新教材高中數學第一章空間向量與立體幾何加練課1空間向量的運算及其應用學案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE8加練課1空間向量的運算及其應用學習目標1.掌握空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.3.掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直.自主檢測·必備知識見學用14頁一、概念辨析，判斷正誤1.空間中任意兩個非零向量a，b共面.(√)2.若a，b，c是空間的一組基底，則a，b，c中至多有一個零向量.(×)3.若對于非零向量b，有a?b=二、夯實基礎，自我檢測4.已知a=(1，-32，52)A.23B.92C.-答案：B解析：因為a∥b，所以a=tb，又所以1=-3t，-32=tλ解得t=-13，5.已知a=(1，0，1)，b=(x，1，2)，且a?b=3A.5?π6B.2?π3答案：D解析：$\because\$a?b=x+2=3，∴cos?a,b?=a?b6.已知a=(2，3，1)，b=(-4，2，x)，且a⊥答案：2解析：由題意知a?b=2×(-4)+3×2+1?x=0，$\therefore\$x=2，∴|b7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點答案：5解析：在正方體中得DO=因為DO=xDA+yDC+zDD1，所以互動探究·關鍵能力學用15頁見探究點一空間向量的線性運算精講精練例在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設AB=a，AD（1）用向量a，b，c表示D1B，（2）若D1F=xa+yb+zc，求實數x，y答案：（1）D1EF（2）D1F=解題感悟用基向量表示指定向量的步驟（1）結合已知向量和所求向量觀察圖形．（2）將已知向量和所求向量轉化到三角形或平行四邊形中．（3）利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．遷移應用1.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點．用AB，答案：1∵OC∴2.（2020山東濰坊高二期中）在空間四邊形OABC中,若E,F分別是AB,BC的中點，H是EF上一點，且EH=13EF，記答案：(解析：如圖，因為EH=13EF，所以，OH=所以(x,y,z)=(1探究點二空間向量的數量積及其應用精講精練類型1數量積的運算例1（1）已知在三棱錐A-BCD中，底面BCD為等邊三角形，AB=AC=AD=3，BC=23，點E為CD的中點，點F為BE的中點.若點M、N是空間中的兩動點，且MBMF=NBNFA.3B.4C.6D.8（2）已知三點A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當QA?QB取得最小值時，答案：（1）B（2）(解析：（1）建立空間直角坐標系如圖所示，因為AB=AC=AD=3，底面BCD為等邊三角形，且BC=23，所以OD=2，AO=5.則B(-3,-1,0)，D(0,2,0)，C(3,-1,0)，點E為CD的中點，所以E(32,12,0).點F為BE的中點，所以F(-34,-14,0),設（2）由點Q在直線OP上可得存在實數λ使得OQ=λOP，則有所以QA=(1-λ,2-λ,3-2λ)，QB所以QA?QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根據二次函數的性質可得當λ=43類型2數量積的應用例2（1）已知向量a=(1,0,-1)，b=(-1,2,1)，且ka+bA.35B.45C.6（2）如圖，棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AAA.255C.45答案：（1）D（2）A解析：（1）∵向量a=(1,0,-1)，b=(-1,2,1)，∴ka+b=(k-1,2,-k+1)，∴(k-1)×5+2×(-6)+(-k+1)×(-5)=0，解得k=11（2）以D為原點,DA，DC，DD1的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系（圖略）,依題意有M(2,0,1)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，設P(2,a,b)，則MC=(-2,2,-1)，D1P=(2,a,b-2)，因為MC⊥D1P，所以(-2,2,-1)?(2,a,b-2)=-4+2a-b+2=0，解得12×|BC|×|PB解題感悟數量積的計算有兩種形式,一是利用數量積的定義,注意準確地確定兩個向量的夾角；二是數量積的坐標運算,在幾何圖形中建立恰當的空間直角坐標系后,可把數量積的運算坐標化,使垂直、平行、夾角等問題更易求解.遷移應用1.若向量a=(1,λ,1)，b=(2,-1,-2)，且a與b夾角的余弦值為26A.-2B.2C.-2或2D.2答案：A解析：由題意可知|a|=2+λ2∴cos?a,b2.已知|a|=32，|b|=4，m=a+b，答案：-解析：由m⊥n，得(所以18+(λ+1)×32×4×cos?135探究點三空間向量的應用精講精練例如圖所示,已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M,N分別是AB,CD的中點.（1）求證：MN⊥（2）求|MN（3）求向量AN與MC的夾角的余弦值.答案：設AB=p，AC=由題意可知,|p|=|q|=|r（1）證明：MN=∴MN∴（2）由（1）可知MN=∴∣MN∴|MN（3）設向量AN與MC的夾角為θ.AN=12∴又∵|AN∴AN∴∴向量AN與MC的夾角的余弦值為23解題感悟利用數量積解決問題的兩條途徑：一是根據數量積的定義,利用模與夾角直接計算；二是利用坐標運算.可解決有關垂直、夾角、長度的問題.遷移應用1.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，答案：證明以A為原點，AB,AD,AA1所在的直線分別為x軸，y軸，設BE=x，因為BE=CF，所以CF=x.因為正方體ABCD-A1B所以B1(a,0,a)，D1(0,a,a)，所以B1所以B1所以B1評價檢測·素養(yǎng)提升見學用16頁課堂檢測1.向量a=(1,2,x)，b=(y,2,-1)，若|a|=5A.-1B.1C.-4D.4答案：C2.在空間直角坐標系中，已知A(1,2,3)，B(-2,-1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，則AB與CD()A.垂直B.平行C.異面D.不能判斷答案：B3.如圖，在空間四邊形ABCD中，AB?A.-1B.1C.0D.不確定答案：C素養(yǎng)演練邏輯推理——應用空間向量解決共面問題1.已知A,B,C三點不共線，對平面ABC外的任意一點O，若點M滿足OM=（1）判斷MA?（2）判斷點M是否在平面ABC內.解析：審：已知點M滿足OM=13(OA+OB聯：利用空間向量的運算消去O，利用共面向量定理判定MA,MB,MC三個向量是否共面，進而