2018高考數(shù)學(xué)專題一：函數(shù)的性質(zhì)專題【教師原創(chuàng)】

2018高考數(shù)學(xué)專題一：函數(shù)的基本性質(zhì)一、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)圖像的走勢，高考中?？计湟幌伦饔茫罕容^大小，解不等式，求最值。定義：（略）定理1：那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).定理2：（導(dǎo)數(shù)法確定單調(diào)區(qū)間）若，那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).1.函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)(1)作差法(定義法)(2)作商法(3)導(dǎo)數(shù)法2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定對于函數(shù)和，如果函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，當(dāng)時，且函數(shù)在區(qū)間上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性。3.由單調(diào)函數(shù)的四則運算所得到的函數(shù)的單調(diào)性的判斷對于兩個單調(diào)函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：(1)當(dāng)和具有相同的增減性時，①的增減性與相同，②、、的增減性不能確定；(2)當(dāng)和具有相異的增減性時，我們假設(shè)為增函數(shù)，為減函數(shù)，那么：①的增減性不能確定；②、、為增函數(shù)，為減函數(shù)。4.奇偶函數(shù)的單調(diào)性奇函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。二、函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì),對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中,而且利用對稱性往往能夠更簡捷的使問題得到解決,對稱關(guān)系同時還充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。1.函數(shù)的圖象的對稱性（自身）:定理1:函數(shù)的圖象關(guān)于直對稱特殊的有：①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。②函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱（奇函數(shù)）。③函數(shù)是偶函數(shù)關(guān)于對稱。定理2：函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱特殊的有：函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱。函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱（奇函數(shù)）。函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于點對稱。定理3：（性質(zhì)）①若函數(shù)y=f(x)的圖像有兩條鉛直對稱軸x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)為周期函數(shù)且2|a-b|是它的一個周期。②若函數(shù)y=f(x)的圖像有一個對稱中心M(m.n)和一條鉛直對稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個周期。③若函數(shù)y=f(x)圖像同時關(guān)于點A(a,c)和點B(b,c)成中心對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個周期。④若一個函數(shù)的反函數(shù)是它本身,那么它的圖像關(guān)于直線y=x對稱。若是奇函數(shù)，則必有（10）若為偶函數(shù)，則必有若是奇函數(shù)，則必有（11）常見的奇偶函數(shù)三、函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性反映了函數(shù)的重復(fù)性，在試題中它的主要用途是將大值化小，負(fù)值化正，求值。1.周期性的定義對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個值時，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。如果非零常數(shù)是函數(shù)的周期，那么、（）也是函數(shù)的周期。2.函數(shù)的周期性的主要結(jié)論：結(jié)論1：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論2：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論3：如果定義在上的函數(shù)有兩條對稱軸、對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論4：如果偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論5：如果奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論6：如果函數(shù)同時關(guān)于兩點、（）成中心對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論7：如果奇函數(shù)關(guān)于點（）成中心對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論8：如果函數(shù)的圖像關(guān)于點（）成中心對稱，且關(guān)于直線（）成軸對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論9：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論10：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論11：如果，那么是周期函數(shù)，其中一個周期函數(shù)與不等式【考點精要】考點一.一元二次不等式及其應(yīng)用。主要考查一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系。當(dāng)一元二次不等式的解集是或R的情況的等價命題：的解集是R或。考點二.絕對值不等式。。去掉絕對值符號的方法主要有：公式法、分段討論法、平方法、幾何法等?？键c三.二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃。了解線性規(guī)劃的意義，了解線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等知識點?？疾橛镁€性規(guī)劃的方法解決兩種重要的實際問題：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，怎樣運用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務(wù)，怎樣統(tǒng)籌安排能使完成這項任務(wù)耗費的人力、物力等資源最小。考點四.不等式的性質(zhì)。一般不直接命題，往往與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等結(jié)合進(jìn)行考查。如：（2009·湖南1）若，則（）考點五.利用不等式考查函數(shù)的性質(zhì)。如考查函數(shù)的單調(diào)性、周期性、參數(shù)的范圍等。此類題既可以是選擇題、填空題也可以是解答題，考查的范圍比較廣。如：（2010·江蘇11）已知函數(shù)，則滿足不等式的取值范圍是?？键c六.利用函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題解不等式。此類問題多出現(xiàn)解答題中，這類問題較難把握，其關(guān)鍵是找到（列出）不等式（組），再解不等式（組），其中參變量是一種常用的策略：恒成立?？键c七.函數(shù)的定義與函數(shù)的奇偶性。利用函數(shù)的定義與函數(shù)的奇偶性考查函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。如設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則。考點八.函數(shù)的奇偶性、對稱性。以函數(shù)的周期性為依托，綜合考查函數(shù)的奇偶性、對稱性等各種性質(zhì)，以及對思維能力、推理能力、運算能力的考查。（廣東）設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間上，只有。（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）試求方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。巧點秒撥1.利用函數(shù)的定義域解決有關(guān)問題時，一定注意函數(shù)與函數(shù)的定義域是不同的。2.利用換元法求函數(shù)的值域時要注意替代量的取值范圍，如：而不是任意實數(shù)。3.求函數(shù)零點，有時不需要求出零點的具體值，僅需要知道零點的個數(shù)即可，這時可利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在各個區(qū)間上的單調(diào)性與各端點的函數(shù)值的符號即可。4.不等式的恒成立問題與函數(shù)最值有密切的關(guān)系，解決不等式恒成立問題，通常先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為最值問題來解：恒成立；恒成立。函數(shù)的圖象和性質(zhì)課堂例題一、函數(shù)圖象的分析和判斷例1(1)設(shè)a<b，則函數(shù)y＝(a－x)(x－b)的圖象可能是()類型二：構(gòu)造函數(shù)解決不等式問題例2（1）函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為(2)．設(shè)，，則（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則．設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則的大小為（按由小到大的順序）.(4)．已知函數(shù).（I）若，求的值；（II）若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍.(5)．為實數(shù)），，（1）若f(－1)=0，且函數(shù)的值域為，求表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，當(dāng)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；例3（1）已知函數(shù)若存在實數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的最大值為.（2）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.設(shè),是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是.（4）設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在非零實數(shù)使得對任意，有，且，則稱在上的“龍族函數(shù)”．現(xiàn)在已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且為上的“4龍族函數(shù)”，那么實數(shù)的取值范圍是.類型三：函數(shù)的性質(zhì)（對稱性、奇偶性、周期性、單調(diào)性）判斷對稱性的問題：例3：判斷函數(shù)對稱性命題的正誤有以下四個命題：定義在R上的函數(shù)y=f(x)，對任意的實數(shù)x，都有f(x-1)+f(1-x)=2，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點（0,1）對稱。定義在R上的函數(shù)y=f(x)，對任意的實數(shù)x，都有f(x-1)=f(1-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱。同一坐標(biāo)系中，實數(shù)集上的函數(shù)y=f(x-1)與實數(shù)集上的函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于x=1對稱。同一坐標(biāo)系中，實數(shù)集上的函數(shù)y=f(x+1)與實數(shù)集上的函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于x=0對稱。其正確的命題是.判斷函數(shù)的奇偶性例4：（2009年全國1卷）函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則（）(A)是偶函數(shù)(B)是奇函數(shù)(C)(D)是奇函數(shù)練習(xí)：設(shè)，、，且＞，則下列結(jié)論必成立的是（）A.＞B.+＞0C.＜D.＞3．[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對一切實數(shù)x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0僅有101個不同的實數(shù)根，那么所有實數(shù)根的和為()⑴解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0

⑵解方程：

⑴解：原方程化為(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0

即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x)

構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x2001＋x

原方程等價于f(x＋8)＝f(－x)

而由函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)

于是有x＋8＝－x

x＝－4為原方程的解

⑵兩邊取以2為底的對數(shù)得

于是f(2x)＝f(x2＋1)

易證：f(x)世紀(jì)函數(shù)，且是R上的增函數(shù)，

所以：2x＝x2＋1

解得：x＝1函數(shù)周期性的問題例5、已知函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，且f(4)＝4，則f(2012)＝()A．0B．－4C．－8D．－16練習(xí)1．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝－f(x)，且函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))為奇函數(shù)，給出三個結(jié)論：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))對稱；③f(x)是偶函數(shù)．其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A．3B．2C．1D．0其中所有正確結(jié)論的序號是。練習(xí)2.(2013·高考天津卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(log2a)＋f(logeq\s\do9(\f(1,2))a)≤2f(1)，則a的取值范圍是()A．[1，2]B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D．(0，2]【思路點撥】(1)先確定y＝－3|x|的奇偶性及單調(diào)性，再驗證．練習(xí)3.(1)(2012·高考山東卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x＜3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335B．338C．1678D．2012(2)(2013·高考江蘇卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________．類型四：交點和所有交點橫坐標(biāo)的和例6、(1)(新課標(biāo)2011、12)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和等于（）（A）2(B)4(C)6(D)8(2)(新課標(biāo)2011、12)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2，當(dāng)x時f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=的圖像的交點共有()（A）10個（B）9個（C）8個（D）1個類型五：分段函數(shù)問題例7（13年11）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2xx≤0,ln(x＋1)x＞0))，若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是( )A、（－∞，0]B、（－∞，1]C、[－2，1]D、[－2，0]【解析】∵||=，∴由||≥得，且，由可得，則≥-2，排除Ａ，Ｂ，當(dāng)=1時，易證對恒成立，故=1不適合，排除C，故選D.類型六：三次函數(shù)的問題：已知函數(shù)f(x)＝x3－x＋c定義在[0，1]上，x1，x2∈[0，1]且x1≠x2.

⑴求證：|f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2|；

⑵求證：|f(x1)－f(x2)|＜1.

證明：⑴|f(x1)－f(x2)|＝|x13－x1＋x23－x2|

＝|x1－x2||x12＋x1x2＋x22－1|

需證明|x12＋x1x2＋x22－1|＜2………………①

x12＋x1x2＋x22＝(x1＋≥0

∴－1＜x12＋x1x2＋x22－1＜1＋1＋1－1＝2

∴①式成立

于是原不等式成立

⑵不妨設(shè)x2＞x1

由⑴|f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2|

①若x2－x1∈(0，]

則立即有|f(x1)－f(x2)|＜1成立.

②若1＞x2－x1＞，則－1＜－(x2－x1)＜－

∴0＜1－(x2－x1)＜(右邊變?yōu)檎龜?shù))

下面我們證明|f(x1)－f(x2)|＜2(1－x2＋x1)

注意到：f(0)＝f⑴＝f(－1)＝c

|f(x1)－f(x2)|＝|f(x1)－f⑴＋f(0)－f(x2)|

≤|f(x1)－f⑴|＋|f(0)－f(x2)|

＜2(1－x2)＋2(x2－0)(由⑴)

＝2(1－x2＋x1)

＜1

綜合⑴⑵，原命題得證.已知x＝是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c為整數(shù)，則b＋c＝__________.

解：(逆向思考：什么樣的方程有這樣的根？)

由已知變形得x－

∴x2－2x＋19＝99

即x2－80＝2x

再平方得x4－160x2＋6400＝76x2

即x4－236x2＋6400＝0

∴b＝－236，c＝6400

b＋c＝6164已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值為M，求證：M≥.

解：M＝|f(x)|max＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－)|}

⑴若|－|≥1(對稱軸不在定義域內(nèi)部)

則M＝max{|f⑴|，|f(－1)|}

而f⑴＝1＋a＋b

f(－1)＝1－a＋b

|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4

則|f⑴|和|f(－1)|中至少有一個不小于2

∴M