題型專練03-新高考開放性試題（解析版）

新高考開放性試題題型專練031．在去年的足球甲A聯(lián)賽上，一隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1．6，全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1．2；二隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2．2，全年失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0．5．下列說法正確的是（）．A．平均說來，一隊(duì)比二隊(duì)防守技術(shù)好 B．二隊(duì)比一隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定C．一隊(duì)有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好 D．二隊(duì)很少不失球【答案】ABCD【解析】根據(jù)平均值和方差的實(shí)際意義說明．一隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1．6，二隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2．2，所以從平均數(shù)的角度來說一隊(duì)比二隊(duì)防守技術(shù)好，A正確．一隊(duì)全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1．2，二隊(duì)全年失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0．5，所以二隊(duì)比一隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定，B正確．一隊(duì)全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1．2，二隊(duì)全年失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0．5，所以一隊(duì)有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好，C正確．二隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2．2，全年失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0．5，所以二隊(duì)很少不失球，D正確．故選：ABCD．2．如圖，橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，且橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心．設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長半軸長分別為和，半焦距分別為和，離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D． E．橢圓Ⅱ比橢圓I更扁【答案】ABD【解析】先根據(jù)已知的條件確定和的關(guān)系，以及和的關(guān)系，再判斷正確選項(xiàng)．由橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心，可得，由橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，可得；因?yàn)?，且，則，所以A正確；因?yàn)?，所以B正確；因?yàn)椋?，則有，所以C錯誤；因?yàn)椋訢正確；因?yàn)?，即，則橢圓I比橢圓Ⅱ更扁，所以E不錯誤，故選ABD．3．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為，且，記的前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)中正確的選項(xiàng)是A． B． C． D．【答案】ABC【解析】化簡不等式，由此判斷出，，進(jìn)而判斷出正確選項(xiàng)．由于等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為，且，所以，由題意得，所以．因?yàn)椋?，，．故選ABC．4．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（100，102），則下列選項(xiàng)正確的是（）（參考數(shù)值：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0．6826），P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0．9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0．9974）A．E（X）＝100 B．D（X）＝100 C．P（X≥90）＝0．8413 D．P（X≤120）＝0．9987【答案】ABC【解析】根據(jù)對稱性，由題意可求出答案．∵隨機(jī)變量X服從正太分布N（100，102），∴曲線關(guān)于x＝100對稱，根據(jù)題意可得，P（90＜x＜110）＝0．6826，P（80＜x＜120）＝0．9544，∴P（x≥90）＝0．5+＝0．8413，故C正確；P（x≤120）＝0．5+，故D錯誤．而A，B都正確．故選ABC．5．函數(shù)部分圖象如圖所示，若x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，f（x1）＝f（x2），滿足f（x1+x2）＝1，則φ＝，此時y＝f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是．【答案】，[]，k∈z．【解析】由題意結(jié)合正弦函數(shù)的五點(diǎn)作圖可得2a+φ＝0，2b+φ＝π，所以a＝﹣φ，b＝φ，又因?yàn)閤1，x2∈[a，b]且x1≠x2，f（x1）＝f（x2），所以x1+x2＝a+b＝﹣φ，又f（x1+x2）＝f（a+b）＝2sin（π﹣φ）＝2sinφ＝1，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，0＜φ＜故滿足條件的φ＝，f（x）＝2sin（2x+），令，解可得，，k∈z故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[]，k∈z．故答案為：，[]，k∈z．6．已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[﹣1．2]＝﹣2，[1．5]＝1，[3]＝3．若f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），則＝，函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋窘馕觥浚籟1，2）【解析】由f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），g（）＝f（﹣[]）＝f（）＝f（）＝，由g（x）＝2x﹣[x]，[x]∈（x﹣1，x]，故x﹣[x]∈[0，1），所以g（x）∈[1，2），故答案為：；[1，2）．7．給定數(shù)列{An}，若對任意m，n∈N*且m≠n，Am+An是{An}中的項(xiàng)，則稱{An}為“H數(shù)列”．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（1）請寫出一個數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，此時數(shù)列{an}是“H數(shù)列”；（2）設(shè){an}既是等差數(shù)列又是“H數(shù)列”，且a1＝6，a2∈N*，a2＞6，求公差d的所有可能值；【解析】如：an＝2n．對任意m，n∈N*且m≠n，an+am＝2（n+m）＝am+n∈{an}．因此數(shù)列{an}為“H數(shù)列”．（2）設(shè){an}既是等差數(shù)列又是“H數(shù)列”，且a1＝6，a2∈N*，a2＞6，an＝6+（n﹣1）d，6+d＞6，即d＞0．且d∈N*，a1+a2＝6+6+d＝12+d，則a1+a2＝ak，若a1+a2＝a3＝6+2d，則d＝6．a(chǎn)n＝6n，{an}是“H數(shù)列”，若a1+a2＝a4＝6+3d，則d＝3．a(chǎn)n＝3n+3，{an}是“H數(shù)列”，若a1+a2＝a5＝6+4d，則d＝2．a(chǎn)n＝2n+4，{an}是“H數(shù)列”，若a1+a2＝a6＝6+5d，則d＝?N*，舍去．k≥6時，{an}不是“H數(shù)列”．公差d的所有可能值為：2，3，6．8．（2020?北京模擬）在①a4＝b4，②a2+b5＝2，③S6＝﹣24這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的正整數(shù)k存在，求k的值；若k不存在，請說明理由．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，{bn}是等比數(shù)列，4，b1＝a5，b3＝﹣9，b6＝243．是否存在k，使得Sk＞Sk﹣1且Sk+1＜Sk？【解析】選擇①a4＝b4，又b1＝a5，b3＝﹣9，b6＝243．則b1﹣d＝﹣9q，﹣9q3＝243，b1q2＝﹣9，a1+3d＝b1﹣d．解得q＝﹣3，b1＝﹣1，d＝﹣28．a(chǎn)1＝111．∴an＝111﹣28（n﹣1）＝139﹣28n．假設(shè)存在k使得Sk＞Sk﹣1且Sk+1＜Sk．則139﹣28k＞0，139﹣28（k+1）＜0，化為：＜k＜，解得k＝4．故答案為：4．9．（2020?山東模擬）在①3c2＝16S+3（b2﹣a2）；②5bcosC+4c＝5a，這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，已知①．（1）求tanB的值；（2）若S＝42，a＝10，求b的值．【解析】選①3c2＝16S+3（b2﹣a2），（1）∵3c2＝16S+3（b2﹣a2），∴3（c2+a2﹣b2）＝16s即3×2accosB＝16×12所以3cosB＝4sinB即tanB=3（2）由（1）可得sinB=35，cosB∴S=12acsinB=12由余弦定理可得，45整理可得，b＝62．故答案為：①．10．（2019秋?鼓樓區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜π2），f（x）圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為π2；①（Ⅰ）在①f（x）的一條對稱軸x=-②f（x）的一個對稱中心（5π③f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（5π這三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若動直線x＝t（t∈[0，π]）與f（x）和g（x）=23sinxcosx的圖象分別交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ長度的最大值及此時t【解析】（Ⅰ）因?yàn)閒（x）圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為π2，所以最小正周期為T=2×所以ω=2πT=2，此時f（x）＝2sin（2x若選①，則-2π3+φ=因?yàn)閨φ|＜π2，所以令k＝﹣1，φ=π若選②，則5π6+φ=kπ，得φ因?yàn)閨φ|＜π2，所以令k＝1，φ=π若選③，則f（5π因?yàn)閨φ|＜π2，所以7π6＜5π3+φ＜綜上，函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+π故答案為：①（或②或③）．（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）=2sin（2x+π6）+1-2所以PQ＝h（t）＝cos2t+1，∵t∈[0，π]，∴2t∈[0，2π]，∴當(dāng)2t＝0或2t＝2π，即t＝0或t＝π時，線段PQ取得最大值，為2．11．（2020?3月份模擬）如圖．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（側(cè)棱垂直于底面，且底面三角形ABC是等邊三角形）中，BC＝CC1，M、N、P分別是CC1，AB，BB1的中點(diǎn)．（1）求證：平面NPC∥平面AB1M；（2）在線段BB1上是否存在一點(diǎn)Q使AB1⊥平面A1MQ？若存在，確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，也請說明理由．【解析】（1）證明：∵M(jìn)、N、P分別是CC1，AB，BB1的中點(diǎn)．∴NP∥AB1，四邊形MCPB1為平行四邊形，可得CP∥MB1，NP?平面AB1M；AB1?平面AB1M；∴NP∥平面AB1M；同理可得CP∥平面AB1M；又CP∩NP＝P，∴平面NPC∥平面AB1M．（2）假設(shè)在線段BB1上存在一點(diǎn)Q使AB1⊥平面A1MQ．∵四邊形ABB1A1是正方形，因此點(diǎn)Q為B點(diǎn)．不妨取BC＝2．M（0，﹣1，0），Q（0，1，0），A（3，0，0），B1（0，1，2），AB1→∵AB1→?∴在線段BB1上不存在一點(diǎn)Q使AB1⊥平面A1MQ．12．（2020?西湖區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，①已知點(diǎn)，，為曲線上任一點(diǎn)，到點(diǎn)的距離和到點(diǎn)的距離的比值為2；②圓經(jīng)過，，且圓心在直線上．從①②中任選一個條件．（1）求曲線的方程；（2）若直線被曲線截得弦長為2，求的值．【解析】（1）選擇條件①則，即，所以，整理得：，即．選擇條件②，，的中點(diǎn)為，，所以的垂直平分線方程為，即，所以，解得圓心．，所以曲線的方程為．（2）直線被曲線截得弦長為2，圓心到直線的距離．由點(diǎn)到直線的距離公式，解得．13．（2020?濟(jì)寧模擬）已知函數(shù)f（x）＝（1﹣ax）ex（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）是否存在一個正實(shí)數(shù)a，滿足當(dāng)x∈R時，f（x）≤1恒成立．若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．【解析】（I）f′（x）＝﹣aex+（1﹣ax）ex＝（1﹣a﹣ax）ex．a(chǎn)＝0時，f′（x）＝ex＞0，此時函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．a(chǎn)≠0時，f′（x）＝﹣a（x-1-aa）e∴a＞0時，函數(shù)f（x）在（﹣∞，1-aa）上單調(diào)遞增，在（1-aa＜0時，函數(shù)f（x）在（﹣∞，1-aa）上單調(diào)遞減，在（1-a（II）假設(shè)存在一個正實(shí)數(shù)a，滿足當(dāng)x∈R時，f（x）≤1恒成立．即1﹣ax-1ex≤令g（x）＝1﹣ax-1ex，g′（x）＝﹣令g′（x）＝﹣a+1ex=0，解得a=1則x＝﹣lna時，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值．g（﹣lna）＝1+alna﹣a＝h（a），h′（a）＝lna＝0，解得a＝1．∴a＝1時，h（a）取得極小值即最小值．因此只有a＝1時，g（﹣lna）＝1+alna﹣a＝h（a）≤0，恒成立．∴存在一個正實(shí)數(shù)a＝1，滿足當(dāng)x∈R時，f（x）≤1恒成立．14．（2020?河南模擬）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向．為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：AQI[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為y=0，9≤x≤100（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會超過2．88萬元？說明你的理由．【解析】（1）設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則P（ξ＝2）=C62C141C則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為738（2）（i）P（X＝0）＝P（0≤x≤100）=20100=15，P（X＝220）＝PP（X＝1480）＝P（250＜x≤300）=10X的分布列如下：X02201480