理論力學－第4章

第2篇工程運動學基礎理論力學第2篇工程運動學基礎工程運動學涉及工程運動分析的基本的概念、基本理論和基本方法。這些內容不僅是工程運動學的基礎，而且也是工程動力學(dynamics)的基礎。運動學的研究對象是點和剛體。工程運動學的分析方法主要是矢量方法。第2篇工程運動學基礎第6章運動分析基礎

運動學（kinematics）研究物體在空間的位置隨時間的變化，即物體的運動，但是不涉及引起運動的原因。物體的運動都是相對的，因此研究物體的運動必須指明參考體和參考系。物體運動的位移、速度和加速度都是矢量，因此研究運動學采用矢量方法。而且，一般情形下，這些矢量的大小和方向會隨著時間的變化而變化，因而稱為變矢量。變矢量運算與常矢量有相同之處，也有不同之處。這是學習運動學的難點。第6章運動分析基礎點的運動學剛體的簡單運動結論與討論第6章運動分析基礎點的運動學返回第6章運動分析基礎點的運動學

參考系

位矢、速度和加速度點的運動學

參考系點的運動學

參考系根據運動的相對性，研究物體的運動，必須選取另一個物體作為參考，這一物體稱為參考體(referencebody)，與參考體固連的坐標系稱為參考系(referencesystem)。參考體總是一個大小有限的物體，而參考系則應理解為與參考體固連的整個坐標空間。例如，若以地球作為參考體，研究行星的運動，對于所研究的行星而言，地球是遙遠而不可及的，但是與地球固連的參考系卻可以延伸到所研究的行星處。點的運動學

位矢、速度和加速度點的運動學

位矢、速度和加速度點(point)的運動主要有直線運動（rectilinearmotion）和曲線運動（curvilinearmotion）兩種形式。后者又有平面曲線和空間曲線之分。

曲線運動——最一般的情形為三維變速曲線運動點的運動學

位矢、速度和加速度點的運動學

位矢、速度和加速度

曲線運動——最一般的情形為三維變速曲線運動xzyO考察定參考系中，沿空間曲線運動的點P

。自坐標原點O向點P作矢量r，稱為點P對于原點O的位置矢量（positionvector），簡稱位矢。當點P運動時，位矢r也隨該點一起運動，且為時間t的單值函數：rr′rr=r(t)P描述點的運動的矢量法因此，位矢為變矢量。

r=r(t)

則是用變矢量表示的點的運動方程。點P在運動過程中，其位置矢量的端點描繪出一條連續(xù)曲線，稱為位矢端圖(hodographofpositionvector)。顯然，位矢端圖就是點P的運動軌跡（trajectory）。PP′點的運動學

位矢、速度和加速度xzyOr(t)r(t＋t)rvt瞬時:矢徑r(t)

r(t)＝r(t＋t)－r(t)點在

t

瞬時的速度

t

時間間隔內矢徑的改變量,稱為點的位移t＋

t

瞬時:矢徑r(t＋

t)

或r(t)＋

r(t)描述點的運動的矢量法在時間間隔Δt內，點由位置P運動到其方向沿軌跡切線方向，指向點的運動方向。PP′點的運動學

位矢、速度和加速度t

瞬時:速度v(t)

v(t)＝v

(t＋

t)－v(t)點在t

瞬時的加速度：

t

時間間隔內速度的改變量v′t＋

t

瞬時:速度v(t＋

t)

或v(t)＋

v(t)xzyO描述點的運動的矢量法顯然，速度v和加速度a也都是變矢量。r′P′v′vPrv點的運動學

位矢、速度和加速度xzyOyxzjikravP不受約束的點在空間有

3個自由度，在直角坐標系中，點在空間的位置由3個方程確定：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)描述點的運動的直角坐標法點的運動學

位矢、速度和加速度xzyOyxzjikravP將矢徑表示成考慮到在Oxyz定參考系中，i、j、k均為常矢量描述點的運動的直角坐標法點的速度為：點的運動學

位矢、速度和加速度xzyOyxzrav描述點的運動的直角坐標法P

點的速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應坐標對時間的一階導數。點的運動學

位矢、速度和加速度xzyOyxzrav描述點的運動的直角坐標法P

點的加速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應坐標對時間的二階導數。點的運動學

位矢、速度和加速度如果已知點的軌跡，則可在軌跡上任取一點為原點，運動的點P至原點的弧長s＝OP，并且規(guī)定：原點O的某一側弧長為正；另一側為負。這種具有確定正負號的弧長s稱為P點的弧坐標(arccoordinateofadirectedcurve)。弧坐標s完全確定了動點P在軌跡上的位置。點運動時，其弧坐標隨時間而變化：這就是動點P的弧坐標形式的運動方程。描述點的運動的弧坐標法點的運動學

位矢、速度和加速度弧坐標具有以下要素：1.有坐標原點(一般在軌跡上任選一參考點作為坐標原點)；2.有正、負方向(一般以點的運動方向作為正向)；3.有相應的坐標系。描述點的運動的弧坐標法點的運動學

位矢、速度和加速度弧坐標中的速度表示點的速度在切線軸上的投影等于弧坐標對時間的一階導數。點的運動學

位矢、速度和加速度幾點討論若則，即點沿著s+的方向運動；反之點沿著s－的方向運動；中

v和分別表示速度的大小與方向。點的運動學

位矢、速度和加速度根據加速度的定義以及弧坐標中速度的表達式弧坐標中的加速度表示點的運動學

位矢、速度和加速度弧坐標中的加速度表示點的運動學

位矢、速度和加速度n′′當0時，

的極限方向垂直于，亦即n方向?；∽鴺酥械募铀俣缺硎綪sP'點的運動學

位矢、速度和加速度

當0時，

的極限方向垂直于，亦即n方向?；∽鴺酥械募铀俣缺硎军c的運動學

位矢、速度和加速度弧坐標中的加速度表示點的運動學

位矢、速度和加速度弧坐標中的加速度表示－切向加速度－法向加速度點的運動學

位矢、速度和加速度幾點討論切向加速度表示速度矢量大小的變化率；法向加速度表示速度矢量方向的變化率；點的運動學

位矢、速度和加速度例題1橢圓規(guī)機構描述點的運動的直角坐標法點的運動學

位矢、速度和加速度求：P點的運動方程、速度、加速度。例題1橢圓規(guī)機構求：P點的運動方程、速度、加速度。描述點的運動的直角坐標法1.建立固定參考系Oxy；2.將所考察的點置于坐標系中的一般位置；3.根據已知的約束條件列寫點的運動方程。點的運動學

位矢、速度和加速度例題1描述點的運動的直角坐標法P點的運動方程：從中消去t得到P點的軌跡方程1.建立固定參考系Oxy；2.將所考察的點置于坐標系中的一般位置；3.根據已知的約束條件列寫點的運動方程。點的運動學

位矢、速度和加速度例題1描述點的運動的直角坐標法P點的運動方程：P點的速度：P點的加速度：點的運動學

位矢、速度和加速度例題1幾點討論:1.建立運動方程時，一定要將所考察的點置于坐標系中的一般位置：對于直線坐標，位于坐標軸的正向；對于直角坐標系，位于坐標系的第一象限。2.關于P點運動的性質：何時作加速度運動？何時作減速度運動？這一問題請同學們自己研究。點的運動學

位矢、速度和加速度例題2半徑為R的圓盤沿直線軌道無滑動地滾動（純滾動），設圓盤在鉛垂面內運動，且輪心A的速度為v0(t)

1．分析圓盤邊緣一點M的運動，并求當M點與地面接觸時的速度和加速度以及M點運動到最高處時，軌跡的曲率半徑；

2．討論當輪心的速度為常數時，輪邊緣上各點的速度和加速度分布。Rv0A點的運動學

位矢、速度和加速度M例題2于是M點的運動方程為：解：1.建立坐標系Oxy取點M所在的一個最低位置為原點O，設在任意時刻t圓盤的轉過的角度為CAM＝，為時間t的函數，C是圓盤與軌道的接觸點，由于圓盤作純滾動，所以：點的運動學

位矢、速度和加速度點M的速度分量為：加速度分量為：于是M點的運動方程為：Ma點的運動學

位矢、速度和加速度例題2解：

2．建立和與圓盤中心A點的速度v0(t)之間的關系將其對t

求一次導數，可得aMa點的運動學

位矢、速度和加速度例題2因為圓盤沿直線軌道作純滾動，故輪心A點作水平直線運動，所以有再對t求一次導數，可得這對于沿直線軌跡滾動的物體都是正確的。引入

則有Ma點的運動學

位矢、速度和加速度例題2Ma即輪上M點的速度大小與M點到C點（輪上與地面接觸點）的距離成正比。其方向由下式確定：M點的速度大小為點的運動學

位矢、速度和加速度解：

2．建立和與圓盤中心A點的速度v0(t)之間的關系例題2于是，純滾動時輪上各點的速度如圖所示。v

MC當=0和=2時，M點與地面接觸，此時M點的速度為零。從圖中的幾何關系可以證明：任意點的速度矢量垂直于滾動時輪與地面接觸點的連線，即，Ma點的運動學

位矢、速度和加速度例題2加速度可由式

求得

由此可見，當M點與地面接觸時，其加速度的大小不等于零，方向垂直于地面向上。該加速度是點M在此瞬時的切向加速度，因為此時速度為零，故其法向加速度為零。點的運動學

位矢、速度和加速度例題2Ma這時M點的速度為v=2v0，于是，軌跡在最高處的曲率半徑為：

3．確定M點的軌跡在最高點處的曲率半徑

M點軌跡在最高點處的切線方向與i同向；曲線向下彎曲，所以主法線方向與－j同向。于是，法向加速度的大小為：由于當=時，M點的速度和加速度分別為：點的運動學

位矢、速度和加速度例題2

4.討論：若v0為常矢量，則為常量，故，此時由式M點加速度大小恒為：M點加速度的方向由下式確定：根據式點的運動學

位矢、速度和加速度例題2所以，這時輪緣上M點的加速度方向均指向輪心A，如圖中所示，此時的加速度既非切向加速度，也非法向加速度，而是這兩種加速度的矢量和。不過請注意，若v0不為常矢量，則加速度方向并不指向輪心。點的運動學

位矢、速度和加速度例題2剛體的簡單運動返回第6章運動分析基礎

平移

定軸轉動剛體的簡單運動

平移剛體的簡單運動

平移剛體的簡單運動根據平移的定義，rAB為常矢量，

剛體運動時，其上任意直線永遠平行于其初始位置，這種運動稱為剛體的平行移動（translation）,簡稱平移或平動。在平移剛體內任選兩點A、B，令點A、B的矢徑分別為rA和rB

，則兩條矢端曲線就是這兩點的軌跡。

平移剛體的簡單運動平移時，同一瞬時，剛體上各點的速度相同，各點的加速度也相同。因此剛體平移時，可以用剛體上任一點（例如質心）的運動表示剛體的運動。于是，研究平移剛體的運動可歸結為研究點的運動。根據平移的定義，為常矢量，

平移剛體的簡單運動平移的實例

平移剛體的簡單運動平移的實例平移的特點

剛體上的各點具有形狀相同的運動軌跡；

剛體上的各點在某一瞬時具有相同的速度和加速度；

剛體平移時的運動分析可以簡化為其上任意一點(一般取為質心)的運動分析.

平移剛體的簡單運動例題3

平移剛體的簡單運動已知：O1A＝O2B

＝l；O1A桿的角速度和角加速度a。求：C點的運動軌跡、速度和加速度例題3

平移剛體的簡單運動

平移剛體的簡單運動解：板運動過程中，其上任意直線始終平行于它的初始位置。因此，板作平移。1.運動軌跡

C點的運動軌跡與A、B兩點的運動軌跡形狀相同，即以O點為圓心l為半徑的圓弧線。而不是以O1點為圓心、或以O3點為圓心的圓弧。例題3

平移剛體的簡單運動解：板運動過程中，其上任意直線始終平行于它的初始位置。因此，板作平移。2.速度vC=vA=

vB=

l例題3

平移剛體的簡單運動解：板運動過程中，其上任意直線始終平行于它的初始位置。因此，板作平移。3.加速度例題3

平移剛體的簡單運動需要注意的是：雖然平板上各點的運動軌跡均為圓，但是，平板并不作轉動，而是作平面曲線平移。由此，在分析中，需要注意剛體運動與剛體上點的運動的區(qū)別。例題3

定軸轉動剛體的簡單運動

定軸轉動剛體的簡單運動剛體運動時，若其上（或其擴展部分）有一條直線始終保持不動，則稱這種運動為定軸轉動（fixed－axisrotation）。這條固定的直線稱為轉軸。軸線上各點的速度和加速度均恒為零，其它各點均圍繞軸線作圓周運動。電機轉子、機床主軸、傳動軸等的運動都是定軸轉動的例子。

定軸轉動剛體的簡單運動如果研究位于定系中的平面剛體繞垂直于紙面的軸O（圖上未示出的軸z）轉動，則取與剛體固結并通過軸O的任意直線OP，以OP與定坐標軸Ox之間的夾角為坐標。于是，轉角隨時間t的變化描述了剛體的運動，由此得到剛體定軸轉動的運動方程為：定軸轉動剛體xyOP若已知轉動方程單位rad/s工程中常用單位：

n=轉/分(r/min)則n與w的關系為:

定軸轉動剛體的簡單運動定軸轉動剛體PxyOvPaPaPnaP

定軸轉動剛體的簡單運動剛體定軸轉動時，其上各點的速度和加速度與點到轉軸的距離成正比。用矢量表示角速度與角加速度考察三維定軸轉動剛體角速度矢量、角加速度矢量

定軸轉動剛體的簡單運動k用矢量表示角速度與角加速度

定軸轉動剛體的簡單運動若剛體加速轉動，則與同向。用矢量表示角速度與角加速度若減速轉動，則與反向。

定軸轉動剛體的簡單運動考察三維定軸轉動剛體用矢積表示剛體上點的速度與加速度

定軸轉動剛體的簡單運動用矢積表示剛體上點的速度與加速度

定軸轉動剛體的簡單運動定軸轉動剛體上某一點的加速度由兩部分組成，即切向加速度與法向加速度。泊松公式動系O1xyz

繞

z軸轉動，角速度為，基矢量為(i，j，k)

定軸轉動剛體的簡單運動考察三維定軸轉動剛體考察三維定軸轉動剛體動系O1xyz繞z軸轉動OxyzyxzO1ijkP1P2P3wvP1vP3vP2單位向量：i,j

,k角速度：

定軸轉動

剛體的簡單運動泊松公式結論與討論返回第4章運動分析基礎結論與討論描述點運動的三種方法比較點的運動學應用的兩類問題速度、加速度的標量表示與矢量表示的重要區(qū)別剛體簡單運動分析中要注意的問題結論與討論描述點運動的三種方法比較變矢量法－結果簡明，具有概括性，且與坐標選擇無關。對于實際問題需將變矢量及其導數表示成標量及其導數的形式。直角坐標法－實際問題中，一種廣泛應用的方法?；∽鴺朔ǎ瓚糜谶\動軌跡已知的情形，其最大特點是將速度矢量大小的變化率和方向變化率區(qū)分開來，使得數學表達式的含義更加清晰。結論與討論描述點運動的三種方法比較結論與討論點的運動學的兩類應用問題第一類問題：已知運動軌跡，確定速度與加速度；給定約束條件，確定運動軌跡、速度、加速度。第二類問題：已知加速度以及運動的初始條件，確定速度和運動軌跡－第一類問題的反運算。結論與討論點的運動學應用的兩類問題結論與討論速度