2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考經(jīng)典幾何題講義系列：截長補(bǔ)短

中考經(jīng)典幾何題講義系列：截長補(bǔ)短有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或“差”及其比例關(guān)系。這一類題目一般可以采取“截長”或“補(bǔ)短”的方法來進(jìn)行求解。所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已知線段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關(guān)系。所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長至與另一個(gè)已知的較短的長度相等。然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系。有的是采取截長補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解。截長法：（1）過某一點(diǎn)作長邊的垂線（2）在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相補(bǔ)短法（1）延長短邊。（2）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。幾種截長補(bǔ)短解題法類型我們大致可把截長補(bǔ)短分為下面幾種類型；類型①a±b=c類型②a±b=kc類型③a±bc類型④c?=a-b對(duì)于類型①，可采取直接截長或補(bǔ)短，繞后進(jìn)行證明?；蛘呋癁轭愋廷谧C明。對(duì)于②，可以將a土b與c構(gòu)建在一個(gè)三角形中，然后證明這個(gè)三角形為特殊三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個(gè)角為30°的直角三角形等。對(duì)于類型③，一般將截長或補(bǔ)短后的a土b與c構(gòu)建在一個(gè)三角形中，與類型②相同。實(shí)際上是求類型②中的k值。對(duì)于類型④，將c2=a^b化為-=b的形式，然后通過相似三角形的比例關(guān)系進(jìn)ac行證明。在證明相似三角形的過程中，可能會(huì)用到截長或補(bǔ)短的方法。例：

在正方形ABCD中，DE=DF,DG±CE,交在正方形ABCD中，DE=DF,DG±CE,交CA于G,GH±AF,交CE延長線于H,請(qǐng)問三條粗線DG,GH,CH的數(shù)量關(guān)系交AD于P,方法一（好想不好證）方法二（好證不好想）例題不詳解。（第2頁題目答案見第3、4頁）(1)正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，/EAF=45o。求證：EF=DE+BF(1)變形a正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD延長線上，點(diǎn)F在BC延長線上，/EAF=45。。請(qǐng)問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？(1)變形b正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長線上，點(diǎn)F在CB延長線上，/EAF=45。。請(qǐng)問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？(1)變形c

。請(qǐng)問正三角形ABC中，E在AB上，F(xiàn)在AC上/EDF=45。。DB=DC,/BDC=120o現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關(guān)系？。請(qǐng)問(1)變形dADj3正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，/EAD=15o，/FAB=30o求AAEFADj3(1)解：(簡單思路)F(1)解：(簡單思路)FE延長CD到點(diǎn)G，使得DG二BF，連接AG。由四邊形ABCD是正方形得/ADG=/ABF=90。AD=AB又DG=BF所以AADG=AABF(SAS)ZGAD=ZFABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得ZDAB=90。=ZDAF+ZFAB=ZDAF+ZGAD=ZGAF所以/GAE=ZGAF-ZEAF二90。-45。=45。ZGAE=ZFAE=45。又AG=AFAE=AE所以AEAGsAEAF(SAS)EF=GE=GD+DE=BF+DE變形a解：（簡單思路）EF=BF-DE在BC上截取BG,使得BG=DF,連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ZADE=ZABG=90oAD=AB又DE=BG所以AADE=AABG(SAS)ZEAD=ZGABAE=AG由四邊形ABCD是正方形得ZDAB=90o=ZDAG+ZGAB=ZDAG+ZEAD=ZGAE所以/GAF=/GAE-/EAF=90。-45o=45o/GAF=/EAF=45o又AG=AEAF=AF所以AEAF二AGAF（SAS）EF=GF=BF-BG=BF-DE變形b解：（簡單思路）EF=DE-BF在DC上截取DG，使得DG二BF，連接AG。由四邊形ABCD是正方形得/ADG=/ABF=90。AD=AB又DG=BF所以AADG二AABF（SAS）/GAD=/FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得/DAB=90o=/DAG+/GAB=/BAF+/GAB=/GAF所以/GAE=/GAF-/EAF=90o-45o=45o/GAE=/FAE=45o又AG=AFAE=AE所以AEAG蘭AEAF（SAS）EF=EG=ED-GD=DE-BF變形c解：（簡單思路）EF=BE+FC延長AC到點(diǎn)G,使得CG二BE,連接DG。由AABC是正三角形得/ABC=/ACB=60o又DB=DC，/BDC=120o所以/DBC=/DCB=30o/DBE=/ABC+/DBC=60。+30。=90。/ACD=/ACB+/DCB=60。+30。=90。所以/GCD=180o-/ACD=90o/DBE=/DCG=90o又DB=DC，BE=CG所以ADBE=ADCG（SAS）/EDB=/GDCDE=DG又/DBC=120o=/EDB+/EDC=/GDC+/EDC=/EDG所以/GDF=/EDG-/EDF=120o-60o=60o/GDF=/EDF=60o又DG=DEDF=DF

所以AGDF=AEDF(SAS)EF=GF=CG+FC=BE+FC變形d解：（簡單思路）延長CD到點(diǎn)G,使得DG二BF,連接AG。過E作EH±AG.前面如(1)所證，AADG=AABF，AEAG=AEAF/GAD=/FAB=30。，SAEAG=SAEAF在RtAADG中，4aD=30o，AD=,34gD=60o，AG=2設(shè)EH=x在RtAEGH中和RtAEHA中4gD=60o，4aE=45oHG=Jx，AH=x3AG=2=HG+AH=Jx+x,EH=x=3-33SAEAF=SAEAG=EHxAG+2=3-..3.(2)(第5(2)(第5頁題目答案見第6頁)正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于。，點(diǎn)E在BD上，AE平分/DAC。求證：AC/2=AD-EO（2）加強(qiáng)版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延長線上，CM=AN,點(diǎn)E在BD上，NE平分/DNM。請(qǐng)問MN、AD、EF有什么數(shù)量關(guān)系？（2）解：（簡單思路）過E作EG±AD于G因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形/ADC=900，8口平分/ADC，AC±BD所以/ADB=/ADC/2=45o因?yàn)锳￡平分/DAC，EO±AC，EG±AD所以/EAO=/EAG，/DGE=/AOE=/AGE=90o又AE=AE，所以AAEO=AAEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又/ADB=45o，/DGE=90o所以ADGE為等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2(2)加強(qiáng)版解：(簡單思路)MN/2=AD-EF過E作EG_LAD于G,作EQ_LAB于Q,過B做BP_LMN于P按照(2)的解法，可求證，AGNE^AFNE(AAS)ADGE為等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，ZABC=ZGAQ=ZBCM=90oBD平分/ABC,BC=BAZABD=ZABC/2=45，,又/EQB=90。AEQB為等腰Rt三角形，/BEQ=45。因?yàn)?GAQ=ZEGA=ZEQA=90。所以四邊形AGEQ為矩形，EQ=AG=AD-EF,EQ//AGZQEN=ZENG又NENG=NENF,所以/QEN=/ENF由BOBA,/BCM=/BAN=90。，CM=AN,所以ABCM=ABAN(SAS)BM=BN,ZCBM=ZABNZABC=90。=ZABM+ZCBM=ZABM+ZABN=ZMBN,又BM=BN所以AMBN為等腰Rt三角形，又BP_L斜邊MN于P,所以ANPB為等腰Rt三角形。BP=MN/2,/PNB=45。ZBNE=ZENF+ZPNBZBEN=ZQEN+ZQEB又ZQEN=ZENF,ZPNB=ZQEB=45。所以/BNE=/BENBN=BE,又ZPNB=ZQEB=45。=ZNBP=ZEBQ所以ABEQ=ABNP(SAS)EQ=BP因?yàn)镋Q二AG=AD-EF,BP=MN/2所以AD-EF=MN/2O經(jīng)典練習(xí)題（一）1、如圖，在。O中，C是AB的中點(diǎn)，直線CDXAB于點(diǎn)E,AB=BE,PB、PA組成的。O的一條折弦，C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CDXPA于點(diǎn)E,則AE=PE+PB,請(qǐng)證明你的結(jié)論。分析：本題要證明AE=PE+PB,可以將AE分為兩段，使其中一段長度等于PE,然后另一段長度關(guān)于PB。反之亦。證明4AHC2ABPC。然后再證明PB=PE,那么AE=PE+PB。證明：在AE上截取AH=PB,連接AC、CH、BC、CP。:C是AB的中點(diǎn)，AC=BC???AC=BC，NA=NB???，NA=NB???在ACAH與ACBP中CCA=CB 2<ZA=ZBIAH=BP.??ACAH^ACBP(SAS)???CH=CP;CE±HP.??PE=EH???AE=PE+PB2、如圖，。O為AABC的外接圓，弦CP平分△ABC的外角/BCQ.NACB=120°,求BC^ac的值。pc分析：要求BC—AC的值，可用截長的方法來做，即可在AB上截取BE=AC,pc

使4PBE2APAC。即可求出BC-AC的值。PC解：連接PA、PB,在BC上截取BE,使BE=AC,連接PE。VZQCP+ZPCA=180°XVZPCA+ZPBA=120°.??NQCP=NPBA:PB=PB???NPCB=NPAB丈：(QCP=NPBA???NPBA=NPAB???PA=PB,PB=PA在APBE與APAC中{PB=PAZPBC=ZQAPBE=AC.APBE2APAC(SAS)???PC=PE???NPEC=NBCP=30°??CE=<3PC.BC-AC=*；3PC\3、如圖，。O為AABC的外接圓，弦CP平分△ABC的外角/ACQ.NACB=90°,求證：①PA=PB②AC-BC=<2PC分析：要證明AC-BC=,.：2PC,可使用截長的方法，即在AC上截取AH=BC,HC=AC-BC,然后將HC與PC構(gòu)建一個(gè)等腰直角三角形，且HC為斜Q邊，PC為直角邊。通過求解4APH2ACBP。即可證明AC—BC=<l2PC。證明：連接PA、PB,在AC上截取AH=BC。CP平分/ACQ,NACQ=90°??NPCA=NQCP=45°?,四邊形APCB為圓的內(nèi)接四邊形??NPAB+NPCB=180°=NPCQ=NPCB??PA=PB??PA=PB:PC=PC??NCBP=NPAC在△APH與ACBP中「AH=CB<ZCBP=ZPAC、AP=BP/.△APH^^CBP??PH=PC:NPCH=45°又,:△PHC為等腰直角三角形??AC—AH=AC—CB=HC=<2PC??AC—BC=<2PC4、如圖，。0為AABC的外接圓，弦CD平分NACB,NACB=120°,求CA+CB鉆 的值。CD分析：要求上士坦，我們的思路是將CB延長至并與CD構(gòu)建在一個(gè)三角形內(nèi)，CD然后解三角形并證明延長線與CA相等。我們將CB延長至H，作CH二CA+CB,然后將CH和CD構(gòu)建在一個(gè)三角形內(nèi)，即過點(diǎn)D作/CDH=60°延長CB,交DH于點(diǎn)H,即可證ACAD2△HBD,再可求出CA.CBCD的值。解：過點(diǎn)D作NCDH=60°延長CB,交DH于點(diǎn)H,連接AD、BD,

:NADB=CDH=60°，NBDH=NADCVZDCH=60°=NH=NACD，DH=DC在ACAD與△HBD中/ZH=ZACDDDH=DC、ZBDH=ZAPCAACAD^AHBD(ASA)CA+CBCD二1，CA=BH，CB+BACA+CBCD二15、如圖，P是等邊AABC外接圓BC上任意一點(diǎn)，求證：PA=PB+PC。分析：要證明PA=PB+PC,可用截長的方法，即在PA上截取AG二CP,然后證明PG=BP即可。證明：在AP上截取AG二CP:△ABC為等邊三角形??AB=BC「BP=BP??NBAG=NPCB在4ABG與4CBP中AAG=CPZBAG=ZPCB、AB=BC/.△ABG^^CBP(SAS)???BP=BG,NABG二NPBC??NGBP=60°,BP=PG???PA=PB+PC

6、如圖，RTAABC中，AD為斜邊BC的高，P為AD的中點(diǎn)，BP交AC于N,NM±BC于M。求證：MN2=AN-NC。ANMN分析：要證明MN2=AN-NC,可將此式化為MN=NC，然后利用相似三角ANMN形的比例關(guān)系進(jìn)行求解。證明：延長BA、MN，交于點(diǎn)E。「△ABC是等腰直角三角形??NEAN=NMNC=90°：NANE=NMNCTOC\o"1-5"\h\z??NC=NE [??△AEMs^MNC ;W??AD〃MN ，「桐??NCNM=NCAD :二」NCMN=NCDA 打 打??NC=NC??△CNMs^CAD.MN=NC?弁MN.MN2=AN-NC7、如圖，AABC內(nèi)接于。O,AB是。O的直徑，CD平分/ACB交。O于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)尸，弦AE±CD于H,連接CE、OH。求證：OH^AC。證明：延長CB交AE的延長線于點(diǎn)M。分析：要證明OH,AC,可用補(bǔ)短的方法，即延長CB、AE,交于點(diǎn)M,即可證OH〃AC。即可證明證明：延長CB交AE的延長線于點(diǎn)M。VAB為。O的直徑??NACM=90°:AM^CD,且CD平分/ACB??AH=HM,OA=OBVOH是AACE的中位線AOH#CM又VNACM=90°AOH±AC

8、以4ABC的邊AB為直徑作。O,。0與BC邊的交點(diǎn)D恰好為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DELAC于E,DE為。O的切線。求DE的值。DC分析：要求DE的值，可用補(bǔ)短的方法，即延長BA,過C作CMXBA的延長DC線交于點(diǎn)M,即可求出DE的值。DC解：延長DA至M,作CMXBM于M。,?,點(diǎn)D為BC中點(diǎn)??AD平分/BAC??NDAE=60°,AD=AD??DE=\A[D2-AE2=^3ADO與D分別為AB、BC的中點(diǎn)??AC=AB=2ADNCAM=180°—120°=60°??AC=2AD?.CM=-223AC=<3AD?.AM=1AC=AD2??OC=弋OM2+CM2=J7AD.DE=與AD=V21^~DC2AAD~T~9、如圖，直徑AB、CD互相垂直，點(diǎn)M是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM、MC、MB、MD。求證：MD2求證：MD2-MC2MAMB為定值。分析：要證明MMAMC為定值，可用補(bǔ)短的方法，即延長MD，過A作AQLAM,BHLMB,交AD的延長線于H。

解：連接BC、AC、AD,作BH±MB交AD的延長線于H。CD為。O的直徑AACBD.ACAD為等腰直角三角形??NCBD=NMBH=90°??NCBM=NDBHTOC\o"1-5"\h\zZBDH+ZMPB=ZMCB+ZMDC=180° vA??NBDH=ZMCB .';Ss?.CB=DB //\??在AMCB與中 1 力rZCBM=ZDBHCB=DBkZBDH=ZMCBAAMCB^ABDH??DH=MC??BM=BH??AMBH為等腰直角三角??MH=MD+DH=MD+MC=<2MB同理可得：MD—MC=v2MA?MD2—MC2—(MD+MC)2&MA<2MB_02MAMBMAMBMAMB,MD2-MC2=2 .MA.MB . .經(jīng)典練習(xí)題（二）1.正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF,則NEAF的度數(shù)為多少A 0解題思路：延長EB至點(diǎn)G,使得BG=DF,連接AG,可證明：△ABG^AADF(SAS),.\ZDAF=ZBAG,AF=AG，又7EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AEMAEG"AEF(SSS).\ZEAG=ZEAF,VZDAF+ZEAF+ZBAE=90°AZEAG+ZEAF=90°,AZEAF=45°O2.如圖，在△ABC中，AB=AC,NABC=40°,BD是NABC的平分線，延長BD至E,是DE=AD,則NECA的度數(shù)為多少解題思路：在BC上截取BF=AB,連DF,則有△ABD^AFBD,，DF=DA=DE,又???NACB=NABC=40° , NDFC=180°-NA=80° , .\ZFDC=60° ,VZEDC=ZADB=180°-ZABD-ZA=180°-20°-100°=60°, .'△DCESDCF,故NECA=NDCB=40°.3.已知：AC平分NBAD,CE±AB,NB+ND=180