2020-2021高中數(shù)學(xué)人教版第一冊(cè)學(xué)案：4.1.2 無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修第一冊(cè)學(xué)案：4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)含解析4.1。2無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪aα（a〉0，α是無理數(shù))是__一個(gè)確定的實(shí)數(shù)__。思考1:2eq\r（2)一定是實(shí)數(shù)嗎？提示：根據(jù)無理指數(shù)冪的定理2eq\r（2)是實(shí)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(a>0，b〉0，r，s∈R)（1)aras＝__ar＋s__.(2）（ar）s＝__ars__.(3)(ab）r＝__arbr__.思考2:指數(shù)冪是怎樣從正整數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的？提示：基礎(chǔ)自測(cè)1．下列說法正確的個(gè)數(shù)是(B)（1）無理數(shù)指數(shù)冪有的不是實(shí)數(shù)．(2)指數(shù)冪ax(a>0）中的x只能是有理數(shù)．（3）(3eq\r(2)）eq\r(2)＝9.A．0 B．1C．2 D．3[解析］（1）無理數(shù)指數(shù)冪對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，不正確；(2）指數(shù)冪ax（a>0）中的x是任意實(shí)數(shù),不正確；（3)(3eq\r（2)）eq\r(2）＝3eq\r（2)×eq\r(2)＝32＝9,正確，故選B．2．a(chǎn)eq\s\up4(\f（π，3））aeq\s\up4(\f(π，6））＝__aeq\s\up4（\f(π,2))__.3．（eq\f(n,m））eq\r（3）＝__neq\r（3)m－eq\r（3）__.關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算例1計(jì)算下列各式：(1）(3eq\r（2)eq\r（3,2eq\r(2)))3eq\r(2）；（2)eq\f(aeq\s\up4(\f（π，6)）aeq\s\up4（\f(2π,3)）,aπ)。[解析］(1)原式＝(3eq\r(2）×2eq\f（\r（2）,3））3eq\r（2）＝36×22＝2916.(2）原式＝aeq\s\up4(\f（π，6））＋eq\s\up4（\f（2π,3）)－π＝a－eq\s\up4（\f(π，6））.[歸納提升］關(guān)于無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算（1）底數(shù)相同時(shí)直接對(duì)指數(shù)上的無理數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算．（2)若式子中含有根式,則先化為指數(shù)式再進(jìn)行運(yùn)算,一般指數(shù)中的根式可以保留．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?計(jì)算下列各式：（1）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（πeq\r(3),\r（πeq\r(3)））））2eq\r（3)；（2)(meq\s\up4(\f(π,3)）m－eq\s\up4(\f(π，6)))12。［解析］(1)原式＝(πeq\r(3）－eq\f（\r(3)，2）)2eq\r（3)＝（πeq\f(\r(3)，2））2eq\r(3）＝π3。(2)原式＝(meq\s\up4(\f(π,3))－eq\s\up4(\f(π，6））)12＝(meq\s\up4（\f(π,6)))12＝m2π.題型二指數(shù)冪運(yùn)算的綜合應(yīng)用例2已知aeq\s\up4（\f（1，2)）＋a－eq\s\up4(\f（1,2)）＝3，求下列各式的值．（1）a＋a－1;(2）a2＋a－2;(3）eq\f（aeq\s\up4(\f（3，2））－a－eq\s\up4（\f（3，2)），aeq\s\up4（\f(1,2）)－a－eq\s\up4(\f(1,2））).［分析］利用完全平方差公式求（1）(2），利用立方差公式求(3)．[解析]（1)將aeq\s\up4（\f（1,2））＋a－eq\s\up4(\f(1,2)）＝3兩邊平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.(2)將a＋a－1＝7兩邊平方,有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47。（3）由于aeq\s\up4（\f（3，2））－a－eq\s\up4(\f(3，2)）＝(aeq\s\up4（\f（1,2)））3－(a－eq\s\up4(\f(1,2））)3，所以有eq\f(aeq\s\up4（\f(3,2））－a－eq\s\up4（\f(3,2）)，aeq\s\up4（\f(1，2）)－a－eq\s\up4（\f(1,2)）)＝eq\f(aeq\s\up4(\f(1，2))－a－eq\s\up4（\f(1,2）)a＋a－1＋aeq\s\up4（\f（1，2))·a－eq\s\up4（\f(1，2）),aeq\s\up4(\f（1,2）)－a－eq\s\up4（\f(1,2）））＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.[歸納提升]（1)條件求值是代數(shù)式求值中的常見題型，一般要結(jié)合已知條件先化簡(jiǎn)再求值，另外要特別注意條件的應(yīng)用,如條件中的隱含條件，整體代入等，可以簡(jiǎn)化解題過程．本題若通過aeq\s\up4(\f(1，2））＋a－eq\s\up4（\f(1,2)）＝3解出a的值代入求值，則非常復(fù)雜．（2)解決此類問題的一般步驟是【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知x－y＝6，xy＝16,求eq\f（xeq\s\up4（\f(1，2）)＋yeq\s\up4(\f（1,2)),xeq\s\up4（\f（1，2)）－yeq\s\up4（\f（1,2)）)的值．[解析]∵eq\f（xeq\s\up4(\f（1，2)）＋yeq\s\up4（\f（1，2））,xeq\s\up4(\f（1,2)）－yeq\s\up4（\f（1,2）)）＝eq\f(xeq\s\up4(\f(1，2））＋yeq\s\up4（\f（1,2)）xeq\s\up4(\f（1,2））－yeq\s\up4（\f（1，2）),xeq\s\up4（\f（1，2））－yeq\s\up4（\f(1，2))2）＝eq\f(x－y，x＋y－2xyeq\s\up4（\f(1,2））），又x－y＝6,xy＝16，∴（x＋y)2＝(x－y）2＋4xy＝62＋4×16＝100?！鄕＋y＝10或x＋y＝－10。當(dāng)x＋y＝10時(shí),原式值為eq\f(6,10－2×4）＝3，當(dāng)x＋y＝－10時(shí)，原式值為eq\f（6，－10－2×4)＝－eq\f（1,3).誤區(qū)警示因忽略冪底數(shù)的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤例3化簡(jiǎn)(1－a）[(a－1)－2(－a）eq\s\up4(\f（1,2))]eq\s\up4(\f(1，2））＝__(－a）eq\s\up4(\f(1,4））__。[錯(cuò)解]（1－a）［(a－1)－2·(－a)eq\s\up4(\f（1，2）)]eq\s\up4(\f(1，2））＝(1－a）(a－1)－1·（－a）eq\s\up4(\f(1,4)）＝－（－a）eq\s\up4(\f(1，4))。［錯(cuò)因分析]忽略了題中有(－a）eq\s\up4(\f（1，2)），即相當(dāng)于告知－a≥0，故a≤0，這樣，［(a－1)－2]eq\s\up4（\f（1,2）)≠(a－1）－1。實(shí)際上在解答本類題時(shí)除了靈活運(yùn)用運(yùn)算法則外還要關(guān)注條件中的字母是否有隱含的條件．[正解]由(－a）eq\s\up4（\f（1，2))知－a≥0,故a－1<0.∴（1－a)［（a－1)－2（－a)eq\s\up4(\f(1，2）)]eq\s\up4（\f（1，2）)＝(1－a）（1－a)－1·(－a)eq\s\up4（\f(1,4)）＝(－a)eq\s\up4(\f(1,4)).［方法點(diǎn)撥]在利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，要關(guān)注條件中有無隱含條件，在出現(xiàn)根式時(shí)要注意是否是偶次方根，被開方數(shù)是否符合要求．學(xué)科素養(yǎng)用換元法處理指數(shù)冪中的化簡(jiǎn)與證明問題例4已知pa3＝qb3＝rc3,且eq\f(1，a)＋eq\f(1，b)＋eq\f（1,c）＝1。求證:(pa2＋qb2＋rc2）eq\s\up4（\f（1,3）)＝peq\s\up4（\f(1,3））＋qeq\s\up4（\f（1,3））＋req\s\up4（\f（1，3））.[分析］看見三個(gè)式子連等，立刻想到賦中間變量，通過中間變量去構(gòu)建能用到題干中已知值的式子．[證明］令pa3＝qb3＝rc3＝k,則pa2＝eq\f（k，a)，qb2＝eq\f(k，b)，rc2＝eq\f（k，c);p＝eq\f(k,a3），q＝eq\f(k，b3)，r＝eq\f（k,c3）?！嗨C等式左邊＝(eq\f（k,a）＋eq\f（k,b)＋eq\f(k，c)）eq\s\up4（\f（1,3))＝［k(eq\f(1，a)＋eq\f（1，b）＋eq\f（1，c））]eq\s\up4(\f(1,3)）＝keq\s\up4（\f（1，3）)，所證等式右邊＝（eq\f（k，a3)）eq\s\up4(\f(1,3）)＋(eq\f(k,b3））eq\s\up4(\f(1,3))＋(eq\f(k,c3))eq\s\up4（\f（1,3））＝keq\s\up4(\f（1，3）)(eq\f(1,a)＋eq\f(1，b）＋eq\f（1,c））＝keq\s\up4(\f（1,3）)?！?pa2＋qb2＋rc2）eq\s\up4（\f(1，3))＝peq\s\up4（\f（1,3））＋qeq\s\up4（\f（1，3)）＋req\s\up4(\f(1,3)）.［歸納提升]1.對(duì)于“連等式”，常用換元法處理．如本例,我們可令它等于一個(gè)常數(shù)k,然后以k為媒介化簡(jiǎn)，這樣使問題容易解決．2．換元過程中尤其要注意所代換的新變?cè)姆秶欢ㄅc被替換對(duì)象一致，關(guān)鍵時(shí)候還要檢驗(yàn)．課堂檢測(cè)·固雙基1．下列能正確反映指數(shù)冪的推廣過程的是（A）A．整數(shù)指數(shù)冪→有理數(shù)指數(shù)冪→無理數(shù)指數(shù)冪B．有理數(shù)指數(shù)冪→整數(shù)指數(shù)冪→無理數(shù)指數(shù)冪C．整數(shù)指數(shù)冪→無理數(shù)指數(shù)冪→有理數(shù)指數(shù)冪D．無理數(shù)指數(shù)冪→有理數(shù)指數(shù)冪→整數(shù)指數(shù)冪2．計(jì)算（2eq\r(2））－eq\f（\r（2),2)的結(jié)果是(D）A．eq\r（2） B．－eq\r（2）C．2 D．eq\f(1,2)[解析］（2eq\r(2))－eq\f（\r（2),2）＝2－1＝eq\f(1，2)，故選D．3.eq\r(5，a2)·eq\r（\r（a))＝(A）A．a(chǎn)eq\s\up4(\f(13,20）） B．a(chǎn)eq\s\up4（\f(17，20））C．a(chǎn)eq\s\up4（\f(19,20)） D．a(chǎn)eq\s\up4(\f（7,20))[解析]原式＝aeq\s\up4(\f(2，5））·aeq\s\up4（\f（1，4）)＝aeq\s\up4（\f（