條件概率全概公式(00002)課件

第四節(jié)條件概率全概率公式、條件概率乘法公式事件的相互獨(dú)立性1、條件概率的定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則稱為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率。若事件B已發(fā)生，則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB。由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1)式。擲骰子已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個(gè)在集A中，P(A

)=1/6，B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(A|B)=？例如，擲一顆均勻骰子A＝{擲出2點(diǎn)}，容易看到：由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)2、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時(shí),可以反求P(AB).將A、B的位置對(duì)調(diào)，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率例2在100件產(chǎn)品中有5件是次品，從中連續(xù)無放回地抽取3次，問第三次才取得次品的概率。解：設(shè)表示“第i次取得次品”（i=1，2，3）,B表示“第三次才取到次品”，則3、事件的相互獨(dú)立性對(duì)乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)，有的問題中事件B發(fā)生的概率與事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率是相等的，即相當(dāng)于無條件概率，B是否發(fā)生與A無關(guān)，從而此時(shí)稱A與B是相互獨(dú)立的。

例3一個(gè)均勻的正四面體,將第一面染成紅色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色，如果以A、B、C分別表示投擲一次正四面體時(shí)紅、白、黑顏色著地的事件，由于在四個(gè)面中兩面上著紅色，故同理可知

對(duì)以上三事件A、B、C，成立:對(duì)于多個(gè)隨機(jī)事件，若是相互獨(dú)立的，則n個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為但所以A、B、C三事件不是相互獨(dú)立的,但它們是兩兩獨(dú)立的。例4若每個(gè)人的呼吸道中有感冒病毒的概率為0.002,求在有1500人看電影的劇場(chǎng)中有感冒病毒的概率。解以表示事件“第i個(gè)人帶有感冒病毒”（i=1,2,…，1500），假定每個(gè)人是否帶有感冒病毒是相互獨(dú)立的，則所求概率為它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率。求電路正常工作的概率。例5下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖.A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件.解將電路正常工作記為W，由于各元件獨(dú)立工作，有代入得二、全概率公式貝葉斯公式

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.綜合運(yùn)用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0例6甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率。則對(duì)任一事件B，有稱滿足上述條件的為完備事件組。設(shè)B={飛機(jī)被擊落}Ai={飛機(jī)被i人擊中},i=1,2,3，則B=A1B+A2B+A3B求解如下:由全概率公式為求P(Ai),設(shè)Hi={飛機(jī)被第i人擊中}i=1,2,3可求得:依題意，將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得:于是即飛機(jī)被擊落的概率為0.458。從而任取一件產(chǎn)品為正品的概率可由全概率公式得到：則由已知，該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?實(shí)際中還有下面一類問題，是“已知結(jié)果求原因”。某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.1231紅4白或者問:接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。是兩兩互斥的事件，且設(shè)另有一事件B,它總是之一同時(shí)發(fā)生，則與當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì)。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。例8同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng)。由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品率分別為0.95、0.90、0.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2:3:5，混合在一起。（1）從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；（2）現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。乙、丙三個(gè)廠中哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性大？解設(shè)事件A表示“取到的產(chǎn)品為品”，分別表示“產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)”由已知（1）由全概率公式得：試問當(dāng)一個(gè)具有S中癥狀的病人前來要求診斷時(shí)，他患有疾病的可能性是多少？在沒有別的可資依據(jù)的診斷手段情況下，診斷該病人患有這三種疾病中哪一種較合適？解以A