2021屆河南省焦作市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

試卷第=page22頁，總=sectionpages44頁2021屆河南省焦作市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式得，解絕對值不等式得，再求交集即可.【詳解】解：先解不等式得，解絕對值不等式得，所以.故選：B.2．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】采用待定系數(shù)法，設(shè)，由復(fù)數(shù)運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等可求得，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，，解得：，.故選：A.3．橢圓：的焦距為4，則的長軸長為（）A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和基本性質(zhì)，列方程求解即可【詳解】解析根據(jù)條件可知，則，所以，于是的長軸長為.故選：C4．在中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中，稱圖中的多面體為“芻甍”，書中描述了芻甍的體積計算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是芻甍的高，即點(diǎn)到平面的距離.若底面是邊長為4的正方形，，且平面，和是等腰三角形，，則該芻甍的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】做出圖形，如圖，計算點(diǎn)到平面的距離，并代入公式求解即可.【詳解】解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為，為的中點(diǎn)，則即為芻甍的高，由題意可知，是等腰直角三角形，所以，所以.故選：B.5．若函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的圖像性質(zhì)直接求解即可【詳解】的圖象上距離最近的兩個最值點(diǎn)分別是，，故的最小值為.故選：C6．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】確定函數(shù)的奇偶性，排除D，再確定時的函數(shù)值的正負(fù)可排除BC，從而得正確選項(xiàng)．【詳解】解：當(dāng)時，，所以為奇函數(shù)，排除D；當(dāng)時，，排除BC，故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.7．（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、倍角公式和輔助角公式即可化簡求值.【詳解】原式.故選：C8．已知、、，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)的作商法結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，得；由，得.從而可得.故選：D.9．閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的值為（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)列式計算即可【詳解】由題意得.故選：B10．在一次語文考試的閱卷過程中，兩位老師對一篇作文打出的分?jǐn)?shù)都是兩位的正整數(shù)，且十位數(shù)字都是，則兩位老師打出的分?jǐn)?shù)之差的絕對值小于或等于的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理確定兩位老師打分組合出的所有基本事件總數(shù)，利用列舉法可求得符合題意的基本事件個數(shù)，由古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】用表示兩位老師的打分，則的所有可能情況有種.當(dāng)時，可取，，共種；當(dāng)，，，，，，，時，的取值均有種；當(dāng)時，可取，，共種；綜上可得兩位老師打出的分?jǐn)?shù)之差的絕對值小于或等于的情況有種，由古典概型的概率公式可得所求概率.故選：C.11．已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與雙曲線的一個交點(diǎn)為，若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之和是，則的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，到兩條漸近線的距離之和為，解方程組即得解.【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得.雙曲線的漸近線方程為，將代入雙曲線方程，可得，不妨取，到兩條漸近線的距離之和為，可得，所以，因此的方程為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法，先定式，后定量.12．已知函數(shù)若函數(shù)的所有零點(diǎn)從小到大依次成等差數(shù)列，則的零點(diǎn)一定不包含（）A． B．2019 C．2020 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得出當(dāng)時，的零點(diǎn)為，1，3，5，…，都是奇數(shù)，此時包含2019，當(dāng)時，的零點(diǎn)為0，2，4，…，都是偶數(shù)，進(jìn)而討論即可求解【詳解】解析由條件知是周期為2的周期函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)即曲線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作圖如下，由圖可知，當(dāng)時，的零點(diǎn)為，1，3，5，…，都是奇數(shù)，此時包含2019，當(dāng)時，的零點(diǎn)為0，2，4，…，都是偶數(shù)，此時包含2020，當(dāng)時，的零點(diǎn)為，，，…，此時包含，因此的零點(diǎn)一定不包含.故選D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于利用分段函數(shù)、函數(shù)的周期性以及函數(shù)的零點(diǎn)的概念進(jìn)行作圖，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解，難度屬于中檔題二、填空題13．已知變量，滿足約束條件，則的最大值為______.【答案】4【分析】根據(jù)x，y滿足的約束條件畫出可行域，然后平移直線，當(dāng)直線在y軸上截距最大時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，易得，，，由，得，平移直線（圖中虛線），當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，直線在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)有最大值，此時最大值為.故答案為：4.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查二元一次不等式組和簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想.線性規(guī)劃問題考查的方式是由二元一次不等式組給出線性約束條件確定可行域，求可行域的面積、或確定形狀；或者是在線性約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍、最值或取得最值時的點(diǎn)的坐標(biāo)的確定以及由此衍生出來的其他相關(guān)問題，比如直線的斜率、平面距離的最值等問題.14．已知向量，，則_________．【答案】【分析】由得，然后將代入求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，即,所以，將代入得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查平面向量垂直的應(yīng)用，屬于簡單題.15．在中，角，，的對邊分別為，，，已知的面積為，，，則的值為_______.【答案】4【分析】由得，再由面積得，最后結(jié)合余弦定理求解即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)橐阎拿娣e為，所以，整理得，由余弦定理得，所以.故答案為：16．設(shè)，，，為球的球面上的四個點(diǎn)，滿足，.若四面體的表面積為，則球的表面積為______.【答案】【分析】首先由題意求出和的面積，從而得另兩個面的面積，再由三角形面積公式得，于是得是四面體外接球直徑，可求得球表面積．【詳解】解：由題意知，是等邊三角形，，是等腰三角形，.所以，即，所以，則的中點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離均為，所以球的表面積為.故答案為：．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求球的表面積，關(guān)鍵是求出球的半徑，尋找三棱錐的外接球的球心的兩種思路：（1）利用球的直徑對球面上任一點(diǎn)的張角為得出；（2）過各面外心作該面的垂線，垂線的交點(diǎn)就是球心．三、解答題17．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且滿足，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得最小的的值.【答案】（1）；（2）7【分析】（1）由，，成等比數(shù)列，可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而由，可求出的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合，討論的正負(fù)性，可求出最小的的值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，，成等比?shù)列，所以，即，整理得，解得或（舍去）.故.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，因?yàn)?，?dāng)時，，當(dāng)時，，而且，，因此，所以使得最小的為7.18．近年來，高鐵的發(fā)展逐漸改變了人們的出行方式，我國2015-2019年高鐵運(yùn)營里程的數(shù)據(jù)如下表所示.年份20152016201720182019年份代碼12345高鐵運(yùn)營里程（萬千米）1.92.22.52.93.5（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）每一年與前一年的高鐵運(yùn)營里程之差即為該年新增的里程，若用2016-2019年每年新增里程的頻率代替之后每年新增相應(yīng)里程的概率，求2023年中國高鐵運(yùn)營里程大于或等于5萬千米的概率.附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，分別求得的值，利用公式求得回歸系數(shù)的值，進(jìn)而求得的值，得出回歸方程；（2）設(shè)每年新增高鐵運(yùn)營里程為萬千米，得到隨機(jī)變量的分布列和2020-2023年每年新增的高鐵運(yùn)營里程有三種情況，結(jié)合概率的計算公式，即可求解.【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，可得，，，，所以，則，所以關(guān)于的線性回歸方程為.（2）設(shè)每年新增高鐵運(yùn)營里程為萬千米，由條件知的分布列為0.30.40.6若2023年中國高鐵運(yùn)營里程小于5萬千米，則2020-2023年每年新增的高鐵運(yùn)營里程有三種情況：，，.相應(yīng)概率為，所以2023年中國高鐵運(yùn)營里程大于或等于5萬千米的概率為.【點(diǎn)睛】求解線性回歸分析問題的解題方法：1、求線性回歸方程：（1）利用公式，求出回歸系數(shù)；（2）待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求系數(shù).2、利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，把線性回歸方程看出一次函數(shù)，求得一次函數(shù)的值.19．如圖，在三棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，是面積為的等邊三角形，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用等腰三角形三線合一、勾股定理可證得，，由線面垂直判定可證得平面，由面面垂直判定定理可證得結(jié)論；（2）由面面垂直的性質(zhì)可證得平面，即為所求四棱錐的高，利用棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1），為的中點(diǎn)，，.，，又，，.，平面，平面，平面，平面平面.（2），，又平面平面，平面平面，平面.是面積為的等邊三角形，，可得：..【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明面面垂直或線面垂直的關(guān)鍵是找到線線垂直關(guān)系，證明線線垂直的常用方法有：（1）線面垂直的性質(zhì)定理；（2）等腰三角形三線合一性質(zhì)；（3）勾股定理證垂直；（4）菱形、正方形等圖形中的特殊垂直關(guān)系.20．已知，函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若當(dāng)時，，求的所有可能取值.【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）求出，然后求出，即可；（2）令，可得，然后可得在上單調(diào)遞減，然后求出的最值即可解出答案.【詳解】（1）若，則，.則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2），.令，可得，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.，該不等式成立.，即，所以綜上所述，的可能取值只有1【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：（1）若恒成立，則；（2）若恒成立，則.21．已知點(diǎn)在拋物線：上，直線：與拋物線有兩個不同的交點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作與的準(zhǔn)線平行的直線，分別與直線和交于點(diǎn)和（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由已知點(diǎn)坐標(biāo)求得參數(shù)，由方程的解（判別式）確定直線與拋物線的位置關(guān)系；（2）設(shè)，，顯然，，均不為0，由（1）中方程應(yīng)用韋達(dá)定理得①，，要證，只要證.即可得．【詳解】解：（1）由拋物線：過點(diǎn)，得.所以拋物線的方程為.由得.由題意，且，即，因此的取值范圍是且．.（2）設(shè)，，顯然，，均不為0.由（1）可知①，②.由題意可得，的橫坐標(biāo)相等且同為，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.若要證明，只需證，即證，即證.將代入上式，即證，即證③，將①②代入③得，此等式顯然成立.所以恒成立，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與拋物線的交點(diǎn)問題．直線與拋物線的位置關(guān)系可能通過直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，由方程組的解的個數(shù)確定位置關(guān)系，但要注意在方程組的解不是判別式得出的一個解時不是相切．直線與拋物線的交點(diǎn)問題，一般采取設(shè)而不求思想，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入其他條件求解．22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線的交點(diǎn)為，.（1）若，求；（2）設(shè)點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）3；（2）.【分析】（1）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，再利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求解；（2）求出即得解.【詳解】（1）由曲線的極坐標(biāo)方程得，化為直角坐標(biāo)方程為，即.將直線的參數(shù)方程代入其中，得.當(dāng)時，上述方程即，解得，，所以.（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，所以，其中，當(dāng)時取等號，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線參數(shù)方程的幾何意義：（1）直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是這樣的：如果點(diǎn)在定點(diǎn)的上方，則點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)就表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離,即.如果點(diǎn)在定點(diǎn)