)回答下列問題：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是,數(shù)軸上表示一2和一5的兩點

之間的距離是,數(shù)軸上表示1和一3的兩點之間的距離是;

②數(shù)軸上表示x和一1的兩點A和B之間的距離是,如IAB|=2,那么x

為;

③當代數(shù)式Ix+1I+I”一2|取最小值時，相應的x的取值范圍是.

第二講.數(shù)與式的運算-一乘法公式

我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式:

(1)平方差公式(2)完全平方公式

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；

(2)立方差公式(a—h)(a2+ab+b2~)=a3—b3t

(3)三數(shù)和平方公式(<a+b+c')2=a2+b2+c2+2(ab

(4)兩數(shù)和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(5)兩數(shù)差立方公式(a—b)3=a3—3a2b+3ab2—b3.

對上面列出的五個公式,有興趣的同學可以自己去證明.

例1化簡：(X+l)(x-1)(/-x++%+1).

例2已知a+b+c=4,ab+be+ac=4,求&2+爐+?2的值.

練習1.填空：(1)：a2-=Cb+ja)();

(2)(4m+)2=16m2+4m+();

222

(3)(a+2b—c)=a+4/J2+c+().

2.(1)若小+之血工+人是一個完全平方式，則k等于()

(A)m2(B)-m2(C)-m2(D)—m2

4316

(2)不論a,b為何實數(shù)，M+匕2_2Q-4b+8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負數(shù)(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負數(shù)

2.公式及運用

例1.計算：(1)(2%+3)(4/—6%+9)(2)(a?一3)(Q4+：02力+：82)

思考：化簡(1)(a+2)(。—2)(。2—2a+4)(Q2+2a+4)

(2)x(x—l)2—(x2—x+1)(%+1)

(3)(1—x)(l+x+%2)

(4)(1-x)(l+x+%2+%3)

例2.因式分解（1）x6-y6

(2)m6+n6+2m3n3

(3)9(%+l)2(x—l)2+6(x2—1)4-1

(4)x3+3x2-4

例3：已知x+y=2,xy=2,求二+/的值

思考：（1）已知Q+b=2,求a?+6ab+/的值。

（2）已知%—1=3,求/—妥的值。

練習：1化簡（1）(%+y)2(%2—xy+y2)2

(2)(2y—z)[2y(z+2y)4-z2]

(3)x2-漢漢

2.已知a2+5a+l=0,試求下歹恪式的值：

(1)a+i(2)a2+^(3)a3+^(4)a4+4

aa"QJar

3.已知a+b+c=4,ab+be+ac=4,求a?+b?+?2的值.

第三講.數(shù)與式的運算一-二次根式

一般地，形如《（aNO）的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡

方的式子稱為無理式.例如3a+V^Tb+2b,，（^+爐等是無理式,而

x24-\/2xy+y2,等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進行分母(子)有理化，

需要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二

次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如我與魚，3VH與傘，8+遙與6-

V6,28-3企與28+3企，等等.一般地，a4與正，aH+b方與(1爪-b4，aVx+b

與a豉-b互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過

程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中

要運用公式=而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式,

然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的

基礎上去括號與合并同類二次根式.

2.二次根式必的意義"=同=匕,：丸：

例1將下列式子化為最簡二次根式：

(1)V12b；(2)Va26(a>0)；(3)y/4x6y(x<0).

例2計算：遍+(3-次).

例3試比較下列各組數(shù)的大小:

（1）viz-vn#vii-vio；（2）高和2或一遍.

例4化簡：（V3+例）2。。4.（V3-例）2。05.

例5化簡：（1）V9-4V5；(2)lx2+^—2(0<x<1).

1.填空:

(1)1-V3

1+V3

(2)若7(5—%)(%—3)2=(x—3)V5—x，則％的取值范圍是

(3)若“多則鬻售+鬻磊

2.選擇題:

等式=成立的條件是()

(A)%。2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

3.若仁里產(chǎn)，求a+b的值.

4.比較大?。?-##一亞(填“>”，或"V”).

第四講.數(shù)與式的運算一一十字相乘法

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外

還應了解求根法及待定系數(shù)法.

例1分解因式：

(1)*—3x+2；(2)系+4x—12；

(3)x2—(a+b)xy+aby2；

課堂練習

一、填空題：1、把下列各式分解因式:

2

(1)%+5%-6=o

2

(2)%—5%+6=o

2

(3)%4-5%+6=o

2

(4)x-5x—6=o

(5)%2—(a+1)%+a=<

2

(6)%-llx+18=o

2

(7)6x+7%+2=o

(8)4m2—12m+9=。

2

(9)54-7%-6x=o

(10)12x2+xy-6y2=______________________________________________________

2、若/+Q%+人=(%+2)(%-4)貝!JQ=,b=o

二、選擇題：(每小題四個答案中只有一個是正確的)

1>在多項式(1)x2+7%4-6(2)/+4%+3(3)%2+6%+8(4)%24-7%+10

(5)/+15久+44中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式小+8ab-33b2得()

A、(a+11)(a—3)B、(a4-lib)(a—3b)C、(a—lib)(a—3h)D、(a—lib)(a+3Z?)

3、(a+b)2+8(a+b)—20分解因式得()

A、(a+b+10)(a+b—2)B、(a+b+5)(a+b—4)

C、(a+Z?+2)(Q4-b—10)D、(Q+/?+4)(Q4-b—5)

4、若多項式--3x+Q可分解為(％-5)(%-b),則Q、b的值是()

A、a=10,b=2B、a=10,b=-2C、a=-10,b=-2D>a=-10,b=2

5>若%2+HI%-io=(%+Q)(%+b)其中Q、b為整數(shù),則w的值為()

A、3或9B、±3C、±3D、±3或±3

三、把下列各式分解因式

1、6(2p—q)2—ll(q-2p)+32、a3—5a2b+6ab2

4、h4-2b2-8

（二）十字相乘法與分組分解法

、十字相乘法：

兩個一次二項多項式mx+n與依+1相乘時，可以把系數(shù)分離出來，按如下方式進行演

_n）的系和

&T4■八的票和

mkml+nknl

即(jnx+n)(kx+/)=mkx2+(m/+nfc)x+nl

把以上演算過程反過來，就可以把二次三項式m/cM+(m/+n/c)x+位分解因式

即?n/c%2+(mZ+nk)x4-nZ=(jnx+n)(fcx+Z)

這說明，對于二次三項式a/+以+c(acH0),如果把Q寫成7nk,c寫成九，時，b恰好是m/4-

nk,那么Q/+故+c可以分解為(mx+n)(kx+Z)

二、運用舉例

例1.分解因式(十字相乘法)

(1)x—3x+2；(2)/+4x—12；

(3)%2—(a+b)xy+aby2;(4)xy—1+x—y.

(5)3x2+10%+8(6)-2x2+%+1

(7)-2x2y2+xy+6(8)2x2-9xy-5y2

例2.分解因式(分組分解法)

(1)x3-3x2y+3xy2-y3

(2)x3—2x2+3x-6

(3)/+9+3x2+3%

練習：1分解因式(1)m4—3m2—4(2)4a4—37a2b2+9h4

(3)1-a2+2ah-b2(4)x2-2x-15

(5)12x2-5x-2(6)%2+5%—24

(7)%3—3%+2(8)5+7%—6x2=

(9)%2—(a4-l)x+a=(10)4m2—12m4-9=

2.用因式分解法解下列方程：

(1)3x2-4%-4=0(2)(2%-l)2+(%-l)2=%

x-2y=-----

3.不解方程組落;，求代數(shù)式9/一15孫-6y2的值。

(3x+y=—

第五講一元二次方程及韋達定理

一、求根公式：對于一元二次方程a/+必+c=O(Q0o)用配方法可變形為:

(%+￡/=［箸，因右邊大于o.所以

(1)當2=從一4ac>0時，方程有根%=若@,必=若包

(2)當Z=b2-4ac=0,方程有根%=七=一盤

(3)當/=b2-4ac<0,方程沒有實數(shù)根。

例1、不解方程，判斷下列方程根的情況：

(1)x2—x+1=0(2)—5x2=6x+2

(3)2x2-5x-3=0(4)(3+2V2)x2-2(1+V2)x+1=0

例2、k為何值時,關于x的方程2/一(妹+1)%+21-i=o

(1)有兩個不相等的實根；

(2)有兩個相等的實根；

(3)沒有實根。

二、韋達定理

由求根公式得：/+%2==￡（即為韋達定理），1%1-％21=湍

特別地,如果方程為%2+P%+q=0,且方程的二根為%1，%2,則％1+%2==q

同時，以%i，%2為兩根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是/-（久1+%2）%+=0

例1、求下列方程的兩之根和與兩根之積

(1)3%2+5%-7=0(2)x2—x—1=0

2

(3)-#+3%-1=。(4)(V5+1)%-2x-(V5-1)=0

例2、已知關于％的方程18/一9x+a=0的一根是-？，求另一根及a的值。

6

例3、設方程2/+4%+1=0的兩根為

求(1)后+慰；(2)三+工；(3)%一%21

Xix2

例4、求一個一元二次方程，使它的兩個根為3+e,3-夜

練習：1.m取何值時，多項式/一(2m+2h+/+5=0是一個完全平方式;

2.a取何值時，關于x的方程3ax2—2V5（a-l）x+a=0

（1）只有一個實數(shù)根；（2）兩個相等的實數(shù)根；（3）沒有實數(shù)根。

3.設孫孫是方程2毛-6%+3=0的兩個根,不解方程，求下列各式的值。

-

(1)(%i-3)(X23)(2)3+支(3)xf+X2

第六講二元二次方程組

1.定義

（1）含有兩個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是二的方程叫二元二次方程。

（2）由一個二元二次方程和一個二元一次方程，或者由兩個二元二次方程組成的方程

組，都叫二元二次方程組。

解二元二次方程組的基本思路是消元，降次，消元就是用消去一個未知數(shù)的方法將

二元方程轉化為一元方程；降次就是采用因式分解等方法將二次方程轉化為一次方

程。

二元二次方程組最基本的類型是由一個二元二次方程和一個二元一次方程構成的

方程組，其他類型都要轉化為這種類型來解，解法主要采用消元法。

2.由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組。這種形式的方程組都可以

用代入法來解。

例1.解方程組：生+廣工工?

（戶+y，+%+y=32

例2.解方程組：+y=!

3.由兩個二元二次方程組成的方程組。（只討論一些特殊情況）

X24-y2=10

例3.解方程組:

x2-3xy+2y2=o

例4.解方程組:Q才選爹)+2=0

思考：解方程組:緇線=25

練習：1。方程組儼了好；25的解是。

(%+y=7--------------

2.方程組『24Rn的解是____________

kxy+2(%+y)+3=0-----------------------

3.方程組｛(二厘］：＞°)的解的情況是

A恒有一組解B恒有兩組解C恒有四組解D解的組數(shù)與p值有關

4.方程組｛?二3+,2=9的解的組數(shù)是

A1B2C3D4

5.解下列方程組:

(2x—y=5

2x—y=1(2)忸—=]

(1)22

10x-y-x+1=0vxy

x2—5xy+6y2=o(4)x2—2xy—y2=0

(3)

2%-y-6=0.2x2-5xy-3y2=0

⑸巴+y：+x+y=18(6)%+y：+x+y=18

(.x+y/-2%—4y=24%—y=6

x2—2xy—y2=2(xy+x+y=34

(7)

xy+y2=4lx2+y2—x—y=42

第七講二次函數(shù)的圖像及性質

二次函數(shù)的三種表示形式:

(1)y=ax2+bx+c(aW0)-----~1般式

(2)y=a(x-m)24-n-----頂點式(m,幾)為頂點

(3)y=-----零點式(兩根式)

為a/+必+c=0的兩根，或y=ax24-4-C(QH0)與%軸的兩交點的橫左標。

二、二次函數(shù)丫=。/+鼓+武。。0)的圖象及性質：

a>0,開口向上a<0,開口向下

A

當x=

2ab

X=---

2a

圖象

X的取值范圍為一切實數(shù)X的取值范圍為一切實數(shù)

4ac—b24ac—b2

y>------y<------

)一4a7-4a

當X=_2時當T，寸y4ac，

2Q'4Qmin4amax

當寸，y隨X的增大而減小當時，y隨x的增大而增大

當％z一/時，y隨》的增大而增大

性質當寸，y隨x的增大而減小

例1.(1)已知二次函數(shù)的圖象通過4(1,6),B(2,15),C(-1,0)三點，求這個二次函數(shù)的解析

式；

(2)已知二次函數(shù)的圖象的頂點為4(3,-2),并且它的圖象過點8(5,6),求這個二次

函數(shù)的解析式;

(3)已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點坐標為4(1,0),B(3,0),且又過點C(0,3),求這

個二次函數(shù)的解析式；

(4)已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a,f(x)=0的兩根為1,3,且方程f(x)+l=0

有兩個相等的根，求“X)的解析式。

練習

1.y=-3(X-2)2+9的頂點坐標為()

A、(1,6)B、(0,-3)C、(2,9)D、(-2,9)

2.y=|x-2-3/的對稱軸為()

A^x=--B、x=-C、x=——D、x=-

412124

3.拋物線y=-6公一％+2與y軸的交點坐標是

與x軸的交點坐標是

4.已知對稱軸為x=-l的拋物線經(jīng)過4(1,-1),8(-2,2)兩點，求這條拋物線所對應的二次

函數(shù)。

5.二次函數(shù)丫=a/+bx+c(a。0)的圖象過點(-2,0),(3,0),函數(shù)的最大值為5,

求這個二次函數(shù)。

6.二次函數(shù)的圖象的頂點為(2,-4),在x軸上所截得的線段長為5,求這個二次