2022-2023學(xué)年福建省泉州實驗中學(xué)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年福建省泉州實驗中學(xué)九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（只有一個正確答案，本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，則cosA的值等于（）A． B． C． D．2．若正多邊形的中心角為72°，則該正多邊形的邊數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．53．下列說法中不正確的是（）A．想了解某種飲料中含色素的情況，宜抽樣調(diào)查 B．“煮熟的鴨子飛了”是一個不可能事件 C．“打開電視，正在播放《新聞聯(lián)播》”是隨機事件 D．一組數(shù)據(jù)6，7，8，9，10的方差是34．函數(shù)y＝kx2﹣4x+4的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠05．如圖：在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，若四邊形BCED的面積是3cm2，則△ADE的面積是（）A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm26．五名同學(xué)捐款數(shù)分別是5，3，6，5，10（單位：元），捐10元的同學(xué)后來又追加了10元．追加后的5個數(shù)據(jù)與之前的5個數(shù)據(jù)相比，集中趨勢相同的是（）A．只有平均數(shù) B．只有中位數(shù) C．只有眾數(shù) D．中位數(shù)和眾數(shù)7．如圖，⊙O的半徑為10，若OP＝8，則經(jīng)過點P的弦長可能是（）A．10 B．6 C．19 D．228．如圖，半徑為5的⊙A中，弦BC，ED所對的圓心角分別是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，則弦BC的長等于（）A．8 B．10 C．11 D．129．已知A（3，n）、B（m，n+1）是拋物線y＝ax2+4ax+c（a＜0）上兩點，則m的值不可能是（）A．2 B．0 C．﹣6 D．﹣910．如圖：已知點A（﹣8，0），B（2，0），點C在直線y＝﹣x+2上，則使△ABC是直角三角形的點C的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2﹣3圖象的頂點坐標(biāo)為．12．若圓錐的底面半徑為3，母線長為4，則這個圓錐的側(cè)面積是．13．一條上山直道的坡度為1：7，沿這條直道上山，每前進100米所上升的高度為米．14．如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過A（0，4），B（4，4），C（6，2）三個網(wǎng)格點，已知點D為x軸正半軸上的一點，若直線CD與該圓弧相切，則點D的坐標(biāo)為．15．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)（﹣1，0），點B的坐標(biāo)（4，0）．已知：拋物線y＝x2﹣2x+n與線段AB有唯一公共點，則n可以?。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）．①n＝1；②n＝2；③n≤﹣8；④﹣8≤n＜﹣3；⑤﹣8≤n≤﹣316．如圖：⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點P為優(yōu)弧上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，（1）求∠C的度數(shù)是．（2）求△ABC的最大面積是．三．解答題（本大題共9小題，共86分）17．計算：．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+4x﹣3與x軸交于A、B兩點，點B的坐標(biāo)為（3，0），點P是拋物線上第一象限內(nèi)的一點，直線BP與y軸交于點C．（1）求a的值．（2）當(dāng)點P是線段BC的中點時，求點P的坐標(biāo)．（3）連接AP，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，△ABP的面積為S．當(dāng)1＜m＜時，直接寫出S的取值范圍．19．如圖：現(xiàn)有一架長4m的梯子AB斜靠在墻面上，要想使人安全地攀上梯子的頂端，梯子與地面所成的角α一般要滿足50°≤α≤75°．（1）當(dāng)梯子與地面夾角為60°時，求這架梯子底端A與墻角C的距離；（2）若將梯子底端沿CA方向滑動1m到點A′處，此時能否安全使用這架梯子？如果能，請說明理由．如果不能，也請說明理由．20．作圖題：如圖：在矩形ABCD中，已知AD＝10，AB＝6，（1）用直尺和圓規(guī)在AD上找一點E，使EC平分∠BED，（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求△CDE內(nèi)切圓半徑r的值．21．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，連接AC交⊙O于點D，E為上一點，連接AE、BE，BE交AC于點F，且∠AFE＝∠EAB．（1）試說明E為的中點；（2）若點E到弦AD的距離為1，cos∠C＝，求AD的值．22．如今很多初中生喜歡購買飲品飲用，既影響身體健康又給家庭增加不必要的開銷，為此某班數(shù)學(xué)興趣小組對本班同學(xué)一天飲用飲品的情況進行了調(diào)查，大致可分為四種：A．白開水，B．瓶裝礦泉水，C．碳酸飲料，D．非碳酸飲料．根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制如下兩個統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題（1）這個班級有多少名同學(xué)？并補全條形統(tǒng)計圖；（2）若該班同學(xué)每人每天只飲用一種飲品（每種僅限一瓶，價格如下表），則該班同學(xué)每天用于飲品的人均花費是多少元？飲品名稱白開水瓶裝礦泉水碳酸飲料非碳酸飲料平均價格（元/瓶）0234（3）為了養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣，班主任決定在飲用白開水的5名班委干部（其中有兩位班長記為A，B，其余三位記為C，D，E）中隨機抽取2名班委干部作良好習(xí)慣監(jiān)督員，請用列表法或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到2名班長的概率．23．已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB邊上一點，連接CD，E是CD上一點，且∠AED＝45°．（1）如圖1，若AE＝DE，求證BD＝AD；（2）如圖2，連接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．24．已知：四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，BD、AC相交于點E，AB＝AC．（1）如圖1，求證：2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）如圖2，過點C作CF⊥AB于點F，交BD于點G，當(dāng)∠DBC＝45°時，求證：CE＝CG；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AO并延長交BD于點H，當(dāng)AE＝CE＝3時，求CD的長．25．已知拋物線的頂點為A，點M（m，n）為第三象限拋物線上的一點，過M點作直線MB，MC交拋物線于B，C兩點（點B在點C的左側(cè)），MC交y軸于D點，連接BC．（1）當(dāng)B，C兩點在x軸上，且△ABC為等腰直角三角形時，求c的值；（2）當(dāng)BC經(jīng)過O點，MC經(jīng)過OA的中點D，且OC＝2OB時，設(shè)直線BM交y軸于E點，求證：M為BE的中點；（3）若△MBC的內(nèi)心在直線x＝m上，設(shè)BC的中點為N，直線l1經(jīng)過N點且垂直于x軸，直線l2經(jīng)過M，A兩點，記l1與l2的交點為P，求證P點在一條新拋物線上，并求這條拋物線的解析式．

參考答案一．選擇題（只有一個正確答案，本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，則cosA的值等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)余弦的定義，角的鄰邊與斜邊的比值，就可以求出．解：cosA＝＝＝．故選：A．【點評】本題主要考查對三角函數(shù)的定義的記憶．2．若正多邊形的中心角為72°，則該正多邊形的邊數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】根據(jù)正多邊形的中心角＝，求出n即可．解：由題意，＝72°，∴n＝5，故選：D．【點評】本題考查正多邊形的中心角知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．3．下列說法中不正確的是（）A．想了解某種飲料中含色素的情況，宜抽樣調(diào)查 B．“煮熟的鴨子飛了”是一個不可能事件 C．“打開電視，正在播放《新聞聯(lián)播》”是隨機事件 D．一組數(shù)據(jù)6，7，8，9，10的方差是3【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小、方差公式判斷即可．解：A、想了解某種飲料中含色素的情況，宜抽樣調(diào)查，本選項說法正確，不符合題意；B、“煮熟的鴨子飛了”是一個不可能事件，本選項說法正確，不符合題意；C、“打開電視，正在播放《新聞聯(lián)播》”是隨機事件，本選項說法正確，不符合題意；D、數(shù)據(jù)6，7，8，9，10的平均數(shù)＝（6+7+8+9+10）＝6，方差S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，本選項說法不正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．4．函數(shù)y＝kx2﹣4x+4的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠0【分析】分為兩種情況：①當(dāng)k≠0時，求出Δ＝b2﹣4ac＝﹣16k+16≥0的解集即可；②當(dāng)k＝0時，得到一次函數(shù)y＝﹣4x+4，與x軸有交點；即可得到答案解：①當(dāng)k≠0時，kx2﹣4x+4＝0，Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k×4＝﹣16k+16≥0，k≤1；②當(dāng)k＝0時，y＝﹣4x+4，與x軸有交點．綜上所述，k的取值范圍是k≤1．故選：C．【點評】本題主要考查對拋物線與x軸的交點，根的判別式，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能進行分類求出每種情況的k是解此題的關(guān)鍵．5．如圖：在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，若四邊形BCED的面積是3cm2，則△ADE的面積是（）A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2【分析】由于D、E是AB、AC的中點，因此DE是△ABC的中位線，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比為1：2；根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出△ADE的面積．解：∵點D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，AD＝AB，AE＝AC，即＝＝＝，∴△ADE∽△ABC，相似比為，故S△ADE：S△ABC＝1：4，即四邊形BCED的面積＝S△ABC＝3cm2，∴S△ABC＝4cm2，∴△ADE的面積＝1cm2．故選：A．【點評】本題主要考查對相似三角形性質(zhì)及三角形的中位線定理的理解．6．五名同學(xué)捐款數(shù)分別是5，3，6，5，10（單位：元），捐10元的同學(xué)后來又追加了10元．追加后的5個數(shù)據(jù)與之前的5個數(shù)據(jù)相比，集中趨勢相同的是（）A．只有平均數(shù) B．只有中位數(shù) C．只有眾數(shù) D．中位數(shù)和眾數(shù)【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念做出判斷即可．解：根據(jù)題意知，追加前5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，眾數(shù)是5，追加后5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，眾數(shù)為5，∵數(shù)據(jù)追加后平均數(shù)會變大，∴集中趨勢相同的只有中位數(shù)和眾數(shù)，故選：D．【點評】本題主要考查平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的知識，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的基本概念是解題的關(guān)鍵．7．如圖，⊙O的半徑為10，若OP＝8，則經(jīng)過點P的弦長可能是（）A．10 B．6 C．19 D．22【分析】過點P作弦CE⊥OP，連接OC，根據(jù)勾股定理求出CP，根據(jù)垂徑定理求出CE，判斷即可．解：過點P作弦CE⊥OP，連接OC，由勾股定理得，CP＝＝6，則CE＝2CP＝12，∴過點P的最短的弦長為12，∵⊙O的半徑為10，∴⊙O的直徑為20，即過點P的最長的弦長為20，∴12＜點P的弦長＜20，故選：C．【點評】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．8．如圖，半徑為5的⊙A中，弦BC，ED所對的圓心角分別是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，則弦BC的長等于（）A．8 B．10 C．11 D．12【分析】作直徑CF，連接BF，先利用等角的補角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根據(jù)同圓中，相等的圓心角所對的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，繼而求得答案．解：作直徑CF，連接BF，如圖，則∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∴BC＝＝8．解法二：如圖，過點A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．∵AM⊥BC，AN⊥DE，∴CM＝MB，DN＝NE＝3，∵AC＝AB＝AD＝AE，∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，∴∠CAM+∠DAN＝90°，∵∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠ACM＝∠DAN，∵∠AMC＝∠AND＝90°，∴△AMC≌△DNA（AAS），∴AM＝DN＝3，∴CM＝＝＝4，∴BC＝2CM＝8．故選：A．【點評】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理．注意掌握輔助線的作法．9．已知A（3，n）、B（m，n+1）是拋物線y＝ax2+4ax+c（a＜0）上兩點，則m的值不可能是（）A．2 B．0 C．﹣6 D．﹣9【分析】求得拋物線的對稱軸，開口向下，在對稱軸左邊函數(shù)y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊函數(shù)y隨x的增大而增大，即可判斷．解：∵y＝ax2+4ax+c（a＜0）的對稱軸為x＝﹣＝﹣2，開口向下，∴在對稱軸的右邊函數(shù)y隨x的增大而減小，∵3＞﹣2，∴﹣2＜m＜3，∵A（3，n）關(guān)于對稱軸的對稱點為（﹣7，n），在對稱軸的左邊函數(shù)y隨x的增大而增大，∴﹣7＜m＜﹣2，故m不可能為﹣9，故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，判斷函數(shù)的增減性；利用拋物線上點的橫坐標(biāo)大小比較縱坐標(biāo)的大?。?0．如圖：已知點A（﹣8，0），B（2，0），點C在直線y＝﹣x+2上，則使△ABC是直角三角形的點C的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)∠A為直角，∠B為直角與∠C為直角三種情況進行分析．解：如圖，①當(dāng)∠A為直角時，過點A作垂線與直線的交點W（﹣6，4），②當(dāng)∠B為直角時，過點B作垂線與直線的交點S（2，），③若∠C為直角，則點C在以線段AB為直徑、AB中點E（﹣2，0）為圓心、4為半徑的圓與直線的交點上．在直線中，當(dāng)x＝0時y＝2，即Q（0，2），當(dāng)y＝0時x＝6，即點P（6，0），則PQ＝＝4，過AB中點E（﹣2，0），作EF⊥直線l于點F，則∠EFP＝∠QOP＝90°，∵∠EPF＝∠QPO，∴△EFP∽△QOP，∴＝，即＝，解得：EF＝4，∴以線段AB為直徑、E（﹣2，0）為圓心的圓與直線恰好有一個交點．所以直線上有一點C滿足∠ACB＝90°．綜上所述，使△ABC是直角三角形的點C的個數(shù)為3，故選：C．【點評】本題考查的是一次函數(shù)綜合題，在解答此題時要分三種情況進行討論，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理判斷∠C為直角的情況是否存在．二．填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2﹣3圖象的頂點坐標(biāo)為（1，﹣3）．【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式求解．解：∵二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，﹣3），故答案為：（1，﹣3）．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標(biāo)是（h，k），對稱軸是直線x＝h，此題考查了學(xué)生的應(yīng)用能力．12．若圓錐的底面半徑為3，母線長為4，則這個圓錐的側(cè)面積是12π．【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．解：圓錐的側(cè)面積＝2π×3×4÷2＝12π．故答案為：12π．【點評】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是弄清圓錐的側(cè)面積的計算方法，特別是圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面扇形的弧長．13．一條上山直道的坡度為1：7，沿這條直道上山，每前進100米所上升的高度為10米．【分析】設(shè)上升的高度為x米，根據(jù)坡度的概念得到水平距離為7x米，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．解：設(shè)上升的高度為x米，∵上山直道的坡度為1：7，∴水平距離為7x米，由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），故答案為：10．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．14．如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過A（0，4），B（4，4），C（6，2）三個網(wǎng)格點，已知點D為x軸正半軸上的一點，若直線CD與該圓弧相切，則點D的坐標(biāo)為（7，0）．【分析】由A、B、C三點坐標(biāo)可先確定出圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo)，設(shè)D（x，0），則可表示出MC、DC和MD的長，由勾股定理可得到關(guān)于x的方程，可求得D點坐標(biāo)．解：設(shè)圓弧所在圓的圓心為M，作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，則圓心M（2，0），設(shè)D（x，0），由題意可知MD2＝（x﹣2）2，MC2＝（6﹣2）2+（2﹣0）2＝20，CD2＝（x﹣6）2+22＝x2﹣12x+40，∵CD與圓相切，∴MC⊥CD，∴MC2+DC2＝MD2，即20+x2﹣12x+40＝（x﹣2）2，解得x＝7，∴D（7，0），故答案為：（7，0）．【點評】本題主要考查垂徑定理和切線的性質(zhì)，利用點的坐標(biāo)確定出圓心坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．15．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)（﹣1，0），點B的坐標(biāo)（4，0）．已知：拋物線y＝x2﹣2x+n與線段AB有唯一公共點，則n可以?、佗埽▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）．①n＝1；②n＝2；③n≤﹣8；④﹣8≤n＜﹣3；⑤﹣8≤n≤﹣3【分析】當(dāng)該拋物線與線段AB有公共點時，與x軸的交點分別介于A，B之間，于是得到結(jié)論．解：二次函數(shù)關(guān)于直線x＝1對稱，x軸上的（﹣1，0）和（3，0）關(guān)于對稱軸對稱．要滿足一個交點的話，這個交點的橫坐標(biāo)只能3＜x≤4．由題意：，解得﹣8≤n＜﹣3．若二次函數(shù)的頂點在AB上時，Δ＝4﹣4n＝0，∴n＝1，故答案為：①④．【點評】本題考查了函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用圖象與x軸的交點在線段AB上得出不等式組是解題關(guān)鍵．16．如圖：⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點P為優(yōu)弧上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，（1）求∠C的度數(shù)是60°．（2）求△ABC的最大面積是．【分析】（1）連接OA、OB，如圖1，由OA＝OB＝AB＝1可判斷△OAB為等邊三角形，則∠AOB＝60°，根據(jù)圓周角定理得∠APB＝∠AOB＝30°，由于AC⊥AP，所以∠C＝60°；（2）因為AB＝1，則要使△ABC的最大面積，點C到AB的距離要最大；由∠ACB＝60°，可根據(jù)圓周角定理判斷點C在⊙D上，且∠ADB＝120°，如圖2，于是當(dāng)點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，從而得到△ABC的最大面積．解：（1）連接OA、OB，作△ABC的外接圓D，如圖1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°；（2）∵AB＝1，要使△ABC的最大面積，則點C到AB的距離最大，∵∠ACB＝60°，點C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如圖2，當(dāng)點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為AB2＝，∴△ABC的最大面積為．故答案為：．【點評】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和等邊三角形的判斷與性質(zhì)；記住等邊三角形的面積公式．三．解答題（本大題共9小題，共86分）17．計算：．【分析】分別進行絕對值、零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算，然后代入特殊角的三角函數(shù)值，最后合并即可．解：原式＝﹣1+﹣1+＝﹣1．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握各部分的運算法則．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+4x﹣3與x軸交于A、B兩點，點B的坐標(biāo)為（3，0），點P是拋物線上第一象限內(nèi)的一點，直線BP與y軸交于點C．（1）求a的值．（2）當(dāng)點P是線段BC的中點時，求點P的坐標(biāo)．（3）連接AP，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，△ABP的面積為S．當(dāng)1＜m＜時，直接寫出S的取值范圍．【分析】（1）把B（3，0）代入y＝ax2+4x﹣3，列方程求a的值；（2）過點P作PD⊥x軸于點D，則PD∥CO，由平行線分線段成比例定理求出點D的坐標(biāo)，即得到點P的橫坐標(biāo)，再由二次函數(shù)的關(guān)系式求出點P的縱坐標(biāo)；（3）過點P作PD⊥x軸于點D，用含m的代數(shù)式表示點P的坐標(biāo)，由二次函數(shù)的關(guān)系式可以求出點A、B的坐標(biāo)及線段AB的長，將△ABP的面積即S用含m的代數(shù)表示即得到S關(guān)于m的二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的取值范圍．解：（1）把B（3，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得9a+12﹣3＝0，解得a＝﹣1．（2）如圖1，過點P作PD⊥x軸于點D，∵CO⊥OB，∴PD∥CO．∴．∵P是BC的中點，∴＝1，∴＝1，∴OD＝BD＝OB＝．∴D（，0），∴點P的橫坐標(biāo)為；由（1）得，拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x﹣3，當(dāng)x＝時，，∴點P的坐標(biāo)為（）．（3）如圖3，作PD⊥x軸于點D，則P（m，﹣m2+4m﹣3），當(dāng)y＝0時，由﹣x2+4x﹣3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴AB＝3﹣1＝2；∵點P在第一象限的拋物線上，PD＝﹣m2+4m﹣3，∵S＝S△ABP＝AB?PD，∴S＝×2（﹣m2+4m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3，∵S＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，且1＜m＜，∴當(dāng)m＝2時，S最大＝1，若m＝1，則S＝0，∴S的取值范圍是0＜S≤1．【點評】此題重點考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式、平行線分線段成比例定理、解一元二次方程等知識與方法，解第（3）題的關(guān)鍵是過點P作x軸的垂線，將點P的縱坐標(biāo)用二次函數(shù)的關(guān)系式來表示，從而得出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的取值范圍．19．如圖：現(xiàn)有一架長4m的梯子AB斜靠在墻面上，要想使人安全地攀上梯子的頂端，梯子與地面所成的角α一般要滿足50°≤α≤75°．（1）當(dāng)梯子與地面夾角為60°時，求這架梯子底端A與墻角C的距離；（2）若將梯子底端沿CA方向滑動1m到點A′處，此時能否安全使用這架梯子？如果能，請說明理由．如果不能，也請說明理由．【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系求出AC的長即可；（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出α的余弦值，進而得出α度數(shù)，即可得出答案．解：（1）∵∠BAC＝60°，∠C＝90°，AB＝4m，∴cos∠BAC＝，∴AC＝AB?cos60°＝4×＝2（m），即這架梯子底端A與墻角C的距離為2m；（2）不能夠安全地使用這個梯子，理由：根據(jù)題意得：A'C＝1m+2m＝3m，即梯子的底端距離墻面3m，∴cosα＝＝0.75，∴∠α≈41°，∵梯子與地面所成的角α一般要滿足50°≤α≤75°．∴此時不能夠安全地使用這個梯子．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．20．作圖題：如圖：在矩形ABCD中，已知AD＝10，AB＝6，（1）用直尺和圓規(guī)在AD上找一點E，使EC平分∠BED，（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求△CDE內(nèi)切圓半徑r的值．【分析】（1）以B為圓心，BC長為半徑畫弧交AD于點E即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AE，CE的長，然后利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)列式計算即可．解：（1）如圖，以B為圓心，BC長為半徑畫弧交AD于點E，點E即為所求；（2）由（1）可得：BC＝BE＝AD＝10，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝8，∴DE＝10﹣8＝2，在△CDE中，∠D＝90°，CD＝AB＝6，DE＝2，∴CE＝＝2，∵△CDE內(nèi)切圓半徑為r，∴2﹣r+6﹣r＝2，∴r＝4﹣．【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了矩形的性質(zhì)．21．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，連接AC交⊙O于點D，E為上一點，連接AE、BE，BE交AC于點F，且∠AFE＝∠EAB．（1）試說明E為的中點；（2）若點E到弦AD的距離為1，cos∠C＝，求AD的值．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠AEB＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠ABE＝∠EAD，＝，證明結(jié)論；（2）連接OE交AD于H，根據(jù)垂徑定理得到AH＝DH＝AD，根據(jù)余弦的定義求出OA、OH，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°，∠AFE+∠EAD＝90°，∵∠AFE＝∠EAB，∴∠ABE＝∠EAD，∴＝，∴點E是的中點；（2）解：如圖，連接OE交AD于H，∵點E是的中點，∴OH⊥AD，∴AH＝DH＝AD，∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC＝90°，∴∠AOH＝∠C，∴cos∠AOH＝＝，設(shè)⊙O的半徑為x，則OH＝x﹣1，∴＝，解得：x＝，∴OH＝﹣1＝，∴AH＝＝＝2，∴AD＝2AH＝4．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．22．如今很多初中生喜歡購買飲品飲用，既影響身體健康又給家庭增加不必要的開銷，為此某班數(shù)學(xué)興趣小組對本班同學(xué)一天飲用飲品的情況進行了調(diào)查，大致可分為四種：A．白開水，B．瓶裝礦泉水，C．碳酸飲料，D．非碳酸飲料．根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制如下兩個統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題（1）這個班級有多少名同學(xué)？并補全條形統(tǒng)計圖；（2）若該班同學(xué)每人每天只飲用一種飲品（每種僅限一瓶，價格如下表），則該班同學(xué)每天用于飲品的人均花費是多少元？飲品名稱白開水瓶裝礦泉水碳酸飲料非碳酸飲料平均價格（元/瓶）0234（3）為了養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣，班主任決定在飲用白開水的5名班委干部（其中有兩位班長記為A，B，其余三位記為C，D，E）中隨機抽取2名班委干部作良好習(xí)慣監(jiān)督員，請用列表法或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到2名班長的概率．【分析】（1）由B飲品的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，再根據(jù)各飲品的人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出C的人數(shù)即可補全圖形；（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義計算可得；（3）畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果，再根據(jù)概率公式計算可得．解：（1）這個班級的學(xué)生人數(shù)為15÷30%＝50（人），選擇C飲品的人數(shù)為50﹣（10+15+5）＝20（人），補全圖形如下：（2）＝2.2（元），答：該班同學(xué)每天用于飲品的人均花費是2.2元；（3）畫樹狀圖如下：由樹狀圖知共有20種等可能結(jié)果，其中恰好抽到2名班長的有2種結(jié)果，所以恰好抽到2名班長的概率為＝．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．23．已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB邊上一點，連接CD，E是CD上一點，且∠AED＝45°．（1）如圖1，若AE＝DE，求證BD＝AD；（2）如圖2，連接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．【分析】（1）證明∠ACD＝∠CAE＝22.5°，如圖1中，過點D作DT⊥BC于T．證明DA＝DT，BD＝DT即可解決問題；（2）如圖2中，連接BE，過點C作CT⊥AT交AE的延長線于T．證明△ABE≌△CAT（AAS）可得結(jié)論．解：（1）∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∴CD平分∠ACB，如圖1中，過點D作DT⊥BC于T．∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，∴DA＝DT，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，∴BD＝DT＝AD；（2）如圖2中，連接BE，過點C作CT⊥AT交AE的延長線于T．∵AE⊥BE，CT⊥AT，∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAT，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，BE＝AT，∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，∴ET＝CT＝AE，∴BE＝2AE，∴tan∠ABE＝＝．【點評】本題考查解直角三角形，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．24．已知：四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，BD、AC相交于點E，AB＝AC．（1）如圖1，求證：2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）如圖2，過點C作CF⊥AB于點F，交BD于點G，當(dāng)∠DBC＝45°時，求證：CE＝CG；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AO并延長交BD于點H，當(dāng)AE＝CE＝3時，求CD的長．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，將2∠ADB+∠CDB轉(zhuǎn)化為△ABC的內(nèi)角和即可；（2）過點C作CN⊥DB交BD于點N，交⊙O于點M，利用ASA證明△CEN≌△CGN，從而證明結(jié)論；（3）連接AP，OE，CH，延長AO交BC于Q，過O作OM⊥AB于M，先證AQ⊥BC，再證EH＝GH，在DE上取EP＝EH，則四邊形APCH為?APCH，求得PE＝HE＝3，由△CDE∽△BAE，即可求得CD的值．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠ADC＝∠CDB+∠ADB，∴∠ADC+∠ABC＝∠CDB+∠ADB+∠ADB＝∠CDB+2∠ADB＝180°，∴2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）證明：過點C作CN⊥DB交BD于點N，交⊙O于點M，∵∠DBC＝45°，∴∠MCB＝180°﹣∠CNB﹣∠DBC＝45°，∴∠MCB＝∠DBC＝45°，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∴∠ACM＝∠DBA，∵∠CNG＝∠GFB，∠NGC＝∠FGB，∴∠NCG＝180°﹣∠CNG﹣∠NGC＝180°﹣∠GFB﹣∠FGB＝∠GBF＝∠ECN，在△CEN與△CGN中，，∴△CEN≌△CGN（ASA），∴CE＝CG；（3）解：如圖，連接AP，OE，CH，延長AO交BC于Q，過O作OM⊥AB于M，∵E為AC的中點，∴OE⊥AC，∵AB＝AC，∴OE＝OM，∴AQ平分∠CAB，∴AQ⊥BC，∵CQ＝BQ，點H在AQ上，∴CH＝BH，∵∠DBC＝45°，∴∠HCB