均值不等式求最值策略學(xué)法指導(dǎo)資料

均值不等式求最值策略陳本平陳同量米新生應(yīng)用平均值不等式求最值時(shí)，要把握平均值不等式成立的三個(gè)條件“一正二定三相等” 。忽略了任何一個(gè)條件，就會(huì)導(dǎo)致解題失敗，若出現(xiàn)問題，又怎樣另辟蹊徑，尋求新方法來求最值呢？本文提出一些思路。.調(diào)整符號(hào)，化負(fù)為正，使之適合“一正”條件，過第一關(guān)TOC\o"1-5"\h\z一一，5 4例1.已知x—,求函數(shù)y4x1 的最值。4 4x5「一， 5解：因?yàn)閤一4所以4x50故54x0TOC\o"1-5"\h\z~， 4所以y4x1 4x54[(54x) 4]4x2..(54x) 44x07 5 人，7 5 人，——不合條件，舍去，故當(dāng)4 4當(dāng)且僅當(dāng)54x ，即x—或x—時(shí)，等號(hào)成立，但4x 4 431x時(shí)，ymax042.拆添配湊，變動(dòng)為定，使之適合“二定”條件，過第二關(guān)利用均值不等式求最值，變形構(gòu)造出“定值”是難點(diǎn)，其方法如下:(1)變形法x2 2/ 7例2.求函數(shù)y (xR)的最小值。x21解：因?yàn)閤R所以x21102田（x1） 1 2d故y 工x1、/1當(dāng)且僅當(dāng)＜x21 3—,即x0時(shí)，ymin 2x1(2)配湊法例3.已知x3,求函數(shù)y2x—8一的最小值。x3解：因?yàn)閤3則有2x60,-8-0x3422422所以y2x-8 2x6-8 6x3 x382(x3)——6x322(x3) 83614x3當(dāng)且僅當(dāng)2(x3) —8一，即x5時(shí)，ymin14x33.分離常數(shù)x23x1例4.當(dāng)x1時(shí)，求y 的最小值。x1解：因?yàn)閤1所以x10所以y--5(x1)5x15(x1)--5x152(x1)x15x2.55當(dāng)且僅當(dāng)(x1)2 5,即x<51取等號(hào)另一解x1 ,5 1(舍去)所以ymin2.55(2)倒數(shù)法- 的最大值。xx113例5.若x- 的最大值。xx113解：因?yàn)閤0TOC\o"1-5"\h\zx2x1 1- x-yx x~, 1所以0y—3故ymax3(5)平方法一一，1 5 例6.已知一x一,求函數(shù)yJ2x1452x的最大值。2解：y22x152x2、(2x—1)(5-2x)42 4x212x5324(x )481212由于y0所以y2&3 15,一，.一一當(dāng)且僅當(dāng)x3[1,5]時(shí)取等號(hào)，所以ymaxmax2 224.化歸轉(zhuǎn)化，尋求相等，過第三關(guān)例7.0,求例7.0,求y(2-)(1x)的最小值。x解:因?yàn)?2x01)(1x)x2x-x32,12x2.2當(dāng)且僅當(dāng)2X,x所以ymin1——v12時(shí)取等號(hào)2點(diǎn)評(píng)：若22,21與1xx分別利用平均值不等式,再相乘求最值，問題出現(xiàn)在:前后取等條件不一例8.已知a,(a-)(ba1，……-)的最小值。b解：因?yàn)閍所以y(aabbR1)(ba1Jab11)bba(abab1)ab1ab)2(4ab— 3.ab)2r(2,4ab一abab23——)22255.“三關(guān)”難過，前進(jìn)受阻,(1)利用代數(shù)、三角換元應(yīng)另辟蹊徑例9.若a,b為正實(shí)數(shù)，且1,求y(11)(1a1、一,一)的取小值。b解：因?yàn)閍,b0,且ab(0,所以可設(shè)asin2,bcos2(0,11則y(1(12sin.2sin)(14

cos2

cos(2..2sin)(1.2sin2cos2coscot2)(2tan22 2 、2(tancot)4.tan2cot2當(dāng)且僅當(dāng)tan2cot2tan21,一時(shí)取等號(hào)，這時(shí)4所以ymin(2)引入?yún)?shù)，巧渡難關(guān)例10.已知x,yR,且1 9一一1,求P=x+y的取小值。解：設(shè)0,由已知有所以Pxyxyx1(x(1x1)01)(y2xx8、.欲取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)16,此時(shí)8yT16所以Pmin 16說明：請(qǐng)讀者用三角換元解此題，可令2cos(3)利用函數(shù)單調(diào)性例11.求yx2_5一x24(x