材料力學(xué)講義五四

Additionalremarksforbending第十二章彎曲的幾個(gè)補(bǔ)充問(wèn)題§12–1非對(duì)稱彎曲

(Unsymmetricalbending）

§12–2

開口薄壁桿件的切應(yīng)力彎曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexural

center)第十二章彎曲的幾個(gè)補(bǔ)充問(wèn)題

(Additionalremarksforbending）BA§12-1非對(duì)稱彎曲(Unsymmetricalbending)一、非對(duì)稱彎曲(Unsymmetricalbending)

橫向力雖然通過(guò)截面的彎曲中心，但與形心主慣性平面存在一定夾角。在這種情況下，梁彎曲后的軸線不在力的作用平面內(nèi)，這種彎曲變形稱為斜彎曲.yzxFyFzF二、斜彎曲的分析方法

(Analysismethodforunsymmetricalbending)2.疊加(Superposition)對(duì)兩個(gè)平面彎曲進(jìn)行研究，然后將計(jì)算結(jié)果疊加起來(lái)FzFyyzFjBAyzxFyFzF1.分解(Resolution)

將外載沿橫截面的兩個(gè)形心主軸分解，于是得到兩個(gè)正交的平面彎曲梁在垂直縱向?qū)ΨQ面xy面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。z軸為中性軸yxz撓曲線梁的軸線對(duì)稱軸垂直縱向?qū)ΨQ面xyz梁的軸線對(duì)稱軸水平縱向?qū)ΨQ面梁在水平縱向?qū)ΨQ面xz平面內(nèi)彎曲，y軸為中性軸。撓曲線

三、梁內(nèi)任意橫截面上的內(nèi)力分析

(Analysisofinternalforceonanycrosssection)BAFyFzyzxxMy

=Fz

x=Fxsin(使梁在xz平面內(nèi)彎曲，y為中性軸)Mz

=Fy

x=Fxcos(使梁在xy平面內(nèi)彎曲，z為中性軸)mmmmzyMyxMz

四、橫截面上的應(yīng)力分析（Stressanalysisofcrosssections)

mmzyMyxMz1.與My

相應(yīng)的正應(yīng)力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy)2.與Mz

相應(yīng)的正應(yīng)力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz)C點(diǎn)處的正應(yīng)力(ThenormalstressatpointC)C(y,z)五、橫截面上中性軸的位置(Locationofneutralaxisoncrosssection)中性軸上的正應(yīng)力為零假設(shè)點(diǎn)e(z0

,y0

)為中性軸上任意一點(diǎn)zyxMzOe(z0,y0)中性軸方程為中性軸是一條通過(guò)橫截面形心的直線(theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea)

中性軸My中性軸的位置由它與y軸的夾角確定

zyx中性軸

公式中角度

是橫截面上合成彎矩

M的矢量與y軸的夾角。

橫截面上合成彎矩M為y0yzO公式中角度y是橫截面上合成彎矩M的矢量與y軸的夾角.M中性軸MzMyyxyM中性軸

z

yO討論：（1）一一般情情況下，，截面的的IzIy,故中性軸軸與合成成彎矩M所在平面不垂垂直，此此為斜彎彎曲的受受力特征征。所以以撓曲線線與外力力（合成成彎矩）所所在面不不共面,此為斜彎彎曲的變變形特征征。z（2）對(duì)對(duì)于圓圓形、正正方形等等Iy=Iz的截面，，有=y，梁發(fā)生生平面彎曲曲(planebending)，正應(yīng)力可可用合成成彎矩M按正應(yīng)力力計(jì)算公式計(jì)計(jì)算。梁梁的撓曲曲線一般般仍是一一條空間間曲線，，故梁的的撓曲線方程仍仍應(yīng)分別別按兩垂垂直面內(nèi)內(nèi)的彎曲曲來(lái)計(jì)算算，不能能直接用用合成彎矩進(jìn)行行計(jì)算。。中性軸

z

yOMyzy中性軸六、最大大正應(yīng)力力分析（Analysisofmaximumnormalstress)作平行于于中性軸軸的兩直直線分別別與橫截面周周邊相切切于D1、D2兩點(diǎn)，D1、D2兩點(diǎn)分別別為橫截截面上最大拉應(yīng)應(yīng)力點(diǎn)和和最大壓壓應(yīng)力點(diǎn)點(diǎn)。D2D1OD1D2zyzyO中性軸中性軸對(duì)于矩形形、工字字形等有有兩個(gè)相相互垂直直的對(duì)稱稱軸的截截面，梁橫截面面的最大大正應(yīng)力力發(fā)生在在截面的的棱角處處?？筛鶕?jù)梁梁的變形形情況，直直接確定定截面上上最大拉拉、壓應(yīng)應(yīng)力點(diǎn)的的位置，，無(wú)需定定出中性軸。D2D1O七、強(qiáng)度度條件(Strengthcondition)斜彎曲的的危險(xiǎn)點(diǎn)點(diǎn)處于單單向應(yīng)力力狀態(tài)，，所以強(qiáng)強(qiáng)度條件件為強(qiáng)度條件的應(yīng)用設(shè)計(jì)截面強(qiáng)度校核確定許可載荷八、斜彎彎曲的撓撓度(Deflectionofunsymmetricalbending)分別求出出Fy引起的撓撓度wy和Fz引起的撓撓度wz方法：疊疊加原理理wzwywy總撓度為為w總撓度與與軸的夾夾角為yxABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m4080zyOadbc例題1矩形截面面的懸臂臂梁承受受荷載如如圖所示示.試確定危危險(xiǎn)截面面上危險(xiǎn)險(xiǎn)點(diǎn)所在在的位置置，計(jì)算算梁內(nèi)最最大正應(yīng)應(yīng)力的值.解:（1）外外力分分析梁在F2的作用下下將在xOz平面內(nèi)發(fā)發(fā)生平面面彎曲(y為中性軸軸）故此梁的的變形為為兩個(gè)相相互垂直直平面彎彎曲的組組合----斜彎曲梁在F1的作用下下將在xOy平面內(nèi)發(fā)發(fā)生平面面彎曲（（z為中性軸軸）xABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m（2）繪制制彎矩圖圖繪出Mz(x)圖繪出My(x)圖A截面為梁梁的危險(xiǎn)險(xiǎn)截面Mz=1kN·mMy=1kN·mxABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m1kN·mxMz(x)圖1kN·mxMy(x)圖Mz使A截面上部部受拉，，下部受受壓My使A截面前部部受拉，，后部受受壓zyxMyzyxMzzyx（3）應(yīng)力力分析D1是最大拉拉應(yīng)力點(diǎn)點(diǎn)D2是最大壓壓應(yīng)力點(diǎn)點(diǎn)兩點(diǎn)正應(yīng)應(yīng)力的絕絕對(duì)值相相等拉壓拉壓D2D18040zyzyxMyzyxMz拉壓拉壓（4）中性軸軸的位置置8040zy中性軸（5）繪制總總應(yīng)力分分布圖8040zy中性軸D1D2+-D1=7.02D2=-7.02拉壓例題220a號(hào)工字形形懸臂梁梁受集度度為q的均布荷荷載和集集中力F=qa/2作用,力F作用在yOz平面內(nèi).已知鋼的的許用應(yīng)應(yīng)力[]=160MPa，a=1m。試求此梁梁的許可可荷載集集度[q].40°FqaaACByz解：將力力F向y軸和z軸分解Fy與均布荷荷載q使梁在xy平面內(nèi)產(chǎn)產(chǎn)生彎曲曲(z為中性軸軸)Fz使梁在xz平面內(nèi)產(chǎn)產(chǎn)生彎曲曲(y為中性軸軸)z40°FqaaACByFyFzFzACBxz面qFyACBxy面DD0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz圖adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My圖（1）畫彎矩圖圖A、D兩截面可能是是危險(xiǎn)截面MzA=0.266qa2MzD=0.456qa2MyA=0.642qa2MyD=0.444qa2A截面D截面（2）計(jì)算應(yīng)力查工字鋼表20a號(hào)A截面D截面梁的危險(xiǎn)點(diǎn)在在A截面棱角處§12–2開口薄壁桿件件的切應(yīng)力彎彎曲中心(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexuralcenter)一、非對(duì)稱截截面梁平面彎彎曲的條件(Conditionsofplanebendingforunsymmetricalbeams)前面討論的平平面彎曲,僅限于梁至少少有一個(gè)縱向向?qū)ΨQ面,外力均作用在在該對(duì)稱面內(nèi)內(nèi)且垂直于軸軸線.對(duì)于非對(duì)稱截截面梁.橫截面上有一一對(duì)形心主慣慣性軸y,z,形心主慣性軸軸y,z與軸線x組成兩個(gè)形心心主慣性平面面xOy,xOz形心主慣性平面y,z軸為形心主慣性軸zxy1.實(shí)體梁（Bodybeams)當(dāng)橫向外力作作用在形心主主慣性平面的的平面內(nèi),梁發(fā)生平面彎彎曲.否則將會(huì)伴隨隨著扭轉(zhuǎn)變形形.但由于實(shí)體構(gòu)構(gòu)件抗扭剛度度很大.扭轉(zhuǎn)變形很小小,其帶來(lái)的影響響可以忽略不不計(jì).2.開口薄壁截面面梁(Openthin-wallsections)對(duì)于開口薄壁壁截面梁,即使橫向力作作用于形心主主慣性平面內(nèi)內(nèi)(非對(duì)稱平面),則梁除發(fā)生彎彎曲變形外,還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變形.只有當(dāng)橫向力力的作用線平平行于形心主主慣性平面并并通過(guò)某個(gè)特特定點(diǎn)時(shí),梁才只發(fā)生平平面彎曲,而無(wú)扭轉(zhuǎn)變形形.這個(gè)特定點(diǎn)稱稱為橫截面的的彎曲中心(Shearcenterorflexuralcenter),用A表示.3.彎曲中心的確確定（Determinationoftheshearcenter)（1）彎曲中心(Shearcenterorflexuralcenter)切應(yīng)力合力的的作用點(diǎn)就是是截面彎曲中中心(使桿不發(fā)生扭扭轉(zhuǎn)的橫橫向力作用用點(diǎn)).（2）彎曲中心的位位置(Locationoftheshearcenter)（b）具有一個(gè)對(duì)對(duì)稱軸的截面面,其彎曲中心一一定在這個(gè)對(duì)對(duì)稱軸上.（c）若截面的中中線是由若干干相交于一點(diǎn)點(diǎn)的直線段所所組成，則此此交點(diǎn)就是是截面的彎曲曲中心.AAA（a）具有兩個(gè)對(duì)對(duì)稱軸或反對(duì)對(duì)稱軸的截面面,其彎曲中心與與形心重合.例3試畫出下列各各薄壁截面彎彎曲中心的大大致位置;若剪力FS的方向垂直向向下,試畫出切應(yīng)力力流的方向.AAAAAAAAAA例題4一槽鋼制成的的梁受方向平平行于其腹板板的橫向荷載載作用.鋼槽截面簡(jiǎn)化化后的尺寸見見圖.（2）確定橫截面面上剪力作用用線的位置（1）分析橫截面面上腹板,翼緣兩部分切應(yīng)力t和t1的變化規(guī)律q(x)F1F2tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ解：（1）分析腹板上切應(yīng)力的變化規(guī)律腹板上切應(yīng)力力沿高度按二二次拋物線規(guī)規(guī)律變化.tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ（2）橫截面翼緣緣上的切應(yīng)力力q(x)F1F2mmnnxdxFSMFSM+dMnmmndxxs1nmnmdxs11沿翼緣厚度用用縱向截面AC截出一體積元元素C-m在C-m的兩個(gè)截面D-m,C-n上分別有由由法向內(nèi)力元元素在C-m的兩個(gè)截面D-m,C-n上分別有由法法向內(nèi)力元素素組成的拉力力FN1*,FN11*.mnOzydxmDCAξdAAξDmCdxδB由于翼緣很薄薄,故可認(rèn)為1,11,沿翼緣厚度保保持不變,且其值與翼緣緣中線上的正正應(yīng)力相同.δ為翼緣厚度ξ為從翼緣外端到所取縱截面AC間的長(zhǎng)度mnOzydxmDCAξAξDmCdxδBdAA*所以在AC截面上一定存存在著切向內(nèi)內(nèi)力元素dFS’，因?yàn)橐砭墮M截截面也是狹長(zhǎng)長(zhǎng)矩形,故可采用切應(yīng)應(yīng)力沿壁厚不不變及其方向向平行于翼緣緣長(zhǎng)度的假設(shè)設(shè).由于根據(jù)剪應(yīng)力互互等定理,橫截面上的切應(yīng)力和AC上的切應(yīng)力如如圖所示.AξDmCdxδB平衡方程Fx=0經(jīng)過(guò)整理,即得AξDmCdxδB由切應(yīng)力互等定理可知得橫截面上的切應(yīng)力mnOzyd