《統(tǒng)計(jì)實(shí)用技術(shù)與實(shí)訓(xùn)》第十一章

《統(tǒng)計(jì)實(shí)用技術(shù)與實(shí)訓(xùn)》胡寶珅教授主編第十一章相關(guān)與回歸分析【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過本章學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)理解現(xiàn)象及之間存在的相關(guān)關(guān)系；掌握簡單線性相關(guān)分析、一元線性回歸分析的理論與方法；把握相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別；能夠依據(jù)實(shí)際資料具體運(yùn)用簡單線性相關(guān)與一元線性回歸方法進(jìn)行分析和預(yù)測?！景咐龑?dǎo)入】記錄1029例眼晶狀混濁度與患者的年齡如表11-1所示。表11-1晶狀體混濁程度與年齡的關(guān)系（眼數(shù)）晶狀體混濁程度年齡（歲）20-2930-3940以上合計(jì)+215131148494++67101128296+++4463132239合計(jì)3262954081029上述資料表明眼晶狀體混濁度與年齡之間存在著一定的關(guān)系。用怎樣的統(tǒng)計(jì)方法研究兩者之間的關(guān)系是本章要研究的問題。啟發(fā)思考（1）從總體上說，眼晶狀體混濁度與年齡之間有關(guān)系嗎？應(yīng)該是什么關(guān)系？（2）20～29歲的人群，眼晶狀體混濁度是什么規(guī)律？30～39歲的人群呈現(xiàn)什么規(guī)律？40歲以上的人群呈現(xiàn)什么規(guī)律？這三個(gè)人群中所呈現(xiàn)的規(guī)律相同嗎？（3）眼晶狀體混濁度為+者，與不同的年齡段有關(guān)嗎？混濁度為++者，與年齡呈現(xiàn)什么關(guān)系？混濁度為+++者，與年齡呈現(xiàn)什么關(guān)系？（4）為什么在研究眼晶狀體混濁度與年齡之間的關(guān)系時(shí)，要把人群分成不同的年齡段呢？【案例導(dǎo)入】2012年初，北京市智華有限公司決定逐步實(shí)行管理會計(jì)，以加強(qiáng)對企業(yè)內(nèi)部管理，實(shí)現(xiàn)最佳經(jīng)濟(jì)效益。財(cái)務(wù)主管李經(jīng)理要求負(fù)責(zé)成本核算的會計(jì)小王對公司經(jīng)營進(jìn)行成本性態(tài)分析。于是，小王整理了2011年有關(guān)的成本資料，對各種成本分別用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行成本性態(tài)分析。小王在分析公司生產(chǎn)費(fèi)用時(shí)，認(rèn)為生產(chǎn)費(fèi)用是混合成本，它與產(chǎn)量有很密切的關(guān)系，可以采用相關(guān)回歸分析法對其進(jìn)行分解。小王整理出了2011年5月至12月的生產(chǎn)費(fèi)用和產(chǎn)量的資料，如表11.2所示?！景咐龑?dǎo)入】2012年初，北京市智華有限公司決定逐步實(shí)行管理會計(jì)，以加強(qiáng)對企業(yè)內(nèi)部管理，實(shí)現(xiàn)最佳經(jīng)濟(jì)效益。財(cái)務(wù)主管李經(jīng)理要求負(fù)責(zé)成本核算的會計(jì)小王對公司經(jīng)營進(jìn)行成本性態(tài)分析。于是，小王整理了2011年有關(guān)的成本資料，對各種成本分別用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行成本性態(tài)分析。小王在分析公司生產(chǎn)費(fèi)用時(shí)，認(rèn)為生產(chǎn)費(fèi)用是混合成本，它與產(chǎn)量有很密切的關(guān)系，可以采用相關(guān)回歸分析法對其進(jìn)行分解。小王整理出了2011年5月至12月的生產(chǎn)費(fèi)用和產(chǎn)量的資料，如表11.2所示。表11.2

2011年5—12月生產(chǎn)費(fèi)用與月產(chǎn)量有關(guān)數(shù)據(jù)小王通過分析得出本企業(yè)的生產(chǎn)費(fèi)用與產(chǎn)量具有高度的線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為0.98，并建立了生產(chǎn)費(fèi)用分解模型：據(jù)此模型可以進(jìn)一步對其進(jìn)行分析和預(yù)測。啟發(fā)思考（1）小王是如何分析的呢？什么是相關(guān)關(guān)系？（2）判斷高度線性相關(guān)關(guān)系的依據(jù)是什么？模型是如何建立的？（3）通過本章的學(xué)習(xí)，您也會與小王一樣，能夠?qū)ΜF(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行深入分析和研究嗎？第一節(jié)相關(guān)與回歸分析概述一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系（一）函數(shù)關(guān)系。是指現(xiàn)象之間在數(shù)量上存在的嚴(yán)格的對應(yīng)關(guān)系。（二）相關(guān)關(guān)系。是指現(xiàn)象之間在數(shù)量上存在的非確定性的依存關(guān)系。請思考：請指出一下各項(xiàng)哪些屬于函數(shù)關(guān)系。（1）物體的體積隨著溫度的升高而膨脹，隨著壓力的加大而收縮。（2）家庭收入增多，其消費(fèi)支出也有增長的趨勢。（3）物價(jià)上漲，商品的需求量下降。（4）農(nóng)作物的收獲量和雨量、氣溫、施肥量有著密切的關(guān)系（5）圓的半徑越大，其面積也越大。二、相關(guān)分析法與回歸分析法對相關(guān)現(xiàn)象進(jìn)行分析的方法，可分為相關(guān)分析和回歸分析兩種方法。1.相關(guān)分析法。就是對相關(guān)現(xiàn)象進(jìn)行相關(guān)性質(zhì)和相關(guān)密切程度分析的方法。如分析產(chǎn)量與利潤之間是否有關(guān)系、關(guān)系是否密切等。2.回歸分析法。就是對相關(guān)現(xiàn)象之間的規(guī)律性進(jìn)行分析的方法。確切地說，回歸分析法就是通過對相關(guān)現(xiàn)象的實(shí)際觀察值，采用數(shù)學(xué)方法回歸為直線或曲線形式的方程，以反映現(xiàn)象之間的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律的一種分析方法。三、相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)系(一)相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。只有現(xiàn)象之間具有較為密切的相關(guān)關(guān)系，才有進(jìn)行回歸分析的必要，用回歸分析所獲得的結(jié)論才有實(shí)際意義。（二）相關(guān)關(guān)系決定回歸分析現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系是很復(fù)雜的，它們以不同的方向、不同的程度、不同的形式等相互作用，表現(xiàn)出不同的類型和形態(tài)。但無論現(xiàn)象的相關(guān)類型呈現(xiàn)為何種狀態(tài)，它對回歸分析都是起決定作用的因素。(三)回歸分析是相關(guān)分析的繼續(xù)和深入。2．相關(guān)的性質(zhì)決定回歸系數(shù)。經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的關(guān)系，按其性質(zhì)不同可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。在直線相關(guān)的情況下，正相關(guān)時(shí)回歸系數(shù)為正，負(fù)相關(guān)時(shí)回歸系數(shù)為負(fù)。即在回歸方程Y=a+bx中，b為回歸系數(shù)。正相關(guān)時(shí)，b＞0；負(fù)相關(guān)時(shí)，b＜0。3．現(xiàn)象相關(guān)的密切程度決定回歸預(yù)測的準(zhǔn)確程度。按現(xiàn)象相關(guān)的密切程度可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)。其中完全相關(guān)即函數(shù)關(guān)系，不完全相關(guān)即前面說的“相關(guān)關(guān)系”，不相關(guān)即現(xiàn)象之間沒有關(guān)系。BACK1．相關(guān)的類型決定回歸的類型。直線相關(guān)示意圖曲線相關(guān)示意圖第二節(jié)相關(guān)分析常用方法對現(xiàn)象進(jìn)行相關(guān)分析的常用方法有相關(guān)表分析法、相關(guān)圖分析法和相關(guān)系數(shù)分析法。一、相關(guān)表分析法對兩種現(xiàn)象作相關(guān)分析時(shí)，將一系列的成對觀察值排列在統(tǒng)計(jì)表中，就形成了相關(guān)表。某作物耕作深度與單產(chǎn)相關(guān)表按耕作深度分組〔cm〕單產(chǎn)〔t/hm2〕810121416186.07.57.89.110.812.0從相關(guān)表中可以看出，耕作深度與單產(chǎn)之間存在著正相關(guān)的關(guān)系。二、相關(guān)圖分析法相關(guān)圖又稱散點(diǎn)圖或散布圖，它是利用直角坐標(biāo)，將變量值用相對應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)描繪出來，從坐標(biāo)點(diǎn)的分布狀況觀察變量之間的相互關(guān)系的圖形。耕作深度與單產(chǎn)的關(guān)系可繪成相關(guān)圖三、相關(guān)系數(shù)分析法相關(guān)系數(shù)，是判斷兩種現(xiàn)象在直線相關(guān)條件下相關(guān)密切程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。（一）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式r＝r表示相關(guān)系數(shù)，－1＜r＜1；x表示自變量，y表示因變量。（二）相關(guān)關(guān)系密切程度的判斷。0.3以下0.3－0.50.5－0.80.8－1相關(guān)程度不相關(guān)低度相關(guān)顯著相關(guān)高度相關(guān)（三）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算。一般通過編制“相關(guān)系數(shù)計(jì)算表”來輔助計(jì)算。案例下面表中的觀察資料計(jì)算10個(gè)企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價(jià)值與工業(yè)增加值之間的相關(guān)系數(shù)。

相關(guān)系數(shù)計(jì)算表單位：百萬元序號固定資產(chǎn)價(jià)值X工業(yè)增加值YX2Y2XY1234567891034566889101214162528303236424547916253636646481100144196256625748900102412961764202522094264125168180256288378450564合計(jì)71315575110792515r==0.973計(jì)算結(jié)果表明生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價(jià)值和工業(yè)增加值之間存在高度的正相關(guān)關(guān)系。通過以上的計(jì)算與分析過程，我們看到，統(tǒng)計(jì)所研究現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系，應(yīng)該是真實(shí)的、客觀存在的聯(lián)系關(guān)系，而不是主觀臆造，或形式上的偶然巧合。請思考：如果將上例中的自變量和因變量互換位置，重新計(jì)算相關(guān)系數(shù)，你能得出什么結(jié)論？第三節(jié)回歸分析與回歸預(yù)測一、靜態(tài)直線回歸及預(yù)測只有當(dāng)兩種現(xiàn)象之間呈現(xiàn)為直線相關(guān)時(shí)，才能運(yùn)用直線回歸法進(jìn)行直線回歸。直線回歸，也叫線性回歸。它又有靜態(tài)回歸和動態(tài)回歸之分。靜態(tài)直線回歸，即沒有時(shí)間變量的線性回歸。靜態(tài)直線回歸法的一般程序?yàn)椋海ㄒ唬┐_定自變量和因變量。自變量一般用x來表示，因變量一般用y來表示。（二）整理資料。至少應(yīng)有五對以上的資料，否則保證不了回歸的質(zhì)量，也必然影響預(yù)測。（三）判斷相關(guān)性質(zhì)及密切程度。主要看是直線相關(guān)還是曲線相關(guān)，以及相關(guān)的密切程度如何。（四）確定回歸模型。直線相關(guān)時(shí)只能選擇直線回歸模型，曲線相關(guān)時(shí)就只能選擇曲線回歸模型。（五）求參數(shù)a、b。其方法是利用“最小二乘法”對下式求極小值：S=Σ(y-)2=Σ[y-(a+bx)]2=Σ(y-a-bx)2解得a、b的通用公式

（六）確定直線回歸方程。將a、b值代入y=a+bx中即可。如上例當(dāng)a＝3.6和b＝3.93時(shí)，直線回歸方程為：＝3.6＋3.93x（七）直線回歸預(yù)測。二、動態(tài)直線回歸及預(yù)測動態(tài)直線回歸法的一般程序?yàn)椋?.確定自變量和因變量。自變量一般用x來表示，因變量一般用y來表示。但作為動態(tài)回歸，x只能是表示時(shí)間的變量。2.整理資料。至少應(yīng)有五個(gè)時(shí)期以上的資料，否則就保證不了回歸的質(zhì)量，也必然影響預(yù)測3.判斷相關(guān)關(guān)系及密切程度。這里的相關(guān)關(guān)系是指某種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象與時(shí)間因素之間的相關(guān)關(guān)系，即看隨著時(shí)間的變化該種現(xiàn)象是否有上升或下降的趨勢?？捎孟嚓P(guān)圖的方法進(jìn)行判斷。4.確定回歸模型。直線相關(guān)時(shí)只能選擇直線回歸模型，曲線相關(guān)時(shí)就只能選擇曲線回歸模型。（五）求參數(shù)a、b。其方法仍是利用a、b的通用公式進(jìn)行計(jì)算。（六）確定回歸方程。（七）進(jìn)行預(yù)測。年份利稅額(萬元)yxx2xy①②③④⑤199819992000200120022003200420052006851802302402602852953304001234567891491625364964818536069096013001710206026403600Σ23054528513410案例某企業(yè)1998～2006年的利稅額如表代入公式得：b＝(9*13410-45*2305)/（9*285-452）＝31.42a＝(2305－31.42×45)/9＝99.01＝99.01+31.42x（x＝1時(shí)為1998年）對2007年進(jìn)行預(yù)測。即當(dāng)x＝10時(shí)的回歸值＝99.01+31.42x＝99.01+31.42×10＝413.21

(萬元)它表明根據(jù)近年來的發(fā)展規(guī)律可以預(yù)測出該企業(yè)2007年利稅額應(yīng)在413.21萬元左右。這里需要注意的是：預(yù)測的時(shí)期不可往后推得太遠(yuǎn)，否則其預(yù)測值是不可靠的。計(jì)算器的運(yùn)用用計(jì)算器計(jì)算相關(guān)系數(shù)r、回歸系數(shù)a、b和預(yù)測值y0，應(yīng)是計(jì)算工具中的首選。案例以表上題為例，其操作過程為：1．MODE3

1即進(jìn)入回歸狀態(tài)和線性回歸狀態(tài)。2．SHIFTScl=即清空存儲器。3．錄入資料（注意x值在前，y值在后）：1SHIFT；85DT

2SHIFT；180DT

3SHIFT；230DT

4SHIFT；240DT

5SHIFT；260DT

6SHIFT；285DT7SHIFT；295DT8SHIFT；330DT9SHIFT；400DT

4．取值：取相關(guān)系數(shù)r的值：SHIFTr=

(即得r=0.9579)取直線回歸的截距a的值：SHIFTA=

(即得a=99.01)取直線回歸的斜率b的值：SHIFTB=

(即得b=31.42)取由x預(yù)測y的值：10SHIFT

(即當(dāng)x=10時(shí)，預(yù)測值=413.21)補(bǔ)充：計(jì)算工具在相關(guān)與回歸中的運(yùn)用一、Excel計(jì)算相關(guān)系數(shù)使用的函數(shù)名稱：CORREL（一）輸入形式。其輸入形式：＝CORREL（array1，array2）↙即r＝CORREL（X值的范圍，Y值的范圍）↙其中：array1為第一個(gè)變量X的觀察值（或數(shù)組），array2為第二個(gè)變量Y的觀察值（或數(shù)組）。例如：某項(xiàng)試驗(yàn)中有關(guān)X與Y的試驗(yàn)數(shù)據(jù)見圖11－5中的數(shù)據(jù)。第四節(jié)Excel在相關(guān)與回歸中的運(yùn)用若用輸入形式計(jì)算相關(guān)系數(shù)，則輸入：＝CORREL（A2：A11，B2：B11）↙回車后其結(jié)果為：0.976464（見上圖中的單元格B12；注意：用輸入形式計(jì)算時(shí)，沒有上圖中的對話框）。當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0.976464時(shí)，按表12－2的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷，X與Y的關(guān)系應(yīng)為“高度相關(guān)”。（二）導(dǎo)入形式。仍如圖11－5中的資料，要求計(jì)算其相關(guān)系數(shù)。則操作過程如下：先確定存放相關(guān)系數(shù)的位置（如放在B12的位置；為了過后也能知道B12的數(shù)字是相關(guān)系數(shù)，可在A12中輸入“相關(guān)系數(shù)：”作為其提示）；導(dǎo)入函數(shù)；點(diǎn)確定后會出現(xiàn)一個(gè)函數(shù)參數(shù)對話框；先在Array1后導(dǎo)入X的數(shù)據(jù)（A2至A11）；再在Array2后導(dǎo)入Y的數(shù)據(jù)（B2至B11）；再點(diǎn)確定即可。此時(shí)，B12的位置會出現(xiàn)0.976464，即相關(guān)系數(shù)為0.976464。二、Excel在回歸分析中的應(yīng)用直線回歸，即數(shù)學(xué)模型為y＝a+bx的回歸。其中a、b為待定參數(shù)。（一）求截距a。使用的函數(shù)名稱為：INTERCEPT1、輸入形式。輸入形式為：＝INTERCEPT（known-y，s，known-x，s）↙即a＝INTERCEPT（y值的范圍，x值的范圍）2、導(dǎo)入形式。仍如下圖中的資料，若對其求a，則操作過程如下：先確定存放回歸截距的位置（如放在B13的位置；導(dǎo)入函數(shù)；點(diǎn)確定后會出現(xiàn)一個(gè)函數(shù)參數(shù)對話框（見下圖）；先在known-y，s導(dǎo)入Y的數(shù)據(jù)（B2至B11）；再在known-x，s后導(dǎo)入X的數(shù)據(jù)（A2至A11）；再點(diǎn)確定即可。此時(shí)，B13的位置會出現(xiàn)82.5656，即回歸截距為82.5656。（二）求斜率b。使用的函數(shù)名稱：SLOPE1、輸入形式。其輸入形式為：＝SLOPE（known-y，s，known-x，s）↙即b＝SLOPE（y值的范圍，x值的范圍）如：對于圖中的資料，其輸入形式為：＝SLOPE（B2：B11，A2：A11）↙回車后，其取值應(yīng)為：1.355348，如圖中的單元格B14。它表明，對于該資料來說，其直線回歸的斜率為1.355348。2、導(dǎo)入形式。其操作與a的導(dǎo)入基本相同，只是把導(dǎo)入函數(shù)的名稱換為SLOPE即可。（三）求預(yù)測值Y0。使用的函數(shù)名稱：FORECAST1、輸入形式。其輸入形式為：＝FORECAST（X0，known-y，s，known-x，s）↙即Y0＝FORECAST（給定的X值，y值的范圍，X值的范圍）仍如圖12－6中的資料。若當(dāng)X＝85時(shí)，預(yù)測Y值應(yīng)為多少？其輸入形式為：＝FORECAST（85，B2：B11，A2：A11）↙可得預(yù)測值為：197.7702（見圖12－6中的B15單元格）。2、導(dǎo)入形式。方法與上基本相同技能實(shí)訓(xùn)【技能目標(biāo)】能夠正確運(yùn)用相關(guān)系數(shù)法進(jìn)行相關(guān)分析，能夠根據(jù)不同的統(tǒng)計(jì)資料正確選擇回歸模型。會設(shè)計(jì)相關(guān)分析計(jì)算表和回歸分析計(jì)算表。熟練掌握相關(guān)圖分析法進(jìn)行相關(guān)分析，能熟練掌握直線回歸及預(yù)測的方法。一、相關(guān)分析法（一）對收入與儲蓄進(jìn)行相關(guān)分析1．實(shí)訓(xùn)材料。銀行為了了解居民每年收入與儲蓄的關(guān)系，以便制訂發(fā)展存款業(yè)務(wù)計(jì)劃，對月收入在500～2000元的100個(gè)居民進(jìn)行了調(diào)查。設(shè)月收入為x（元），儲蓄金額為y（元），經(jīng)初步整理與計(jì)算，得到如下結(jié)果：Σx＝998Σy＝1450Σxy＝12354Σx2＝11832Σy2＝252432．實(shí)訓(xùn)要求。確定居民每年收入與儲蓄的關(guān)系，并解釋兩者相關(guān)的密切程度。（二）對考試成績的相關(guān)分析1．實(shí)訓(xùn)材料。為研究數(shù)學(xué)考試成績與統(tǒng)計(jì)考試成績之間的關(guān)系，現(xiàn)從某學(xué)校中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行調(diào)查，所得結(jié)果見表11.7。2．實(shí)訓(xùn)要求1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)繪制相關(guān)圖，判斷數(shù)學(xué)考試成績與統(tǒng)計(jì)考試成績之間的相關(guān)形態(tài)。2）計(jì)算數(shù)學(xué)考試成績與統(tǒng)計(jì)考試成績之間的相關(guān)系數(shù)，并對相關(guān)程度進(jìn)行說明。二、靜態(tài)直線回歸分析法（一）對收入與儲蓄進(jìn)行回歸分析1．實(shí)訓(xùn)材料。某商業(yè)銀行為了解該市居民每月收入與儲蓄的關(guān)系，對月收入在500～2000元的100戶居民進(jìn)行了調(diào)查。設(shè)每戶月收入（元）為x，儲蓄金額（元）為y，調(diào)查數(shù)據(jù)經(jīng)初步整理結(jié)果如下：∑x＝1239∑y＝879∑xy＝11430∑x2＝173222．實(shí)訓(xùn)要求。對收入和儲蓄進(jìn)行回歸分析，并解釋回歸系數(shù)b的實(shí)際含義。（二）對廣告支出和銷售收入的回歸分析1．實(shí)訓(xùn)材料。根據(jù)2008年對某種洗發(fā)產(chǎn)品在8個(gè)地區(qū)的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見表11.9。2．實(shí)訓(xùn)要求1）測定廣告支出與銷售收入之間的相關(guān)程度。2）試建立該種洗發(fā)產(chǎn)品的銷售收入和廣告支出的線性回歸方程。3）利用回歸方程預(yù)測當(dāng)月平均廣告支出為12萬元時(shí)，月平均銷售收入會達(dá)到多少萬元？（三）對人均收入與商品銷售額的回歸分析1．實(shí)訓(xùn)材料。根據(jù)某地區(qū)歷年人均收入（元）與商品銷售額（萬元）資料，計(jì)算出有關(guān)數(shù)據(jù)如下（x代表人均收入，y代表銷售額）：n＝9∑x＝546∑y＝260∑x2＝34362∑xy＝169182．實(shí)訓(xùn)要求1）建立以商品銷售額為因變量的直線回歸方程，并解釋回歸系數(shù)b的含義。2）若2010年人均收入為5

400元，試推算該年商品銷售額。（四）對產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用的回歸分析1．實(shí)訓(xùn)材料。某企業(yè)某種產(chǎn)品產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用資料見表11.10。2．實(shí)訓(xùn)要求1）根據(jù)資料繪制產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用的散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷生產(chǎn)費(fèi)用與產(chǎn)量之間的相關(guān)關(guān)系類型。2）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，對月產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用相關(guān)關(guān)系的密切程度作出判