高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)第三圓方程蘇教江蘇專用

高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)第三圓方程蘇教江蘇專用第三節(jié)圓的方程考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考·面對高考雙基研習(xí)·面對高考基礎(chǔ)梳理(a，b)(a，b)r思考感悟二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是什么？提示：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.點(diǎn)P在⊙M外點(diǎn)P在⊙M上點(diǎn)P在⊙M內(nèi)點(diǎn)P在圓外點(diǎn)P在圓上點(diǎn)P在圓內(nèi)1．圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2(m≠0)的圓心是________，半徑是________．2．(2011年徐州質(zhì)檢)經(jīng)過原點(diǎn)，圓心在x軸的負(fù)半軸上，半徑等于的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．課前熱身3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圓，則k的取值范圍是________．答案：(－∞，1)4．圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，當(dāng)圓面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為________．答案：(0，－1)考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一求圓的方程無論是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是圓的一般方程，都有三個(gè)待定系數(shù)，因此求圓的方程，應(yīng)用三個(gè)條件來求．一般地，已知圓心或半徑的條件，選用圓的標(biāo)準(zhǔn)式，否則選用一般式．另外，還有幾何法可以用來求圓的方程．要充分利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì)，如“圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上”“半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形”等．已知圓C通過不同的三點(diǎn)P(m,0)，Q(2,0)，R(0，1)，且CP的斜率為－1.(1)試求⊙C的方程；(2)過原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線l1、l2，l1交⊙C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，l2交⊙C于G，H兩點(diǎn)，求四邊形EGFH面積的最大值．【思路分析】

(1)設(shè)出圓的一般式方程，列出方程組求解；(2)由圖形結(jié)合l1⊥l2及點(diǎn)到直線的距離等構(gòu)造出重要不等式求最大值的條件．例1【名師點(diǎn)評】求圓的方程有兩類方法：(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程，其一般步驟是：①根據(jù)題意選擇方程的形式：標(biāo)準(zhǔn)形式或一般形式；②利用條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組；③解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題例2【思路分析】根據(jù)幾何意義，借助于平面幾何知識，利用數(shù)形結(jié)合求解．互動探究2

本例題條件不變，求x2＋y2的最大值和最小值．求軌跡問題是解析幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)問題，因此必須認(rèn)真領(lǐng)會、掌握，求軌跡時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)求方程必須建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，有利于簡化解題過程，所得方程比較簡單；(2)一般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明，即刪去增加的解和補(bǔ)上失去的解；考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題(3)一般地，求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡，就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)求軌跡方程和求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指明軌跡表示什么曲線；(5)在某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題中，可先確定一個(gè)較易求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動點(diǎn)，所求軌跡上的點(diǎn)作為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程．(2011年常州質(zhì)檢)在等腰△ABC中，已知AB＝AC，且點(diǎn)B(－1,0)，點(diǎn)D(2,0)為AC的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；(2)已知直線l：x＋y－4＝0，求邊BC在直線l上的射影EF長的最大值．例3【思路分析】

(1)設(shè)出點(diǎn)C，表示出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入AB＝AC，可得到C的軌跡方程；(2)結(jié)合圖形可知CF與圓C相切時(shí)，EF最長．【解】

(1)設(shè)C(x，y)，∵D(2,0)為AC的中點(diǎn)，∴A(4－x，－y)．∵B(－1,0)，由AB＝AC，得AB2＝AC2.∴(x－5)2＋y2＝(2x－4)2＋(2y)2.整理得(x－1)2＋y2＝4.∵A，B，C三點(diǎn)不共線，∴y≠0，則點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．【名師點(diǎn)評】本題中圓C的方程按求點(diǎn)的軌跡的步驟求出，這不同于已知軌跡為圓的情形下求圓的方程，因而，圓的有關(guān)性質(zhì)以及方程是無法作為條件來應(yīng)用的．方法技巧1．利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程能直接求出圓心和半徑，比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小，能得出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求出圓心的坐標(biāo)與圓的半徑，借助弦心距、弦、半徑之間的關(guān)系計(jì)算時(shí)，可大大簡化計(jì)算的過程與難度．方法感悟2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種情形：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外，其判斷方法是看點(diǎn)到圓心的距離d與圓半徑r的關(guān)系．d<r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上；d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外．3．當(dāng)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0具有條件：(1)A＝C≠0；(2)B＝0；(3)D2＋E2－4AF>0時(shí)，它才表示圓．條件(1)和(2)是此方程表示圓的必要條件，但不充分，條件(1)、(2)、(3)合起來是此方程表示圓的充要條件．4．圓的方程中有三個(gè)獨(dú)立系數(shù)，因此必須具備三個(gè)獨(dú)立條件才能確定一個(gè)圓，確定系數(shù)的方法可用待定系數(shù)法．5．研究與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．研究圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)(或到定直線)的距離的最值問題，一般在點(diǎn)與定點(diǎn)的連線(點(diǎn)與直線的垂線)過圓心時(shí)尋找，解決這類問題除可充分利用圓的幾何性質(zhì)外，還可考慮圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角代換，利用三角函數(shù)有界性求解．失誤防范1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，應(yīng)用時(shí)半徑用錯(cuò)，易看成r2為半徑．圓的一般方程在應(yīng)用時(shí)，易錯(cuò)寫圓心坐標(biāo)和半徑．2．在應(yīng)用圓的性質(zhì)解題時(shí)，易理解錯(cuò)誤造成解題出錯(cuò)，要熟記有關(guān)性質(zhì)．考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾年的江蘇高考試題來看，求圓的方程或已知圓的方程求圓心坐標(biāo)、半徑等是高考的熱點(diǎn)，題型既有填空題，又有解答題．客觀題突出了“小而巧”，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程；主觀題往往在知識交匯處命題，除考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程外，還考查待定系數(shù)法、方程思想等．預(yù)測2012年江蘇高考仍將以求圓的方程為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查運(yùn)算能力以及邏輯推理能力．(本題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論．例規(guī)范解答【解】

(1)令x＝0，得拋物線與y軸的交點(diǎn)是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0.由題意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.3分(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝b.5分令x＝0得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E＝－b－1.所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝08分(3)圓C必過定點(diǎn)(0,1)和(－2,1).10分證明如下：將(0,1)代入圓C的方程，得左邊＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右邊＝0.12分所以圓C必過定點(diǎn)(0,1)．同理可證圓C必過定點(diǎn)(－2,1).