石家莊二中2021屆高三上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題（西校區(qū)）含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精河北省石家莊二中2021屆高三上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題（西校區(qū)）含答案班級姓名班級姓名學(xué)號（考試時間：120分鐘,滿分：150分)一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知角α的終邊過點P(﹣4，3）,則sinα+cosα的值是（）A．15 B．-15 C．72．已知集合A＝｛1，2,3,4}，B＝｛y｜y＝2x﹣1，x∈A｝，則A∩B＝（)A．｛1,2｝ B．{1,2，4} C．｛2，4｝ D．｛2，3，4｝3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z﹣3+4i|＝2，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x,y），則(）A．（x﹣3)2+（y+4)2＝2 B．(x+3）2+（y+4）2＝2 C．（x+3）2+(y﹣4)2＝4 D．（x﹣3）2+（y+4)2＝44．設(shè)a=0.30.1，b=log1A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．已知正方形ABCD的邊長為3，DE→A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣66．函數(shù)y=xA． B． C． D．7．已知O，A，B，C為平面α內(nèi)的四點，其中A，B，C三點共線，點O在直線AB外，且滿足OA→=1xOB→+2yA．21 B．25 C．27 D．348．我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．橢球是橢圓繞其長軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體,如圖，將底面半徑都為b．高都為a（a＞b）的半橢球和已被挖去了圓錐的圓柱（被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點)放置于同一平面β上，用平行于平面β且與平面β任意距離d處的平面截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)，可以證明S圓＝S圓環(huán)總成立．據(jù)此，橢圓的短半軸長為2，長半軸長為4的橢球的體積是(）A．16π3 B．32π3 C．64π3二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分,共20分在每小題給出的選項中有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。9．已知雙曲線x24-A．焦距 B．離心率 C．頂點坐標 D．漸近線方程10．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點PA．漸近線方程為4x±3y＝0 B．漸近線方程為3x±4y＝0 C．離心率為53 D．離心率為11．已知函數(shù)f（x）＝（asinx+cosx）cosx-12的圖象的一條對稱軸為xA．f(x）是最小正周期為π的奇函數(shù) B．（-7π12，0）是f（xC．f（x)在[-π3，πD．先將函數(shù)y＝2sin2x圖象上各點的縱坐標縮短為原來的12，然后把所得函數(shù)圖象再向左平移π12個單位長度，即可得到函數(shù)f(12．如圖，點M是正方體ABCD﹣A1B1C1D1中的側(cè)面ADD1A1上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A．點M存在無數(shù)個位置滿足CM⊥AD1 B．若正方體的棱長為1，三棱錐B﹣C1MD的體積最大值為13C．在線段AD1上存在點M,使異面直線B1M與CD所成的角是30° D．點M存在無數(shù)個位置滿足到直線AD和直線C1D1的距離相等三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.13．古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火、土之間相生相克的關(guān)系，如圖所示,現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為．14．已知點A，B，C，D均在球O的球面上,AB＝BC＝1，AC=2，若三棱錐D﹣ABC體積的最大值是13,則球O的表面積為15．動圓E與圓M（x﹣1）+y2=14外切，并與直線x=-12相切,則動圓圓心E的軌跡方程為,過點P(1，2)作傾斜角互補的兩條直線，分別與圓心E的軌跡相交于A，B16．設(shè)f（x）是定義在R上且周期為6的周期函數(shù)，若函數(shù)y＝f（x﹣1）的圖象關(guān)于點（1,0)對稱,函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[﹣n，n]（其中n∈N*）上的零點的個數(shù)的最小值為an,則an＝．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟．17．（10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b，c，若a＝4，___，求△ABC的周長L和面積S．在①cosA=35,cosC=55，②csinC＝sinA+bsinB，B＝60°，③c18．（12分）已知{an｝為等差數(shù)列，a3+a6＝25，a8＝23，{bn}為等比數(shù)列,且a1＝2b1，b2b5＝a11．(1)求{an｝，｛bn}的通項公式；(2)記cn＝an?bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．19．（12分）如圖所示，在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC＝60°，直角梯形ADFE所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EAD＝90°，AE＝AD＝2DF＝2CD＝2．（1）證明：平面ECD⊥平面ACE；(2）點M在線段EF上,試確定點M的位置，使平面MCD與平面EAB所成的二面角的余弦值為3420．（12分）已知橢圓C:x2a2+y（1)求橢圓C的方程；(2）設(shè)直線l：y＝kx+t（t≠0）與橢圓C相交于A,B兩點,若以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點P在橢圓C上,求證：平行四邊形OAPB的面積為定值．21．（12分)已知圓M過C(1,﹣1)，D（﹣1，1）兩點，且圓心M在x+y﹣2=0上。（1)求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線,A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值。22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx+12(1)討論函數(shù)h（x）＝f(x）﹣g（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)t≠1時，證明曲線y＝g（x）分別在點（1，g（1）)和點（t，g（t））處的切線為不同的直線；(3）已知過點（m，n）能作曲線y＝g（x）的三條切線，求m，n所滿足的條件．高三年級數(shù)學(xué)期中模擬試題答案一、單項選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【解答】解：由題意可得x＝﹣4、y＝3、r＝｜OP|＝5，∴sinα=yr=35,cosα=xr=-452．【解答】解：合A＝｛1,2，3,4｝,B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}＝{1，2，4,8}，則A∩B＝{1，2，4｝，故選：B．3．【解答】解:∵z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y）,∴z＝x+yi，｜z﹣3+4i|＝2，∴(x﹣3）2+（y+4)2＝4，故選：D．4．【解答】解：∵0＜0。30。1＜0。30＝1，∴0＜a＜1，∵b＝log1315=log35，而log33＜log35＜log39,∵c＝log526＞log525＝2,∴c＞2，∴c＞b＞a,故選：D．5．【解答】解：如圖；因為正方形ABCD的邊長為3,DE→=2則AE→?BD→=（AD→+DE→）?（AD→-AB→）＝（AD→+23AB6．【解答】解：當(dāng)x＞0時，y＝xlnx，y′＝1+lnx,即0＜x＜1e時,函數(shù)y單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1因為函數(shù)y為偶函數(shù),故選:D．7．【解答】解：根據(jù)題意，A，B，C三點共線，點O在直線AB外,OA→=1xOB→+2yOC→．∴1x+8．【解答】解：∵S圓＝S環(huán)總成立，∴半橢球的體積為：πb∴橢球的體積V=43π∴該橢球體的體積V=43π×二、多項選擇題：本題共4小題,每小題5分，共20分在每小題給出的選項中有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。9．解析：雙曲線x24-y22=sin2θ(θ≠kπ，k∈Z),可化為x2雙曲線x24-y22=sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，可化為x24sic2＝6sin2θ,e2=1+(ba)2故選：BD．10．【解答】解：設(shè)｜PF2｜＝｜F1F2｜＝2c,由｜PF1｜﹣|PF2|＝2a,可得｜PF1|＝2c+2a，由F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長2a,設(shè)PF1的中點M,由等腰三角形PF1F2的性質(zhì)可得,F2M⊥PF1,即有(2c+2a﹣2b）2+（2a)2＝(2c）2，化為c+a﹣b＝b，即c+a＝2b,可得c2＝a2+b2＝（2b﹣a）2,即有3b＝4a，則雙曲線的漸近線方程為y＝±bax＝±43即4x±3y＝0;離心率e=c故選：AC．11．【解答】解：函數(shù)f（x)＝(asinx+cosx）cosx-＝asinxcosx+cos2x-12=12asin2又f（x）圖象的一條對稱軸為x=π所以f（0）＝f(π3），即12=12解得a=3，所以f（x）=32sin2x+12cos2所以f（x）的最小正周期為π，但不是奇函數(shù)，A錯誤；f（-7π12）＝sin（-7π6+π6)＝f（﹣π）＝0，所以（-x∈[-π3，π3］時,2x+π6∈[-π2，5π6］，所以f（將函數(shù)y＝2sin2x圖象上各點的縱坐標縮短為原來的12，得y＝sin2x的圖象；再把所得函數(shù)圖象向左平移π12個單位長度，得y＝sin2(x+π12）＝sin（2x+π6)的圖象，即函數(shù)f（12．【解答】解:如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥側(cè)面ADD1A1，則CD⊥AD1，又AD1⊥A1D，A1D∩DC＝D,∴AD1⊥平面A1DC,可知當(dāng)M在線段A1D上時，有CM⊥AD1，故A正確;由正方體的性質(zhì)可知，A1C⊥平面BC1D,可知若正方體的棱長為1，則M與A1重合時，三棱錐B﹣C1MD的體積取最大值，為13×1異面直線B1M與CD所成角，即為∠A1B1M，當(dāng)M在線段AD1上運動時,M取AD1的中點時,∠A1B1M最小，其正切值為22＞3平面ADD1A1上的點M到直線C1D1的距離等于M到D1的距離,則滿足到直線AD和直線C1D1的距離相等即滿足到直線AD和點D1的距離相等．可知M的軌跡為平面ADD1A1上拋物線的部分，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.13．【解答】解：古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系,如圖所示，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，基本事件總數(shù)n=C52=故答案為：1214．【解答】解:∵AB＝BC＝1，AC=2∴AB⊥BC，△ABC的外接圓圓心為AC的中點M，過AC的中點M作平面ABC的垂線MN，要想體積最大，需高最大，則球心O在直線MN上且D也在MN上，設(shè)OM＝h，球的半徑為R，則棱錐的高的最大值為R+h．∵VD﹣ABC=13×12×1×1×（∴R+h＝2，由勾股定理得：OA2＝OM2+MA2，即R2＝(2﹣R）2+(22)∴球O的表面積為S＝4π×R2=81π故答案為：81π1615．【解答】解:如圖,由題意可知,｜NE｜＝|ME|-12，則｜NE|+1∴E點到直線x＝﹣1的距離等于到點M(1，0）的距離,∴動圓圓心E的軌跡是以M為焦點，以x＝﹣1為準線的拋物線，則其軌跡方程為y2＝4x；點P坐標為(1，2），設(shè)A(x1，y1），B(x2,y2），由已知設(shè)PA：m（y﹣2）＝x﹣1，即:x＝my﹣2m+1，代入拋物線的方程得：y2＝4my﹣8m+4，即y2﹣4my+8m﹣4＝0,則y1+2＝4m，故y1＝4m﹣2,設(shè)PB：﹣m（y﹣2）＝x﹣1，即x＝﹣my+2m+1，代入拋物線的方程得:y2＝﹣4my+8m+4,即y2+4my﹣8m﹣4＝0，則：y2+2＝﹣4m，故y2＝﹣4m﹣2，x1﹣x2＝my1﹣2m+1﹣（﹣my2+2m+1）＝m（y1+y2）﹣4m＝﹣8m，直線AB的斜率kAB═y2∴直線AB的斜率為﹣1．故答案為:y2＝4x；﹣1．16．【解答】解：可將y＝f（x﹣1）的圖象向左平移1個單位,得到y(tǒng)＝f（x）的圖象，因為函數(shù)y＝f（x﹣1）的圖象關(guān)于點（1,0）對稱，即有y＝f（x)的圖象關(guān)于原點對稱,即y＝f（x）為奇函數(shù)，可得f(0)＝0,又f（x）為周期為6的周期函數(shù),可得f（x+6）＝f(x)，可令x＝﹣3，則f（﹣3+6）＝f(﹣3），即f（3）＝f(﹣3）＝﹣f（3），可得f（﹣3）＝f（3）＝0,當(dāng)n＝1，2時，f（x）在[﹣n，n］上，有f（0）＝0;當(dāng)n＝3，4,5時，f(x）在[﹣n，n]上，有f(0）＝0,f（3)＝f（﹣3）＝0；當(dāng)n＝6，7，8時,f（x）在［﹣n，n］上，有f（0)＝0，f（3）＝f（﹣3）＝0,f（6）＝f（﹣6）＝0；當(dāng)n＝9，10，11時，f（x）在[﹣n，n]上,有f（0)＝0，f（3）＝f（﹣3）＝0，f（6)＝f（﹣6）＝0，f（9）＝f（﹣9)＝0，…，可得a1＝a2＝1,a3＝a4＝a5＝3，a6＝a7＝a8＝5，…,a3k＝a3k+1＝a3k+2＝2k+1，k∈N,即an＝2k+1,（3k≤n＜3(k+1）,k∈N,n∈N＊）．故答案為：2k+1，（3k≤n＜3(k+1），k∈N，n∈N*)．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟．17．【解答】解：選擇②：csinC＝sinA+bsinB，B＝60°,a＝4．由正弦定理可得：c2＝a+b2，∴c2＝4+b2．由余弦定理可得：b2＝16+c2﹣8ccos60°,化為:b2＝16+c2﹣4c．聯(lián)立解得:c＝5，b=21∴△ABC的周長L＝4+5+21=9面積S=12ac?sinB=12×4×5×18．【解答】解:(1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，由題意可得2a1+7d=25則an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1,n∈N＊；設(shè)等比數(shù)列｛bn}的公比為q，由a1＝2b1，b2b5＝a11．可得b1＝1，b12q5＝32,解得q＝2，則bn＝2n﹣1，n∈N＊；（2）由（1）可得cn＝anbn＝（3n﹣1）?2n﹣1，則Tn＝2?20+5?21+8?22+…+（3n﹣1）?2n﹣1,2Tn＝2?2+5?22+8?23+…+（3n﹣1）?2n，兩式相減可得﹣Tn＝2+3(21+22+…+2n﹣1）﹣(3n﹣1)?2n＝2+3?2(1-2n-1)1-2-（3n﹣化簡可得Tn＝4+（3n﹣4）?2n．19．【解答】解：（1)證明:∵平面ABCD⊥平面ADFE，平面ABCD∩平面ADFE＝AD，EA⊥AD，EA?平面ADFE,∴EA⊥平面ABCD，又CD?平面ABCD,∴EA⊥CD，在△ADC中,CD＝1,AD＝2，∠ADC＝60°，由余弦定理得AC=1+4-2×1×2cos60°∴AC2+CD2＝AD2，∴CD⊥AC，∵CD⊥EA，AE∩AC＝A，∴CD⊥平面ECD，∵CD?平面ECD，∴平面ECD⊥平面ACE．（2）解：以C為坐標原點，CA為x軸，CD為y軸，過C作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，C（0，0，0)，A（3,0，0)，B(32，-12，0），D（0，1,0），E（3AB→=（-32，-12，1)，AE→=（0，0，2)，CD→設(shè)FM→=λFE→=（3λ，-λ設(shè)平面ABE的一個法向量m→=（x，y，則m→?AB→=-32設(shè)平面MCD的一個法向量n→=（a，b，則n→?CD→=b=0n→?CM→=∵平面MCD與平面EAB所成的二面角的余弦值為34∴|cos＜m→，整理得8λ2﹣2λ﹣1＝0，解得λ=12，或∴點M為線段EF中點時，平面MCD與平面EAB所成的二面角的余弦值為3420．【解答】（1)解：由題意，2a2+1b2=1∴橢圓方程為x2（2）證明：聯(lián)立y=kx+tx24+y22=1，得（2k2+1）x∴△＝（4kt）2﹣8（2k2+1)(t2﹣2）＝8［2（2k2+1）﹣t2]＞0．設(shè)A(x1,y1），B（x2，y2），則x1+x∴y1∵四邊形OAPB是平行四邊形，∴OP→則P（-4kt又∵點P在橢圓上，∴4k2t∵｜AB|==2又點O到直線l的距離d=|t|∴平行四邊形OAPB的面積S=2S即平行四邊形OAPB的面積為定值6．21．【解析】（1)設(shè)圓的方程為：，根據(jù)題意得，故所求圓M的方程為:（2）如圖四邊形的面積為即又，所以,而，即。因此要求的最小值,只需求的最小值即可,的最小值即為點到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為。22．【解答】(1）解：由題知h（x）＝lnx+12x∵h′(x）=1x+x-3x2+1=1+x+x2-3x3x=(1-x)(3x2所以h（x）在(0，1）上單調(diào)遞增;在（1，+∞）上單調(diào)遞減．（2）證明：因為g′（x)＝3x2﹣1