現(xiàn)代控制論基礎(chǔ)課件1

《現(xiàn)代控制理論》講稿賀廉云第1章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型要點：1理解狀態(tài)空間表示法概念；2掌握狀態(tài)空間圖示法；3掌握連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換；4了解多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣及其求法難點：連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換一狀態(tài)空間表示法基本術(shù)語狀態(tài)：完全能描述系統(tǒng)時域行為的一個最少變量組。狀態(tài)變量：是能構(gòu)成系統(tǒng)狀態(tài)的變量，能完全描述系統(tǒng)時域行為的一個最少變量組中的每一個變量。狀態(tài)空間：狀態(tài)向量X（t）的所有可能值的集合在幾何學(xué)上叫狀態(tài)空間。或說由x1軸、x2軸…xn軸所組成的n維空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)空間中的每一個點，對應(yīng)于系統(tǒng)的某一特定狀態(tài)。反過來，系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)都可用狀態(tài)空間中的一個點來表示。顯然，系統(tǒng)在不同時刻下的狀態(tài)，可用狀態(tài)空間中的一條軌跡表示。軌跡的形狀，完全由系統(tǒng)在時刻的初態(tài)時的輸入函數(shù)，以系統(tǒng)本身的動力學(xué)特性所決定。2狀態(tài)空間模型的一般形式在現(xiàn)代控制理論中，狀態(tài)空間模型所能描述的系統(tǒng)可以是單輸入單輸出的，也可以是多輸入多輸出的。狀態(tài)空間表示式是一種采用狀態(tài)描述系統(tǒng)動態(tài)行為（動態(tài)特性）的時域描述的數(shù)學(xué)模型。它包含狀態(tài)方程輸出方程。狀態(tài)方程是一個一階向量微分方程，輸出方程是一個代數(shù)變換方程。U1狀態(tài)變量y1U2y2……Umx1x2…x4yp圖1-1系統(tǒng)表示描述某一動態(tài)的一個狀態(tài)向量x（t）=[x1x2x3…xn]T（這里T為矩陣的轉(zhuǎn)置），如圖1-1所示。顯然，該系統(tǒng)是n階系統(tǒng)，若系統(tǒng)有m個輸入u1，u2，u3，…，um，有p個輸出y1，y2，y3，…，yp，且分別記u（t）=[u1u2u3…un]T和y(t)=[y1y2y3…yp]T位輸入和輸出向量。則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的一般形式為（1-1）（1-2）式中，f=[f1f2f3…fn]T是n維函數(shù)向量；Φ是向量函數(shù)。式（1-1）是一階向量微分方程，也可以看作由n個一階微分方程所構(gòu)成的方程組，稱其為系統(tǒng)的狀態(tài)方程；式（1-2）是一個代數(shù)方程，表示系統(tǒng)的輸出量和輸入量以及狀態(tài)變量之間的關(guān)系，稱之為系統(tǒng)的輸出方程，或稱為觀測方程。這兩個方程總稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。二狀態(tài)空間模型的建立要建立狀態(tài)空間表達式，必須先選取狀態(tài)變量，狀態(tài)變量一定要是系統(tǒng)中相互獨立的變量。對于同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量選取的不同，所建立的狀態(tài)空間表達式也不同，通常選取狀態(tài)變量采取以下三種途徑：選擇系統(tǒng)中貯能元件的輸出物理量作為狀態(tài)變量，然后根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)用物理定律列寫出狀態(tài)方程。選擇系統(tǒng)的輸出及其各階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量。選擇能使?fàn)顟B(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量作為狀態(tài)變量。例1：如圖1-2所示的電路，試以電壓u為輸出，以電容C上的電壓uC為輸出變量，列寫其狀態(tài)空間表達式。圖1-2例1電路解：圖2電路的貯能元件有電感L1，L2和電容C。根據(jù)基爾霍夫定律列寫電路方程：考慮到i1、i2、uc這三個變量是獨立的，故可確定為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，經(jīng)整理上式變?yōu)楝F(xiàn)在令x1=i1，x2=i2，x3=uc，將上式寫成矩陣形式即為狀態(tài)方程。由于前面已指出電容上的電壓uc為輸出變量，故系統(tǒng)的輸出方程為由此可見，該電路的系統(tǒng)矩陣、控制矩陣、輸出矩陣分別為C=[001]三狀態(tài)空間模型的圖示法1.基本元件∫K∫K(a)(b)(c)圖1-3狀態(tài)結(jié)構(gòu)基本元件a—積分器b—加法器c—比例器2．一階標(biāo)量微分方程的一階系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖ba∫uba∫圖1-4一階系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)3.多輸入多輸出狀態(tài)方程BBA∫DCuy圖1-5MIMO系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)方程表達式為4.單輸入單輸出（SISO）線性定常系統(tǒng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為（1-3）5能控標(biāo)準(zhǔn)形=+u（1-4）（1-5）只要系統(tǒng)狀態(tài)方程的系數(shù)陣A和輸出陣B具有式（1-4）的形式，C陣的形式可以任意，則稱之為能控標(biāo)準(zhǔn)形，結(jié)構(gòu)圖如下∫∫∫b0-a1-a2b1-an∫bm…u圖1-6能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖6能觀標(biāo)準(zhǔn)形（1-6）（1-7）只要系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的A陣和C陣具有式（1-6）和（1-7）的形式，B陣的形式可以任意，則稱之為能觀標(biāo)準(zhǔn)形，結(jié)構(gòu)圖如圖1-7所示。D=0D=0-a1-an-1bm∫-an∫∫bb0…bm-1bm-1U…圖1-7能觀標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖對角標(biāo)準(zhǔn)形對角標(biāo)準(zhǔn)形的結(jié)構(gòu)圖和空間表達式分別如下：∫∫λ2C∫∫λ2C1∫Cnλnλ1C2uyC2圖1-8對角標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖（1-8）8約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的狀態(tài)方程式和結(jié)構(gòu)圖分別如下（1-9）C11∫C11∫λ1λ1C12∫yC12∫λλ1C1j∫uC1j∫λ1λ1圖1-9約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖四連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換對于動態(tài)系統(tǒng)，高階微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程表示的數(shù)學(xué)模型實際上是對系統(tǒng)動態(tài)過程的三種不同的形式的描述。微分方程和傳遞函數(shù)是古典控制理論中描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，它們對事物外部特征進行描述，只反映系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系。而現(xiàn)代控制理論采用的狀態(tài)空間表示，可以深入反映系統(tǒng)內(nèi)容狀態(tài)之間的關(guān)系。因此，兩者之間存在著內(nèi)在聯(lián)系，可以通過適當(dāng)?shù)氖侄芜M行相互轉(zhuǎn)換。由狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程LG（s）==(1-10)是A陣的特征多項式 *表示伴隨矩陣?yán)?已知某一單一輸入輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為試求其傳遞函數(shù)陣。解：根據(jù)式（1-10），可得G（s）====2傳遞函數(shù)陣的狀態(tài)空間模型的實現(xiàn)可控標(biāo)準(zhǔn)形的實現(xiàn)對于單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)，傳遞函數(shù)陣退化成傳遞函數(shù)。要把SISO系統(tǒng)式G(s)=的傳遞函數(shù)形式轉(zhuǎn)換成能控標(biāo)準(zhǔn)性的狀態(tài)空間模型，即（1-11）A=b=(1-12)上述A陣是nn方陣，它的維數(shù)正好是傳遞函數(shù)的階數(shù)，它的最后一行元素正還是傳遞函數(shù)分母（即系統(tǒng)的特征方程）所對應(yīng)的稀疏，只不過均相差一個負號,其次對角線的元素均為1，其余為零，而b陣是一個列向量，最后一個元素為1，其余為零。正是b陣中的唯一的1對應(yīng)友陣A的形式，是的輸入信號u能對系統(tǒng)的每一個狀態(tài)進行控制，因此稱其為能控標(biāo)準(zhǔn)行。為了得到A陣和b陣的這種形式，應(yīng)按下列規(guī)律選擇狀態(tài)變量：,于是有（1-13）現(xiàn)在的問題就是設(shè)法求出滿足上述關(guān)系的輸出矩陣c。為此設(shè)中間變量Z(s)，對于式G(s)=分子分母同乘以Z(s),則有，設(shè)則由有即（1-14）對上式取拉氏變換（1-15）由式（1-13）有(1-16)將式（1-16）代入式（1-15），并令，則（1-17）寫成矩陣形式（1-18）故所求的c陣滿足式（1-17）的形式。同理，從式（1-15）的下式可以推出或?qū)懗桑?-19）可見，式（1-19）正好就是式（1-13）的最后一個表達式。式（1-13）和式（1-17）完全地描述了由傳遞函數(shù)G(s)=所表示的系統(tǒng)。這一組能反映系統(tǒng)狀態(tài)之間關(guān)系和輸出變量的方程，也可以直接從能控標(biāo)準(zhǔn)形的結(jié)構(gòu)圖寫出。對于輸入函數(shù)中不含u的異數(shù)的特殊情況，或傳遞函數(shù)式G(s)=中不含零點時，能控標(biāo)準(zhǔn)形A陣，B陣不變和式（1-4）相同，但c陣變成（1-20）在需要對實際系統(tǒng)進行數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換時，只要把微分方程或傳遞函數(shù)化成式（1-3）或G(s)=的標(biāo)準(zhǔn)形式，不必進行計算就可以方便地一一對應(yīng)寫出狀態(tài)空間模型的A,b,c矩陣的所有元素。例3已知某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)試求其能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)。解：先將已知傳遞函數(shù)化成式G(s)=的標(biāo)準(zhǔn)形式從而可得則其狀態(tài)空間表達式為其中，下面簡述多數(shù)入多輸出（MIMO）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣狀態(tài)空間模型實現(xiàn)。設(shè)系統(tǒng)的輸入u和y分別是m和p維的，則傳遞函數(shù)陣G（s）是一個pm的關(guān)于s得多項式矩陣，其元素是s的有理真分式。設(shè)G(s)的所有的元素的分母多項式的最小公倍數(shù)為(1-21)則可以將G(s)寫成（1-22）其中，是階單位陣，是多項式矩陣，它可按的冪數(shù)展開成矩陣多項式（1-23）同理，可推導(dǎo)出MIMO系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)為（1-24）（1-25）式中，0和I分別是m階零矩陣和單位矩陣，是的實數(shù)據(jù)陣，是維向量。例4已知二輸入二輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為試求其能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)。解：所給系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣所有的元素的分母多項式的最小公倍式為將傳遞函數(shù)陣寫成則有由式（1-21）和式（1-22）可直接得出能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)能觀標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)設(shè)SISO系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)如式（1-3）或式G(s)=，若選擇狀態(tài)變量滿足下列條件將這幾個方程逐個對t求導(dǎo)，并考慮式（1-3）的關(guān)系，便得到傳遞函數(shù)陣的能觀標(biāo)準(zhǔn)的實現(xiàn)。即（1-27） （1-28）寫成矩陣形式（1-29）（1-30）可見，SISO系統(tǒng)能觀標(biāo)準(zhǔn)形與能控標(biāo)準(zhǔn)形是互為對偶的。因此，對MIMO系統(tǒng)可直接根據(jù)上述MIMO系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形寫出式（1-22）的能觀標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)。即（1-31）（1-32）式中，I，0是階單位陣與零陣，是維向量。通過以上對傳遞函數(shù)陣的能控標(biāo)準(zhǔn)形或能觀標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)的討論，對單輸入系統(tǒng)而言，應(yīng)注意如下問題：（1）傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化成能控標(biāo)準(zhǔn)形的狀態(tài)空間表達式，狀態(tài)方程的結(jié)構(gòu)只由傳遞函數(shù)陣的極點多項式確定，而與其零點多項式無關(guān)，零點多項式只影響輸出方程的結(jié)構(gòu)。（2）從能觀標(biāo)準(zhǔn)形的實現(xiàn)可以看出，系數(shù)陣A的元素僅決定于傳遞函數(shù)極點多項式系數(shù)，而其零點多項式則確定輸入陣B的元素。（3）只有當(dāng)傳遞函數(shù)零點和極點多項式同階時，即，狀態(tài)空間表達式的輸出方程中才出現(xiàn)項，否則為零陣。例5二輸入二輸出系統(tǒng)例4所對應(yīng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)的陣分別為對角標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)若SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)式G(s)=不存在項統(tǒng)計點，則可得到多對角標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)，且實現(xiàn)的系數(shù)陣應(yīng)是（1-33）式中，是傳遞函數(shù)的個互異極點，因此需求出和陣。系統(tǒng)的極點互異時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子分母寫成因式相乘形式（1-34）式中為系統(tǒng)的零點；為系統(tǒng)的互異極點。將式（1-34）寫成部分分式（1-35）其中，，為待定系數(shù)，其值為（1-36）為了得到如式（1-8）的對角標(biāo)準(zhǔn)形式線，其狀態(tài)變量的選擇原則為（1-37）即（1-38）對上式拉氏反變換，得即（1-39）寫成矩陣形式+