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文檔簡(jiǎn)介
關(guān)于向量組的相關(guān)性第1頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性
§1.3.1向量組的相關(guān)性定義1.6
(線性組合、線性表示)為向量組A的一個(gè)線性組合,b在該線性組合下的組合系數(shù).稱向量也稱b可由向量組A
線性表示或線性表出,第2頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三例
設(shè)a1=(1,0,2,0),a2=(3,-1,0,1),a3=(0,1,-1,0),令b=(-2,3,0,-1)則b為向量組a1,a2,a3
的一個(gè)線性組合,
也可說(shuō)b可由a1,a2,a3
線性表示。第3頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三例
設(shè)n維向量a是向量b1與b2的線性組合,而b1與b2又都是g1,g2,g3的線性組合,求證a是g1,g2,g3的線性組合第4頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三
如果向量組S1中每一個(gè)向量均可由向量組S2線性表示,則稱向量組S1可由向量組S2線性表示,如果同時(shí)S2也可由S1線性表示,
則稱S1和S2是等價(jià)向量組,或稱它們是等價(jià)的。約定
(1)在一個(gè)向量組中所有向量的維數(shù)相同;(2)
向量組中允許有相同的向量;(3)
向量組中的向量可以是有限的,也可以是無(wú)限的,但每一個(gè)線性組合中的向量個(gè)數(shù)是有限的。第5頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三如果存在不全為零的常數(shù)k1,k2,…,km,使得等式(1.14)才成立,則稱這m個(gè)向量線性無(wú)關(guān)線性相關(guān),定義1.7
(線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān))k1a1+k2a2+…
+kmam
=0,(1.14)線性無(wú)關(guān),即:如果只有當(dāng)
k1=k2=…
=km=0時(shí),第6頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三向量組相關(guān)性的說(shuō)明性質(zhì)1
包含零向量的向量組必線性相關(guān)性質(zhì)2包含兩個(gè)相等向量的向量組必線性相關(guān)第7頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三
一個(gè)向量組中若部分向量線性相關(guān),則整個(gè)向量組也線性相關(guān);一個(gè)向量組若線性無(wú)關(guān),則它的任何一個(gè)部分組都線性無(wú)關(guān).性質(zhì)3第8頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三定理1.13
當(dāng)m≥2時(shí),向量組A:a1,a2,…,am
線性相關(guān)的充要條件是其中某一向量可表示為其余向量的線性組合第9頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三定理1.14
若向量組a1,a2,…,am
線性無(wú)關(guān),但添加一個(gè)向量b后向量組a1,a2,…,am,b線性相關(guān),則b是a1,a2,…,am的線性組合,且其線性表示是唯一的.第10頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三習(xí)題1.3第4題(由性質(zhì)3)(由定理1.14)第11頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三定理1.15
設(shè)A為n階方陣,則A的n個(gè)列向量線性相關(guān)的充要條件是|A|=0第12頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三定理1.15
的另一種敘述:n個(gè)n維向量線性相關(guān)的充要條件是其構(gòu)成的方陣行列式|A|=0,即n
個(gè)n
維向量a1=(a11,a12,…,a1n),a2=(a21,a22,…,a2n),…,an=(an1,an2,…,ann)線性相關(guān)的充要條件是第13頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三故由定理1知向量組a1
a2
a3線性相關(guān)練習(xí)
試討論向量組a1(111)
a2(025)
a3(247)
線性相關(guān)性解由向量組構(gòu)成的行列式第14頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三定理1.16
n+r個(gè)n維向量必線性相關(guān),這里r≥0第15頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三定理1.17
設(shè)
n維向量組x1,x2,…,xr
可由向量組h1,h2,…,hs
線性表出,若r>s,則x1,x2,…,xr線性相關(guān)第16頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三向量組的極大線性無(wú)關(guān)組定義1.8(極大無(wú)關(guān)組)設(shè)有向量組S
如果在S中能選出r個(gè)向量a1
a2
ar
滿足(1)向量組M
a1
a2
ar線性無(wú)關(guān)
(2)往M中再添任一S中的其它向量,則這r+1個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān).那么M
a1
a2
ar稱為向量組
A的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組(極大無(wú)關(guān)組,極大組)第17頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三
故由定理1.15知向量組a1
a2
a3線性相關(guān)
例試求向量組a1(111)
a2(025)
a3(247)
的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組解由向量組構(gòu)成的行列式
又顯然向量組a1
a2線性無(wú)關(guān),因此a1
a2就是所求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。
同樣a2
a3也是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。第18頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三性質(zhì)1
向量組中任一向量都可由其極大無(wú)關(guān)組線性表示(由定理1.14)
向量組的極大線性無(wú)關(guān)組一般不是唯一的,但有性質(zhì)2在一個(gè)向量組中,不同極大線性無(wú)關(guān)組中所包含的向量的個(gè)數(shù)是相同的
第19頁(yè),共22頁(yè),2023年,2月20日,星期三定義1.9(向量組的秩)向量組A的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組A的秩記作
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