中考壓軸題之一-因動點問題產生的相似三角形問題

中考壓軸題之一----__相似三角形問題如圖1，已知拋物線y=1x21(b+1)x+b(b是實數(shù)且b＞2)與x軸的正半444 表示)； (2)請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于坐標；如果不存在，請說明理由； (3)請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似(全等可看作相似的特殊情況)？如果存Q刻．雙擊按鈕“第(3)題”，拖動點B，可以體驗到，存在∠OQA＝∠B的時刻，也存在∠OQ′A＝∠B的時刻．1．第(2)題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標軸的距離相．3．第(3)題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角 4 PDB≌△PEC．555 4444OAOC邊構造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．當BA=QA，即QA2=BA.OA時，△BQA∽△QOA．4因此△OCQ∽△QOA．當BA=QA時，△BQA∽△QOA．此時∠OQB＝90°．COOAb14點，而∠QOA與∠QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況．這樣，先根據(jù)△QOA與△QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直盾．如圖1，已知拋物線的方程C1：y=1(x+2)(xm)(m＞0)與x軸交于點mC CM,2)，求實數(shù)m的值； (2)在(1)的條件下，求△BCE的面積； (3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最 點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．45°．觀察右圖，可以體驗到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的時刻．小．2．第(4)題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC mm 442△BCE22 H3422 由于∠BCE＝∠FBC，所以當CE=BC，即BC2=CE.BF時，△BCE∽△CBBFmBF'COx+2mmmCEBFm2+4BFmmF由于∠EBC＝∠CBF，所以BE=BC，即BC2=BE.BF時，△BCE∽△BCBF在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得1(x+2)(xm)=x+2．m考點伸展第(4)題也可以這樣求BF的長：在求得點F′、F的坐標后，根據(jù)兩點間13旋轉角．3．第(3)題判斷∠ABQ＝90°是解題的前提． 在兩種情況：BA310x1=2333343第(3)題在解答過程中運用了兩個高難度動作：一是用旋轉的性質說明我們換個思路解答第(3)題：通過證明△AOB≌△BHG，根據(jù)全等三角形的對應角相等，可以證明∠1012BA333343kxk(1)求m與n的數(shù)量關系；1 (2)當tan∠A＝時，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達式；2(3)設直線AB與y軸交于點F，點P在射線FD上，在(2)的條件下，如果△AEO運動，可以體驗到，△AEO與△EFP相似存在兩種情況．2．第(2)題留給第(3)題的隱含條件是FD//x軸．3．如果△AEO與△EFP相似，因為夾角相等，根據(jù)對應邊成比例，分兩種情況．kx kx(4m=k,上，所以〈整理，得n＝2m．2n=k. 222kkxk4y=．x12因此直線AB的函數(shù)解析式為y=1x+1．2 (3)如圖3，因為直線y=1x+1與y軸交于點F(0，1)，點D的坐標為(4，2EAEF255①如圖3，當=時，=．解得FP＝1．此時點P的坐標為(1，AOFP2FP1)．EAFP25FP．解得FP＝5．此時點P的坐標為(5，AOEF251)．第(1)題的結論m與n的數(shù)量關系不變．第(2)題反比例函數(shù)的解析式121為y=，直線AB為y=x7．第(3)題FD不再與x軸平行，△AEO與x2△EFP也不可能相似． (1)直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標； 在DM上運動，可以體驗到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF與△GQE相似．以了．2．第(3)題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結果的情況下，無法3．第(3)題的示意圖，不變的關系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線 84-1)．8212 212x+x=s+2．由于y-y=3，所以y-y=1x2-1x-1x2+1x=3．整理，123212182428141當S=36時，〈21解得〈1此時點A1的坐標為(6，3)．lx-x=2.lx=8.212 線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個公共角∠GEQGEQAB與拋物線對稱軸的夾角，為定值．在△GAF中，∠GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時∠GAF＝∠4QP5t45t207第(3)題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的．事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意 (1)求m、n； (2)向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點 (3)記平移后拋物線的對稱軸與直線AB′的交點為C，試在x軸上找一個到，△B′CD與△ABC相似有兩種情況．1．點A與點B的坐標在3個題目中處處用到，各具特色．第(1)題用在待定系數(shù)法中；第(2)題用來計算平移的距離；第(3)題用來求點B′的坐3．探求△ABC與△B′CD相似，根據(jù)菱形的性質，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夾角的兩邊對應成比例，分兩種情況討論．55AABBABy=4x28x+4=4(x+1)2+16，3333為y,=4(x4)2+16．33BCBC如圖2，由AM//CN，可得=，即BCBCB'MB'A845以AC=35．根據(jù)菱形的性質，在△ABC與△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．ABB'C55①如圖3，當=時，=，解得B'D=3．此時OD＝3，點ACB'D35B'DD的坐標為(3，0)．ABB'D5B'D5ACB'C35531313，點D的坐標為(，0)．33在本題情境下，我們還可以探求△B′CD與△ABB′相似，其實這是有公共底角的兩個等腰三角形，容易想象，存在兩種情況．我們也可以討論△B′CD與△CBB′相似，這兩個三角形有一組公共角∠B，根據(jù)對應邊成比例，分兩種情況計算． (1)求此拋物線的解析式； (3)在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得△DCA的面積最大，求出大．較簡便． 1為y=a(x1)(x4)，代入點C的坐標(0，－2)，解得a=．所以拋物線2222 22如果AM=AO=2，那么1(x1)(x4)2=2．解得x=5不合題意．PMCO4x如果AM=AO=1，那么1(x1)(x4)2=1．解得x=2．PMCO24x2此時點P的坐標為(2，1)．PAxPM(x1)(x4)，2解方程2=1，得x=2