2023年新高考數(shù)學一輪復習1-1集合(知識點講解)解析版

專題1.1集合

【知識框架】

【核心素養(yǎng)】

1.考查集合的概念、元素的性質，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

2.考查集合的基本關系，凸顯數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

3.與不等式、數(shù)軸、Venn圖等相結合考查集合的運算，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng).

【知識點展示】

1.元素與集合

（1）集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．

（2）集合與元素的關系：若a屬于集合A，記作aA；若b不屬于集合A，記作bA．

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、區(qū)間法、圖示法．

（4）五個特定的集合及其關系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有

理數(shù)集，R表示實數(shù)集．

2.集合間的基本關系

(1)子集：若對任意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.

(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一個元素不屬于集合A，則AB或BA.

(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.

(4)空集的性質：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運算

集合的并集集合的交集集合的補集

若全集為U，則集合A

符號表示A∪BA∩B

的補集為

CUA

圖形表示

{x|x∈A，或x∈{x|x∈A，且x

集合表示{x|x∈U，且xA}

B}∈B}

求集合A的補集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實是給定的條件.從全集U中取出集合A的全部

元素，剩下的元素構成的集合即為

CUA.

4.集合的運算性質

(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.

(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.

＝，∪＝，＝

(3)A∩(CUA)?A(CUA)UCU(CUA)A.

特別提醒:

1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個.

2.子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.

＝∪＝

3.A?B?A∩BA?ABB?CUA?CUB.

＝∪，∪＝【?？碱}型剖析】

4.CU(A∩B)(CUA)(CUB)CU(AB)(CUA)∩(CUB).

題型一集合的基本概念

例1.(2018課標II理2)已知集合Ax,yx2y23,xZ,yZ，則A中元素的個數(shù)為（）

A．9B．8C．5D．4

【答案】A

方法二：根

據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個整點，即為集合

A的元素個數(shù)，故選A.

【規(guī)律方法】與集合中的元素有關的問題的三種求解策略

(1)研究一個用描述法表示的集合時，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件.

(2)根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)時要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.

(3)集合中的元素與方程有關時注意一次方程和一元二次方程的區(qū)別.

例2.（2022·貴州·貴陽一中模擬預測（文））已知集合A2,1,0,1,2,B{xZ∣x2x30},則集合

z∣zxy,xA,yB的元素個數(shù)為（）

A．6B．7C．8D．9

【答案】B

【解析】

【分析】

化簡集合B，由條件確定z∣zxy,xA,yB的元素及其個數(shù).

【詳解】

由x2x30解得2x3，所以B1,0,1,2.又A2,1,0,1,2

所以z∣zxy,xA,yB2,0,2,4,1,1,4，共有7個元素，

故選：B.

【規(guī)律方法】

與集合元素有關問題的思路：

（1）確定集合的元素是什么，即確定這個集合是數(shù)集還是點集．

（2）看這些元素滿足什么限制條件．

（3）根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性

題型二：集合間的基本關系

例3.（2022·河南·開封市東信學校模擬預測）集合A{0,1,2}的非空真子集的個數(shù)為（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)真子集的定義即可求解.

【詳解】

由題意可知，集合A的非空真子集為{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6個.

故選：B.

【易錯警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解．

例4.（2012·湖北省高考真題（文））已知集合Ax|x23x20,xR,Bx|0x5,xN，

則滿足條件ACB的集合C的個數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【解析】

求解一元二次方程，得

Ax|x23x20,xRx|x1x20,xR1,2，易知

Bx|0x5,xN1,2,3,4.

因為ACB，所以根據(jù)子集的定義，集合C必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原題即求集合3,4的子集個數(shù)，即有224個，故選D.

【方法技巧】

(1)判斷兩集合之間的關系的方法：當兩集合不含參數(shù)時，可直接利用數(shù)軸、圖示法進行判斷；當集合中含

有參數(shù)時，需要對滿足條件的參數(shù)進行分類討論或采用列舉法．

(2)要確定非空集合A的子集的個數(shù)，需先確定集合A中的元素的個數(shù)，再求解．不要忽略任何非空集合是

它自身的子集．

(3)根據(jù)集合間的關系求參數(shù)值(或取值范圍)的關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參

數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、圖示法來解決這類問題．

題型三：集合的基本運算

5

例5.（2022·全國·高考真題（文））設集合A{2,1,0,1,2},Bx∣0x，則AB（）

2

A．0,1,2B．{2,1,0}C．{0,1}D．{1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的交集運算即可解出．

【詳解】

5

因為A2,1,0,1,2，Bx∣0x，所以AB0,1,2．

2

故選：A.

例6．（2022·全國·高考真題（理））設全集U{2,1,0,1,2,3}，集合A{1,2},Bx∣x24x30，則

(AB)（）

U

A．{1,3}B．{0,3}C．{2,1}D．{2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.

【詳解】由題意，B=xx24x301,3，所以AB1,1,2,3,

所以AB2,0.

U

故選：D.

例7．（2022·全國·高考真題（理））設全集U{1,2,3,4,5}，集合M滿足M{1,3}，則（）

U

A．2MB．3MC．4MD．5M

【答案】A

【解析】

【分析】

先寫出集合M,然后逐項驗證即可

【詳解】

由題知M{2,4,5},對比選項知，A正確,BCD錯誤

故選:A

例8.（2020·全國高考真題（理））已知集合A{(x,y)|x,yN*,yx}，B{(x,y)|xy8}，則AB中

元素的個數(shù)為（）

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

【解析】

采用列舉法列舉出AB中元素的即可.

【詳解】

yx

由題意，AB中的元素滿足，且x,yN*，

xy8

由xy82x，得x4，

所以滿足xy8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，

故AB中元素的個數(shù)為4.

故選：C.

【規(guī)律方法】

如何解集合運算問題

(1)看元素構成:集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵.(2)對集合化

簡:有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決.

(3)應用數(shù)形結合:常用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖.

(4)創(chuàng)新性問題:以集合為依托，對集合的定義、運算、性質進行創(chuàng)新考查，但最終化為原來的集合知識和相

應數(shù)學知識來解決.

題型四：利用集合的運算求參數(shù)

例9.（2020·全國高考真題（理））設集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）

A．–4B．–2C．2D．4

【答案】B

【解析】

由題意首先求得集合A,B，然后結合交集的結果得到關于a的方程，求解方程即可確定實數(shù)a的值.

【詳解】

求解二次不等式x240可得：Ax|2x2，

a

求解一次不等式2xa0可得：Bx|x.

2

a

由于ABx|2x1，故：1，解得：a2.

2

故選：B.

【方法規(guī)律】

利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法

①與不等式有關的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到；

①若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系，再列方程(組)求解．

例10.（2022·山西運城·高二階段練習）設集合A{x2x3},B{xxa}，若AB，則實數(shù)a

R

的取值范圍為____．

【答案】a2

【解析】

【分析】

先求出B，則AB，A{x2x3}，由分析即可求出a的取值范圍.

RR

【詳解】

Bxxa，又因為AB，A{x2x3}，所以a2．故答案為：a2.

RR

【易錯提醒】（1）認清元素的屬性．解決集合問題時，認清集合中元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)

和化簡集合是正確求解的兩個先決條件．

（2）注意元素的互異性．在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因

為不滿足“互異性”而導致錯誤．

（3）防范空集．在解決有關AB,AB等集合問題時，往往容易忽略空集的情況，一定要先考慮

時是否成立，以防漏解．

題型五：集合的新定義問題

例11.（2015·湖北高考真題（理））已知集合??={(??,??)|??2+??2≤1,??????,??∈??}，??={(??,??)|??|??|≤2?,

????????，定義集合+??,??+??)|(??,??)∈??,??????(??,??)∈??}，則??⊕??

|??|≤2,??,??∈??}??⊕??={(??12121122

中元素的個數(shù)為（）

A．77B．49C．45D．30

【答案】C

【解析】

因為集合??={(??,??)|??2+??2≤1,??????,??∈??}，所以集合中有9個元素（即9個點），即圖中圓中的整點，

集合??={(??,??)|??|??|≤2?,????|??|≤2,??????,??∈??}中有25個元素（即25個點）：即圖中正方形中

的整點，集合+??,??+??)|(??,??)∈??,??????(??,??)∈??}的元素可看作正方形中

??⊕??={(??12121122

的整點（除去四個頂點），即個．

例12.（2021·江西·豐城九中高二階段練習）已知非空集合A,B滿足下列

四個條件：①AB1,2,3,4,5,6,7；①AB；

③A中的元素個數(shù)不是A中的元素；④B中的元素個數(shù)不是B中的元素．（1）若集合A中只有1個元素，則

A________；

（2）若兩個集合A和B按順序組成的集合對A，B叫作有序集合對，則有序集合對A,B的個數(shù)是

________.

【答案】{6}32

【解析】

【分析】

根據(jù)給定信息，分析集合A，B不能取的元素即可得解；按集合A中元素個數(shù)分類計算作答.

【詳解】

（1）因AB1,2,3,4,5,6,7，AB，則集合A，B的元素個數(shù)和為7，

而集合A中只有1個元素，則集合B中有6個元素，又B中的元素個數(shù)不是B中的元素，即6B，

所以A{6}；

（2）集合A中有1個元素時，由（1）知A{6}，B{1,2,3,4,5,7}，則有序集合對A,B有1個，

集合A中有2個元素時，即2A,5B，則A{5,a},a{1,3,4,6,7}，有序集合對A,B有C15個，

5

集合A中有3個元素時，即3A,4B，則A{4,a,b},a,b{1,2,5,6,7}，有序集