不定積分滴學(xué)習(xí)

不定積分滴學(xué)習(xí)第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日

又如d(secx)=secxtanxdx，所以secx是secxtanx的原函數(shù).定義設(shè)f(x)在某區(qū)間上有定義，如果對(duì)該區(qū)間的任意點(diǎn)x都有F'(x)=f(x)

或

dF(x)=f(x)dx則稱F(x)為

f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).4.1.1原函數(shù)的概念

例如:

，

是函數(shù)在上的原函數(shù).

,sinx是cosx在上的原函數(shù).4.1不定積分的概念與性質(zhì)第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日(2)如果f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是唯一的,且有無窮多個(gè)注:(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在．具體理由將在下一章給出．例如而在上是的原函數(shù)也是它的原函數(shù)即加任意常數(shù)都是的原函數(shù).

(3)若函數(shù)f(x)

在區(qū)間I上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng).此結(jié)論由Lagrange定理推論可證第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日定義2如果函數(shù)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)的全體原函數(shù)F(x)＋C(C為任意常數(shù))稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分.記作其中記號(hào)稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C為積分常數(shù).即2.不定積分的概念第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日例2求解例1求解第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日例3求解第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日3不定積分與微分的關(guān)系微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算.

特別地，有第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日4.1.2不定積分的基本積分公式第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日例4計(jì)算下列積分解第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日例5計(jì)算下列積分解(1)(2)第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日4.1.3不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的前面.性質(zhì)2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即性質(zhì)2兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和(或差)，即第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日例6求解

注

逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意常數(shù)．由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只要寫出一個(gè)任意常數(shù)即可第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日例7求解例8求解第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日例9求解例10求解第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日解例11求第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日例12求解有些積分在基本積分公式中沒有相應(yīng)的類型，但經(jīng)過對(duì)被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù)的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果．如例9－12。第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日

函數(shù)f(x)的原函數(shù)圖形稱為f(x)的積分曲線,不定積分表示的不是一個(gè)原函數(shù),而是無窮多個(gè)(全部)原函數(shù),通常說成一族函數(shù),反映在幾何上則是一族曲線,這族曲線稱為f(x)的積分曲線族.4.1.4.不定積分的幾何意義

在相同的橫坐標(biāo)處,所有積分曲線的斜率均為k,因此,在每一條積分曲線上,以x為橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的切線彼此平行（如圖）.f(x)為積分曲線在(x,f(x))處的切線斜率.第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日

例13設(shè)曲線通過點(diǎn)(2,3),且其上任一點(diǎn)的切線斜率等于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此曲線方程.解設(shè)所求的曲線方程為,依題意可知因此所求曲線的方程為第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日4.2.1第一類換元法例1

原因在于被積函數(shù)cos2x與公式中的被積函數(shù)不一樣.如果令u=2x，則cos2x=cosu，du=2dx，從而所以有？分析4.2換元積分法第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日綜合上述分析，此題的正確解法如下：第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日解第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日定理1證依題意有即有又由復(fù)合函數(shù)微分法可得第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日根據(jù)不定積分的定義，則有

公式(1)稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱第一換元積分法.也稱“湊微分”法

應(yīng)用定理1求不定積分的步驟為

第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日例2求解解例3求第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日例4求解

例5求類似地，有解第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日(1)=(2)(3)(4)(5)此外還可以得到一組積分公式：

第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日4.2.2第二類換元積分法例6求解作變量代換,令,可將無理函數(shù)化為有理函數(shù)的積分,所以有第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日

一般的說，若積分不易計(jì)算可以作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把原積分化為的形式而可能使其容易積分.當(dāng)然在求出原函數(shù)后，還要將代回.還原成x的函數(shù)，這就是第二換元積分法計(jì)算不定積分的基本思想.第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)，且定理2那么應(yīng)用第二類換元法求不定積分的步驟為第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日例7求解第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日例8求解第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日axt第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日例9求解第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日axt第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日例10求解第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日axt第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日

例8—例10中的解題方法稱為三角代換法或三角換元法.

一般的說，應(yīng)用三角換元法作積分時(shí)適用于如下情形：第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日補(bǔ)充的積分公式：第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日由函數(shù)乘積的微分公式移項(xiàng)得對(duì)上式兩端同時(shí)積分，得公式(1)或公式(2)稱為分部積分公式.或4.3分部積分法第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日注意：

使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x擇u和v.選u的法則是:

指多弦多只選多反多對(duì)多不選多指弦同在可任選一旦選中要固定第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日即一般情況下，u與dv按以下規(guī)律選擇第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日例1求解第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日例2求解第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日例3求解第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日例4求解例5求解第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日例6求解第四十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日例7求解第四十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日例8

求解

在計(jì)算積分時(shí),有時(shí)需要同時(shí)使用換元積分法與分部積分法.第五十頁，共五十四頁，2022年，8月28日

把常用的積分公式匯集成表，這種表叫做積分表.積分表是按照被積函數(shù)的類型來排列的.求積分時(shí)，可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過簡單的變形后，在表內(nèi)查得所需的結(jié)果.4.4積分表的使用第五十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日