GCT數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)資料

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GCT數(shù)學(xué)包過(guò)教材一、考試目的：

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力測(cè)試，旨在考察考生所具有的數(shù)學(xué)方面的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法，

考察考生邏輯思維能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、空間想象能力以及運(yùn)用所掌握的數(shù)學(xué)知

識(shí)和方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

二、試題結(jié)構(gòu)：

1．題量與題型

本部分共有25道題，考試時(shí)間為45分鐘。試卷包含算術(shù)題、代數(shù)題、幾何題、

一元微積分題和線性代數(shù)題等五部分，每部分各占20%，均為單項(xiàng)選擇題。

2．試題難易程度

試題難度分為：容易、一般、較難三個(gè)等級(jí)，在每套試題中，容易題、一般題和

較難題的題量之比約為1:4:1。

3．試題評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

本部分試題滿分為100分，每道題4分?？忌殢拿總€(gè)問(wèn)題所列出的A、B、C和

D四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，多選、不選或錯(cuò)選均不得分；所選答案均

為A或B、C、D的答卷，一律視為廢卷。一般復(fù)習(xí)過(guò)程：了解考試要求、復(fù)習(xí)考試內(nèi)容、熟悉試題類型、掌握應(yīng)試技巧。

第一部分算術(shù)

[內(nèi)容綜述]

1．?dāng)?shù)的概念：整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)等等．

2．?dāng)?shù)的運(yùn)算

（1）整數(shù)的四則運(yùn)算；（2）小數(shù)的四則運(yùn)算；（3）分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算*

n

3．?dāng)?shù)的整除：整除（kl

）、倍數(shù)、約數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)（素）數(shù)*、合數(shù)、質(zhì)因數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍

m

nn1數(shù)（mm1mnm1mn1）、公約數(shù)、最大公約數(shù)、互質(zhì)數(shù)、最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)．

4．比和比例：比例、

[典型例題]acbd，正比例關(guān)系、ak，反比例關(guān)系等abk．b

一、算術(shù)平均數(shù)（平均值）問(wèn)題

例：某書(shū)店二月份出售圖書(shū)3654冊(cè)，比一月份多出售216冊(cè)，比三月份少出售714冊(cè)，第二季度的出售量是第一季度出售量的1.5倍，求書(shū)店上半年平均每月出售圖書(shū)多少冊(cè)？

分析：

3(3654216)3654(3654714)[(3654216)3654(3654714)]65(33654216714)4775.6

（又如前10個(gè)偶數(shù)、奇數(shù)、素?cái)?shù)、合數(shù)等的平均值問(wèn)題）

1

二、植樹(shù)問(wèn)題*

（1）全興大街全長(zhǎng)1380米，計(jì)劃在大街兩旁每隔12米栽一棵梧桐樹(shù)，兩端都栽．求共栽梧桐多少棵？分析：2(13801)232．12

（2）將一邊長(zhǎng)為2米的正方形木板沿其邊用釘子固定在墻上，為了安全，釘子的間距不能超過(guò)30厘米，且四角必須固定，求需要的最少釘子數(shù)．

分析：根據(jù)要求，每邊至少需要7個(gè)空，所以至少需要4728個(gè)釘子．

三、運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

1．相遇與追及問(wèn)題（svt，vv1v2,vv1v2，ss1s2）

例：某部隊(duì)以每分鐘100米的速度夜行軍，在隊(duì)尾的首長(zhǎng)讓通信員以3倍于行軍的速度將一命令傳到部隊(duì)的排頭，并立即返回隊(duì)尾．已知通信員從出發(fā)到返回隊(duì)尾，共用了9分鐘，求行軍部隊(duì)隊(duì)列的長(zhǎng)度？

分析：設(shè)隊(duì)伍長(zhǎng)度為l，則

ll9，300100300100

解得l1200．

2．順流而下與逆流而上問(wèn)題

例：兩個(gè)碼頭相距352千米，一艘客輪順流而下行完全程需要11小時(shí)，逆流而上行完全程需要16小時(shí)．求此客輪的航速與這條河的水流速度．

分析：因?yàn)?523521116，所以vv水vv水

vv水32,vv22,水

解得v27,v水5．

3．列車過(guò)橋與通過(guò)隧道問(wèn)題

例：一列火車全長(zhǎng)270米，每秒行駛18米，全車通過(guò)一條隧道需要50秒．求這條隧道的長(zhǎng)．

分析：設(shè)隧道長(zhǎng)為l，則270l

四、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題**例：某工廠二月份產(chǎn)值比一月份的增加10，三月份比二月份的減少10，那么．1850，所以l630．

1．*99

11C．一月份比三月份產(chǎn)值少．D．一月份比三月份產(chǎn)值多．10099

分析：設(shè)一月份的產(chǎn)值為a，則三月份的產(chǎn)值為0.99a，所以一月份比三月份產(chǎn)值多

a0.99a1．0.99a99A．三月份與一月份產(chǎn)值相等．B．一月份比三月份產(chǎn)值多

五、簡(jiǎn)單方程應(yīng)用問(wèn)題

1．比和比例應(yīng)用題

例1．有東西兩個(gè)糧庫(kù)，如果從東庫(kù)取出

求西庫(kù)原來(lái)的存糧數(shù)．

分析：設(shè)西庫(kù)原來(lái)的存糧數(shù)為x，則

211放入西庫(kù)，東庫(kù)存糧的噸數(shù)是西庫(kù)存糧噸數(shù)的．已知東庫(kù)原來(lái)存糧5000噸，52

500015000(x)，525

所以x7000．5000

例2.一件工程，甲獨(dú)做30天可以完成，乙獨(dú)做20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接著做，這樣甲、乙二人合起來(lái)共做了22天．問(wèn)甲、乙兩人各做了多少天？

分析：設(shè)甲、乙兩人分別做了x天和y天．根據(jù)題意得

xy22,11xy1,2030

解得x6,y16．

2.求單位量與求總量的問(wèn)題

例：搬運(yùn)一堆渣土，原計(jì)劃用8輛相同型號(hào)的卡車15天可以完成，實(shí)際搬運(yùn)6天后，有兩輛卡車被調(diào)走．求余下的渣土還需要幾天才能運(yùn)完？

分析：設(shè)要運(yùn)完余下的渣土還需要x天，則

81586(82)x，

所以x12．

3．和倍、差倍與和差問(wèn)題

例：把324分為A,B,C,D四個(gè)數(shù)，如果A數(shù)加上2，B數(shù)減去2，C數(shù)乘以2，D數(shù)除以2之后得到的四個(gè)數(shù)相等，求這四個(gè)數(shù)各是多少？

分析：根據(jù)題意得

ABCD324,1A2B22CD,2

解得A70,B74,C36,D144．

[樣題與真題]

一、數(shù)的運(yùn)算

1．設(shè)直線方程

(A)a

分析：因?yàn)閥axb,ab0，且x的截距是y的截距的(2)倍，則a與(B)1誰(shuí)大？(C)212(C)一樣大(D)無(wú)法確定b12b，所以a。a2

220的根的個(gè)數(shù)為(A)x1x1

(B)1(C)2(D)32．方程(A)01x21

分析：因?yàn)?

x211222230的根的個(gè)數(shù)為0。，所以2x1x1x21x1x1x1

3．設(shè)a,b,m均為大于零的實(shí)數(shù)，且b

a，則ama與誰(shuí)大？(A)bmb3

(A)前者

分析：因?yàn)?B)后者(C)一樣大(D)無(wú)法確定amam(ba)ama比大。0，所以bmbb(bm)bmb

注：特殊值代入法。

4．某人左右兩手分別握了若干顆石子，左手中石子數(shù)乘3加上右手中石子數(shù)乘4之和為29，則左手中石子數(shù)為奇數(shù)，還是偶數(shù)？(A)

(A)奇數(shù)(B)偶數(shù)(C)無(wú)法確定(D)無(wú)石子

分析：因?yàn)?x4y

5．（2003）已知a29，所以x為奇數(shù)。，則．200120022003,b,c200220032004

A．a(chǎn)bc．B．bca．

C．cab．D．cba．*x11注：考慮f(x)1。xx

i．116．（2003）

i1

A．10．(1)i1iB．11．*C．12．D．13．11

注：1211

7．設(shè)Sn

A．21111266。21234(1)n1n，則S2004S2005（B）．B．1C．0D．1

分析：由于

所以S2004(12)(34)(20032004)1002．，S2005S20042005，S2004S20051002220051

8．（2005）

111111111111111123456789的值是（）。0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

A.98122B.C.D.812921234567811234567899，分母，所以正確選項(xiàng)為A．234567899102

1111119．（2006）11223344556677（C）248163264

153163127A.308B.308C.308D.308163264128分析：分子4

分析：

11221111113344556677248163264

11111111(1234567)(12345)222222

116113086311781226412

10．（2006）某型號(hào)的變速自行車主動(dòng)軸有3個(gè)同軸的齒輪，齒數(shù)分別為48、36和24，后軸上有4個(gè)同軸的齒輪，齒數(shù)分別是36、24、16和12，則這種自行車共可獲得（A）種不同的變速比。

A.8B.9C.10D.12

分析：（本題是算術(shù)題?？疾閮蓚€(gè)數(shù)的比的大?。┯捎?836482436243624，所以這種自行車共可獲得1248種不同的變速比。,,,1612241236242416

二、平均值問(wèn)題

1．從生產(chǎn)的一批燈泡中任意抽取5個(gè)，測(cè)的壽命（小時(shí)）分別為113,110,107,100,95，若用它們來(lái)估計(jì)這批燈泡的平均壽命應(yīng)為(C)

(A)103

分析：(B)104(C)105(D)10611311010710095105。5

2．張某以10.51元/股的價(jià)格買進(jìn)股票20手，又以9.8元/股買進(jìn)30手，又以11.47元/股買進(jìn)50手，他要不賠錢，至少要賣到什么價(jià)錢（元/股）？（1手100股）(D)

(A)11.02(B)10.32(C)9.98(D)10.7810.5120009.8300011.475000分析：10.78。10000

3．（2003）記不超過(guò)10的素?cái)?shù)的算術(shù)平均數(shù)為M，則與M最接近的整數(shù)是．

A．2．B．3．C．4．*D．5．2357分析：4.254。4

三、植樹(shù)問(wèn)題

1．（2003）1000米大道兩側(cè)從起點(diǎn)開(kāi)始每隔10米各種一棵樹(shù)，相鄰兩棵樹(shù)之間放一盆花，這樣需

要．

A．樹(shù)200課，花200盆．

C．樹(shù)202課，花202盆．

分析：共需樹(shù)2(B．樹(shù)202課，花200盆．*D．樹(shù)200課，花202盆．100010001)202，共需花2200．1010

2．（2004）在一條長(zhǎng)3600米的公路一邊，從一端開(kāi)始等距豎立電線桿，每隔40米原已挖好一個(gè)坑，現(xiàn)改為每隔60米立一根電線桿，則需重新挖坑和填坑的個(gè)數(shù)分別是（D）．

A.50和40

分別是30和60．

四、運(yùn)動(dòng)問(wèn)題B.40和50C.60和30D.30和60分析：40和60的最小公倍數(shù)是120，在120米的距離內(nèi)需挖一個(gè)新坑和填掉原來(lái)的兩個(gè)坑，故需重新挖坑和填坑的個(gè)數(shù)

5

（2004）在一條公路上，汽車A、B、C分別以每小時(shí)80、70、50公里的速度勻速行駛，汽車A從甲站開(kāi)向乙站，同時(shí)車B、車C從乙站出發(fā)與車A相向而行開(kāi)往甲站，途中車A與車B相遇兩小時(shí)后再與車C相遇，那么甲乙兩站相距（D）.

A.2010公里B.2005公里C.1690公里D.1950公里

分析：設(shè)甲乙兩站相距l(xiāng)公里，則

五、簡(jiǎn)單方程應(yīng)用問(wèn)題

1．單位量與總量問(wèn)題、ll，解得l1950．280708050

（1）（2004）某校有若干女生住校，若每間房住4人，則還剩20人未住下，若每間住8人，則僅有－間未住滿，那么該校有女生宿舍的房間數(shù)為（C）

A.4B.5C.6D.7

分析：設(shè)女生宿舍的房間數(shù)為x，則8(x1)

注：選項(xiàng)驗(yàn)證法。4x208x，解得x6．

（2（）2005）某項(xiàng)工程8個(gè)人用35天完成了全工程量的

A.18B.35C.40D.601，如果再增加6個(gè)人，那么完成剩余的工程還需要的天數(shù)是（）．3

1(86)x，故x40，即正確選項(xiàng)為C．2分析：設(shè)完成剩余的工程還需要的天數(shù)是x，則835

2．和倍、差倍、和差問(wèn)題

小明今年一家四口人，全家年齡之和為69歲，父親比母親大一歲，姐姐比小明大兩歲，四年前全家年齡之和為54歲，則父親今年多少歲？(D)

(A)28(B)29(C)30(D)31

六、分?jǐn)?shù)（比）、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題

1．（2003）某工廠產(chǎn)值三月份比二月的增加10，四月份比三月的減少10，那么．

1．99

11C．四月份比二月份產(chǎn)值減少．D．四月份比二月份產(chǎn)值減少．*10099

分析：設(shè)二月份的產(chǎn)值為a，則四月份的產(chǎn)值為0.99a，所以四月份比二月份產(chǎn)值少

a0.99a1a100A．四月份與二月份產(chǎn)值相等．B．四月份比二月份產(chǎn)值增加

2．（2004）甲、乙兩種茶葉以x:y（重量比）混合配制成一種成品茶，甲種茶每斤50元，乙種每斤40元，現(xiàn)甲種茶價(jià)格上漲10%，乙種茶價(jià)格下降10%后，成品茶的價(jià)格恰好仍保持不變，則x：y等于（C）.

A.1:1B.5:4C.4:5D.5:6

分析：由于50x40y(50500.1)x(40400.1)y，所以x4．y5

3．（2005）2005年，我國(guó)甲省人口是全國(guó)人口的c%，其生產(chǎn)總值占國(guó)）．A.cdefB.cedfC.decfD.cfdedhfh，乙省人均生產(chǎn)總值為cpep，所以甲省人均生產(chǎn)分析：設(shè)全國(guó)人口為p，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為h，則甲省人均生產(chǎn)總值為

6

總值與乙省人均生產(chǎn)總值之比是

de

，即正確選項(xiàng)為D。cf

4．（2006）一個(gè)容積為10升的量杯盛滿純酒精，第一次倒出a升酒精后，用水將量杯注滿并攪拌均勻，第二次仍倒出a升溶液后，再用水將量杯注滿并攪拌均勻，此時(shí)量杯中的酒精溶液濃度為49%，則每次的倒出量a為（B）升。A.2.55B.3C.2.45D.4

10a10aa

分析：根據(jù)題意，七、其他問(wèn)題

10

0.49，即(10a)249，解得a3。

1．一顧客去甲商店買價(jià)格為48元的鞋子，給了甲店主一張50元鈔票，因甲沒(méi)有零錢，所以到乙商店換錢，然后將鞋子和2元錢一起給了該顧客，顧客走后，乙店主發(fā)現(xiàn)那張50元鈔票為假幣，索要甲店主一張50元真幣．問(wèn)甲店主賠了多少錢？(A)(A)50元(A)前者

(B)48元(B)后者

(C)100元(C)一樣大

(D)98元

2．相同表面積的立方體和球，誰(shuí)的體積大？(B)

(D)無(wú)法確定

3．（2003）A,B,C,D,E五支籃球隊(duì)相互進(jìn)行循環(huán)賽，現(xiàn)已知A隊(duì)已賽過(guò)4場(chǎng)，B隊(duì)已賽過(guò)3場(chǎng)，C隊(duì)已賽過(guò)2場(chǎng)，

D隊(duì)已賽過(guò)1場(chǎng)，則此時(shí)E隊(duì)已賽過(guò)．

A．1場(chǎng)．

ABCDE

B．2場(chǎng)．*

C．3場(chǎng)．D．4場(chǎng)．注：排除法，利用奇、偶數(shù)性質(zhì)。

4．（2006）100個(gè)學(xué)生中，88人有手機(jī)，76人有電腦，其中有手機(jī)沒(méi)電腦的共15人，則這100個(gè)學(xué)生中有電腦但沒(méi)有手機(jī)的共有（D）人。

A.25B.15C.5D.3分析：根據(jù)題意，既有電腦又有手機(jī)的人數(shù)為8815的人中只有3人有電腦。

第二部分代數(shù)[內(nèi)容綜述]一、數(shù)和代數(shù)式1．實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）乘方與開(kāi)方（乘積與分式的方根，根式的乘方與化簡(jiǎn)）

73，所以有電腦但沒(méi)有手機(jī)的人數(shù)是76733。

解法2：根據(jù)題意，24個(gè)沒(méi)有電腦的人中15個(gè)人有手機(jī)，因此既沒(méi)手機(jī)又沒(méi)有電腦的人只有9人，從而在12個(gè)沒(méi)有手機(jī)

aaa

xyxy

ax

,yaxy,(ab)xaxbx,(ax)yaxya

7

a,a0（2

0,a0,abab,aaa

a,a0

2．復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義（虛數(shù)單位、實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、模、幅角）i21，zaib，za2b2，tanba

z1a1ib1,z2a2ib2,z1z2(a1a2)i(b1b2)；zabi，zabi；

z1z1cos1isin1，z2z2cos2isin2

z1z1cos(12)isin(12)z1z2z1z2cos(12)isin(12)；z2z2

zz01

3．幾個(gè)常用公式（和與差的平方、和與差的立方、平方差、立方和、立方差等）(ab)2a22abb2；(ab)3a33a2b3ab2b3；

a2b2(ab)(ab)；

a3b3(ab)(a2abb2)．(ab)3a33a2b3ab2b3；a3b3(ab)(a2abb2)；

二、集合與函數(shù)（微積分）

1．集合運(yùn)算（交集、并集、補(bǔ)集、全集、運(yùn)算律、摩根律）

AB,AB,(CI(A)),ABCA(BC),

A(BC)(AB)(AC),AB2．函數(shù)

（1）概念（定義、兩要素、圖形、反函數(shù)）

{(x,y)yf(x),xD}，yf1(x)

（2）簡(jiǎn)單性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）

(x,f(x))(x,f(x))(x,f(x));(x,f(x))(x,f(x))

8

TTg(x)f(axb)f(axbT)f(a(x)b)g(x)aa

（3）冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)（含義、性質(zhì)、常用公式）

yxa,yax,ylogax,ylgx,ylnx

lnxylnxlny,ln

三、代數(shù)方程：logbxxlnxlny,lnxyylnx,logaxylogba

1．二元一次方程組解的存在性

2．一元二次方程

（1）求根公式（判別式）；（2）根與系數(shù)的關(guān)系

b24acbc,x1x2,x1x2axbxc0，b4ac；x2aaa22

3．二次函數(shù)的圖像（開(kāi)口、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)）、

b24acb2

yaxbxca(x)2a4a2

四、不等式

1．不等式的基本性質(zhì)及基本不等式（算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)、絕對(duì)值不等式）性質(zhì)：ab,k0kakb;ab,k0kakb;

ab,cdacbd,adbc基本不等式：1(ab)ab，abab2

2．幾種常見(jiàn)不等式的解法絕對(duì)值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式等ax2bxc0，a0；f(x)a0f(x)a,f(x)a

五、數(shù)列

1．?dāng)?shù)列的概念（數(shù)列、通項(xiàng)、前n項(xiàng)的和、各項(xiàng)的和、數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別）a1,a2,,an,，Sna1a2anak

k1

2．等差數(shù)列

（1）概念（定義、通項(xiàng)、前n項(xiàng)的和）；（2）簡(jiǎn)單性質(zhì)：中項(xiàng)公式、平均值n{an},an1and,ana1(n1)d,Snna1

ankank2an,

3．等比數(shù)列1n(n1)d,2a1a2an1(a1an)n2

（1）概念（定義、通項(xiàng)、前n項(xiàng)的和）；（2）簡(jiǎn)單性質(zhì)：中項(xiàng)公式

9

an11qnn12{an},an0,q,ana1q,Sna1,ankankanan1q

六、排列、組合、二項(xiàng)式定理

1．分類求和原理與分步求積原理

2．排列與排列數(shù)

（1）定義；（2）公式Pn

注階乘（全排列）Pm

3．組合與組合數(shù)

（1）定義；（2）公式；Pnmn(n1)(n2)(nm1)mm!mmmmCnPm,CnPnm

mPm

mnmmmm1,CnCC,（3）基本性質(zhì)：CnCnnn1

nk0kCnn2n

4．二項(xiàng)式定理：(a

七、古典概率問(wèn)題b)nk0kknkabCn

1．基本概念：必然事件、不可能事件、和事件、積事件、互不相容事件、對(duì)立事件

2．概率的概念與性質(zhì)

（1）定義（非負(fù)性、規(guī)范性、可加性）；

（2）性質(zhì)：0P(A)1，P()0，P(AB)P(A)P(B)P(AB)

3．幾種特殊事件發(fā)生的概率

（1）等可能事件（古典概型）P(A)

（2）互不相容事件P(AB)

（3）相互獨(dú)立事件P(AB)

（4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為mnP(A)P(B)；對(duì)立事件P(A)P(B)1P(A)P(B)p，那么在n此獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為

kkPn(k)Cnp(1p)nk．

[典型例題]

一、數(shù)和代數(shù)式

1．若zC且

(A)2z22i1，則z22i(B)3(C)4的最小值是[B](D)5

10

分析：z22iz(22i)1表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)(2,2)為圓心、半徑是1的圓周上，z22iz(22i)最小，是指復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(2,2)的距離最短，此最短距離為3．

2．如果(x1)整除x

(A)03a2x2ax1，則實(shí)數(shù)a[D](C)2(D)2或1(B)-1

3分析：(x1)能夠整除xa2x2ax1說(shuō)明(x1)是x3a2x2ax1的一個(gè)因子，因此當(dāng)x1時(shí)，

x3a2x2ax1的值應(yīng)為0，即

1a2a10，

解得a2或a1．

0，函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的充分必要條件是[D]

(B)c二、集合和函數(shù)1．已知a(A)b00(C)d0(D)bd0

分析：函數(shù)

數(shù)為0，即bf(x)ax3bx2cxd的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的充分必要條件是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故其偶次項(xiàng)的系d0．

f(0)0,求得bd0，再說(shuō)明當(dāng)bd0時(shí)，yf(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

f(1)f(1)注：也可利用

2．設(shè)a10,b0，且a2b27ab，那么ln(ab)[B]3

1(lnalnb)21(C)(lnalnb)3(A)

分析：由于a1ln(ab)21(D)ln(ab)3(B)0,b0，所以選項(xiàng)(A)(C)不正確．

2

1111a2b22ab22根據(jù)ln(ab)ln(ab)ln及ab7ab可知

32329

11

11ln(ab)ln(ab)．32

三、代數(shù)方程和簡(jiǎn)單的超越方程

1．設(shè)cxx22x2,x1x2210，若x1,x2是方程x2bxc0的兩個(gè)根，求x1x1x23，x13x2．分析：根據(jù)韋達(dá)定理可知x1x2b,x1x2c，所以

22x1x2(x1x2)22x1x2b22c；

x1x2(x1x2)222x1x22x1x2b24c；

22x2x1x2x1b22c．x1x2x1x2c

3322x1x2(x1x2)(x1x1x2x2)

4x2y162．指數(shù)方程組的解[A]xy236

(A)只有一組

(C)有無(wú)窮多組(B)只有兩組(D)不存在

4x2y16分析：在方程組中每個(gè)方程的兩端取對(duì)數(shù)，得xy236

xln4yln2ln16,xln2yln3ln6,

由于x與y的系數(shù)不成比例，所以此方程組只有一組解．

A{xx23}，集合B{xx2(1a)xa0}，若BA，求a得取值范圍．四、不等式已知集合

a1(1a)24aa1a分析：x1,222

當(dāng)a．1時(shí)，B{xax1}；當(dāng)a1時(shí)，B{x1xa}．

1時(shí)，不會(huì)有BA；當(dāng)a1時(shí)，若BA，則a5．所以當(dāng)a

五、數(shù)列

1．設(shè){an}是一等差數(shù)列，且a2

分析：由于a6a3a10a1164，求a6a7和S12．a(chǎn)7a3a10a2a11，所以

12

a6a7a2a3a10a1132；2

S12a1a2a11a126(a6a7)192．

2．設(shè){an}是一等比數(shù)列，且a312,a548，求a1,a10和a2a6．分析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則a5q24，所以a3

a1a3

q2123；4

；a10a1q93291536或a10a1q93(2)91536

a2a6a3a51248576．

六、排列、組合、二項(xiàng)式定理

1．5個(gè)男生和2個(gè)女生拍成一排照相．

7（1）共有多少種排法？（P7）

252（2）男生甲必須站在一端，且兩女生必須相鄰，有多少種排法？（P2(P5P2)）

2．100件產(chǎn)品中，只有3件次品，從中任取3件，

（1）恰有一件次品的取法有多少種？C3C97

（2）至少有一件次品的取法有多少種？C100

（3）至多有兩件次品的取法有多少種？C100

3．求(121233C973C33x)9展開(kāi)式中所有無(wú)理項(xiàng)系數(shù)之和．

分析：無(wú)理項(xiàng)指的是x的指數(shù)是非整數(shù)的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式定理可知要求的和為

13579S2C923C925C927C929C9．

七、古典概率問(wèn)題

1．在100件產(chǎn)品中，只有5件次品．從中任取兩件，

（1）兩件都是合格品的概率是多少？2C95

2C100

（2）兩件都是次品的概率是多少？2C5

2C100

（3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？11C5C95

2C100

13

2．甲、乙兩人各投籃一次，如果兩人投中的概率分別是0.6和0.5．

（1）兩人都投中的概率是多少？0.60.5

（2）恰有一人投中的概率是多少？0.60.50.40.5

（3）至少有一人投中的概率是多少？10.40.5

3．將10個(gè)球等可能地放到15個(gè)盒子中去，求下列事件的概率：

10!

（1）某指定的10個(gè)盒子中各有1個(gè)球；1510

C10

1510!

（2）正好有10個(gè)盒子中各有1個(gè)球．1510

[樣題與真題]

一、基本概念

1．求階乘不超過(guò)200的最大整數(shù)[]

(A)3(B)4(C)5(D)6

2．（2004）實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如下圖表示，

圖中O為原點(diǎn)，則代數(shù)式abbaacc（A）．

A．3a2cB．a(chǎn)ab2cC．a(chǎn)2bD．3a

分析：因?yàn)閎a0c，所以

abbaacc(ab)(ab)(ca)c3a2c．

3．（2004）argz表示z的幅角，今又arg(2i),arg(12i)，則sin()（D）．

A．43

5B．3

5C．45D．5

分析：由于sin1

,cos2

,sin2

,cos1

，

14所以

sin()sincoscossin

注：排除法。

4．（2005）復(fù)數(shù)z3．5(1i)2的模z()。

分析：因?yàn)閕

2，所以(1i)2i22，即正確選項(xiàng)為C．

1的共軛復(fù)數(shù)z是（A）.i

A.iB.iC.1D.11分析：由于zi，所以i。i5。（2006）復(fù)數(shù)z二、函數(shù)運(yùn)算

1．設(shè)函數(shù)f(x)

1x，x0,x1，則f()[A]f(x)x1(B)1(A)1x1x(C)xx1(D)x1分析：1x11f(x)xf()1x，x0,x1．1x1f(x)11f(x)x

三、乘方運(yùn)算

41．在連乘式(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)展開(kāi)式中，x前面的系數(shù)為[C]

(A)13

分析：(B)14(C)15(D)16

(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)x5(12345)x4x515x4

2．（2003）已知實(shí)數(shù)x和

A．1．*

根據(jù)條件，得y滿足條件(xy)991和(xy)1001，則xD．2．101y101的值是．B．0．C．1．

xy1,xy1,或xy1xy1,

解得x0,x1,或

y1y0,

p為正數(shù)，則x2px99()。3．（2005）設(shè)

（x9）(x11)B.（x9）(x11)A.

15

（xC.（x9）(x11)D.

分析：選項(xiàng)驗(yàn)證法。由于9）(x11)(x9)(x11)x220x99，(x9)(x11)x22x99，(x9)(x11)x22x99，(x9)(x11)x220x99，根據(jù)題意便知正確選項(xiàng)為C．

4．（2005）已知xy5且zy10，則x2y2z2xyyzzx()。

xy5,zy10A.50B.75C.100D.105分析：由于，所以zx5，從而

1x2y2z2xyyzzx[(xy)2(zy)2(zx)2]75，故正確選項(xiàng)為B．2

四、代數(shù)方程、一元二次函數(shù)

1．設(shè)0x3，則函數(shù)y(x2)22的最大值為[C]

(A)2(B)1(C)2(D)3

分析：

2．（2003）函數(shù)

A．a(chǎn)yax2bxc(a0)在[0,)上單調(diào)增的充要條件是．

B．a(chǎn)0，且b0．C．a(chǎn)0，且b0．*

分析：根據(jù)題意，拋物線

且b0，且b0．D．a(chǎn)0，且b0．b所以a0，0，2ayax2bxc(a0)的開(kāi)口朝上、對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，故a0,0．

23．（2004）已知ab1，且滿足2a

A．3a2b．2008a30和3b22008b20，則（B）0B．2a3b0C．3a2b0D．2a3b0

2008200822420082008224,b分析：由于a46

20082008224當(dāng)a4

20082008224當(dāng)a4

從而有2a3b

，且ab1，所以20082008224時(shí)，,b620082008224時(shí)，,b6，，0．16

或根據(jù)4a29b22008(2a3b)0，也可以推出有2a3b0．

24．（2006）方程x2006x2007，所有實(shí)數(shù)根的和等于（C）。

A.2006B.4C.0D.2006

分析：

20062006242007當(dāng)x0時(shí)，x2；

2006(2006)242007當(dāng)x0時(shí)，x2

所以方程x2。2006x2007的所有實(shí)數(shù)根的和等于0。

f(x)ax2bxc的對(duì)稱軸為x1，其圖像過(guò)點(diǎn)（2，0），則5．（2006）設(shè)二次函數(shù)f(1)。（D）f(1)

A.3B.2C.-2D.-3分析：根據(jù)題意bb1,4a2bc0，所以c0,2，從而2aa

b1f(1)ab33。f(1)ab1b1

a

0.6五、冪、指、對(duì)函數(shù)比較0.4與0.6

0.4誰(shuí)大？[B](C)一樣大(D)無(wú)法確定(A)前者(B)后者

分析：考慮函數(shù)f(x)x0.6,g(x)0.6x,則f(0.6)f(0.4)0.60.60.40.6；g(0.4)g(0.6)0.60.40.60.6．

六、函數(shù)簡(jiǎn)單性質(zhì)

1．函數(shù)f(x)ln(x21x)是[B]

(B)奇函數(shù)(C)偶函數(shù)(D)單調(diào)減少函數(shù)(A)周期函數(shù)

分析：f(x)ln(xx2)ln1

xx2ln(xx2)f(x)注：排除法與特殊值代入法。

2．（2003）函數(shù)y1

A．直線xa

C．x軸對(duì)稱．

分析：記

f(1)ln(21)0,f(1)ln(21)0。f(ax)(a0)與y2f(ax)的圖形關(guān)于．D．B．直線xa0對(duì)稱．0對(duì)稱．y軸對(duì)稱．*，所以曲線g(x)f(ax),h(x)f(ax)，由于g(x)f(ax)f[a(x)]h(x)17

yg(x)上的點(diǎn)(x,g(x))關(guān)于直線x0的對(duì)稱點(diǎn)(x,g(x))(x,h(x))在曲線yh(x)上．

注：特殊值代入法。取特殊函數(shù)

七、不等式f(x)x進(jìn)行判定．

cab，則(A).．a(chǎn)bbcca

A．cabB．bcaC．a(chǎn)bcD．cba

cab分析：選項(xiàng)驗(yàn)證法。當(dāng)cab時(shí)，正分?jǐn)?shù)的分子依次增大、分母依次減小，所以,,abbcca

cab．a(chǎn)bbcca（2004）設(shè)a,b,c均為正數(shù)，若

八、數(shù)列

a1．（2005）三個(gè)不相同的非0實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，又a,c,b恰成等比數(shù)列，則等于（）．b

A.4B.2C.4D.2

分析：根據(jù)條件可知2bac,c2ab，從而acaccccc()2，2()2，由于1，所以2，bbbbbbbb

a4，即正確選項(xiàng)為A．b

acac注：本題根據(jù)0，0及2可直接用排除法得到正確選項(xiàng)A．bbbb

2．（2006）設(shè)n為正整數(shù)，在1與n+1之間插入n個(gè)正數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則所插入的n個(gè)正數(shù)之積等于（A）。A.(1n)B.(1n

2n)nC.(1n)2nD.(1n)3n

n1，即qn1

n

21n1分析：（本題是代數(shù)題?？疾榱顺朔竭\(yùn)算的性質(zhì)、等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式）設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，則qn1，所以qqqqq

九、排列組合23n1n(n1)2n1。

1．5棵大小不同的柳樹(shù)，6棵大小不同的楊樹(shù)，載到5坑]

(A)第一個(gè)人(B)第二個(gè)人(C)第三個(gè)人(D)一樣大

2．袋中有3個(gè)黃球,2個(gè)紅球，1個(gè)蘭球，每次取一個(gè)球，取出后不放回，任取兩次，（都）取得紅球的概率是（）5143C5C6C52C6)P55281120(B)200(C)81(D)275

1(A)15

分析：11(B)301(C)32(D)32C2

2C62111，或．651515

18

3．（2003）一批產(chǎn)品的次品率為0.1，每件檢測(cè)后放回，在連續(xù)三件檢測(cè)中至少有一件是次品的概率為．

A．0.271．*

分析：10.9B．0.243．C．0.1．D．0.081．3120.10.92C30.120.90.130.271．0.271，或C3

4．（2004）將5個(gè)相同的球放入位于一排的8個(gè)格子中，每格至多放一個(gè)球，則3個(gè)空格相連的概率是（C）．

A．356B．556C．328*D．528

分析：將5個(gè)相同的球放入位于一排的8個(gè)格子中，共有C8種放法，3個(gè)空格相連的放法有6種（C6），所求概率為51

6

5C8328．

5．（2005）任取一個(gè)正整數(shù)，其平方數(shù)的末位數(shù)字是4的概率等于（）．

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

分析：當(dāng)所取正整數(shù)的個(gè)位數(shù)是2或8時(shí)，其平方數(shù)的末位數(shù)字就是4，所有正整數(shù)的個(gè)位數(shù)只有1，2，3，4，5，6，7，8，9，0等十種可能，所以要求的概率是20.2，即正確選項(xiàng)為B．10

6．（2006）桌上有中文書(shū)6本，英文書(shū)6本，俄文書(shū)3本，從中任取3本，其中恰有中文書(shū)、英文書(shū)、俄文書(shū)各1本的概率是（）。A.41108B.C.91108455D.414455

答：C

分析：（本題是概率題?？疾榱说瓤赡苁录母怕使胶秃?jiǎn)單的組合數(shù)公式）

111C3C6C6366108所求概率為p。3151413455C15

321

第三部分幾何（與三角）

[內(nèi)容綜述]

一、平面幾何圖形

1．三角形

（1）三角形的各元素（邊、角、高、中線、周長(zhǎng)、面積）

11sahabsinC22p(pa)(pb)(pc),2pabc

2（2）幾種特殊三角形（直角、等腰、等邊）c

a2b219

2．四邊形

（1）矩形（正方形）；（2）平行四邊形（菱形）；（3）梯形s

3．圓和扇形

（1）圓(周長(zhǎng)、面積、弦、圓周角、圓心角)l1(ab)h22RsR2

（2）扇形s1Rl2lR

4．平面圖形的相似關(guān)系

注：正多邊形的內(nèi)角和(n2)、橢圓的面積ab

二、空間幾何體

1

．長(zhǎng)方體（正方體）

2．圓柱體s側(cè)

3．圓錐體s側(cè)2RhVR2hRh2R21VR2h3

4．球s4R24VR3

3

20

三、三角函數(shù)

1．定義（符號(hào)，特殊角的三角函數(shù)值）

siny,cosx,

tansincos11,cot,sec,csccossincossin

2．三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（微積分）

3．常用的三角函數(shù)恒等式

sin2cos2122同角恒等式：1

tansec

221cotcsc

21

sin()sincoscossincos()coscossinsin兩角和公式：sin22sincos

2222cos2cossin12sin2cos1

誘導(dǎo)公式：)cos,)sin,sin()sin22

注：解斜三角形（正弦定理、余弦定理）．

4.反三角函數(shù)

yarcsinx,[

yarctanx,(

四、平面直線,];yarccosx,[0,]22,);yarccotx,(0,)22

1．直線方程（傾角、斜率，點(diǎn)斜式、斜截式、截距式、一般式）

yy0xyk,yy0kxx0;ykxb;1;axbyc0xx0ab

2．兩條直線的位置關(guān)系（相交，平行，垂直）

l:axbyc0；l1:a1xb1yc10；平行但不重合：aaabcabc1；重合：；垂直：bb1a1b1c1a1b1c1

3．點(diǎn)到直線的距離

axbyc0，(x0,y0)，d

注：直線與圓等平面圖形的位置關(guān)系

五、圓錐曲線

1．圓ax0by0cab22

(xx0)2(yy0)2R2

2．橢圓

（1）定義：到兩定點(diǎn)距離之和為一常數(shù)的點(diǎn)的集合．

22

（2）方程；x2

a2y2

b21,c2a2b2,(c,0)(c,0)

（3）圖像；（4）離心率；ec1a

a2

（5）準(zhǔn)線xc

3．雙曲線

（1）定義：到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù)的點(diǎn)的集合．

（2）方程；

x2

a2y2

b21,c2a2b2,(c,0)(c,0)

（3）圖像；（4）離心率；ec1a

a2b（5）漸近線；yx（6）準(zhǔn)線xca

4．拋物線

（1）定義：到一定點(diǎn)與到一定直線的距離相等的點(diǎn)的集合．

（2）方程；

ppy22px，(,0),x,22

（3）圖像；（4）離心率e1；（5）準(zhǔn)線

ax2by2cxdye0

ab0,

ab0,ab

ab0

ab0,a2b20

[典型例題]

1．已知A{xsinxcosx,x[0,2]},B{xtanxsinx}，求AB．

23

5分析：由于A{xsinxcosx,x[0,2]}{x4x4，

B{xtanxsinx}{x(2k13

2)x(2k1)or(2k2)x2(k1)}

AB{x

2x}．

2．設(shè)a2b20,0，f(x)asinxbcosx，求

（1）f(x)的最大值；

（2）f(x)0時(shí)的x值．

分析：由于

f(x)asinxbcosx

a2b2asinxbcosx

a2b2a2b2

a2b2sin(x),

所以f(x)的最大值為a2b2；

當(dāng)f(x)0時(shí)，有xk，即x1

(k)．

3．設(shè)三角形的三條邊分別為a,b,c，面積為S，已知a4,b5,S5，求c．分析：根據(jù)S1

2absinC及a4,b5,S5可得sinC3

2，所以

cosC1

2．

當(dāng)cosC1222

2時(shí)，有cab2abcosC21；

當(dāng)cosC122

2時(shí)，有cab22abcosC61．

24

所以，

4．如果與

4均是銳角，且sin()21,sin()，那么544

sin(

分析：4)221．20

sin()sin[（）（）]44

sin()cos(

4)cos()sin(4)2211221.545420

:3x4y10，求點(diǎn)A(2,0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)。5．已知直線l

分析：設(shè)所求的點(diǎn)為B(X,Y)，則直線AB與直線l垂直，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上，所以

4Y,X2331(X2)41Y10,22

解得X48,Y．55

26．雙曲線x2ay2

b21(a0,b0)的右準(zhǔn)線與兩條漸近線交于A,B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F，

求該雙曲線的離心率．

25

a2

21(a0,b0)的右準(zhǔn)線為x分析：雙曲線2cab

度為2x2y2，兩條漸近線方程為ybx，所以線段AB的長(zhǎng)aab．根據(jù)題意可知c

，aba2ccc

aba2c2a2b2

c即cccc，所以ab，從而ca2b22a，因此ec2．a(chǎn)

y22y2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．7．寫(xiě)出拋物線

分析：將y22y2x化為標(biāo)準(zhǔn)形式為

1(y1)22(x)，2

所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線方程為x

[樣題與真題]

一、平面幾何

1．一張（圓形）餅平鋪，若切三刀，最多切成幾塊？[]

(A)

5(B)6(C)7(D)81．

2.如圖，弦長(zhǎng)a

b，則它們所對(duì)的圓周角哪個(gè)大？[]26

(A)(B)(C)一樣大(D)無(wú)法確定

3．如圖，一個(gè)長(zhǎng)為l的梯子

面積最大時(shí)，

(A)30。角應(yīng)為多大？。AB，A端只能在豎直墻面上滑動(dòng)，B端只能在地面上滑動(dòng)，則梯子與墻面和地面所圍成的(C)60。(B)45(D)75。

x2y24．如圖，矩行與橢圓221相切，則橢圓面積與矩形面積之比和ab4

(A)前者(B)后者(C)一樣大相比較誰(shuí)大？[](D)無(wú)法確定

5．一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為4

,5,7，則此三角形的面積為[]

(A)36(B)4(C)4(D)3

6．兩個(gè)相似三角形的相似比為1:2，則它們的面積比應(yīng)為[]

(A)1:2(B)1:3(C)1:4(D)無(wú)法確定

7．（2003）如圖，正方形

A．1．2ABCD的面積為1，E和F分別是AB和BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．323B．．C．．*D．．435

27

12．因?yàn)镚是三角形BCD的中心，所以O(shè)GGC，從而三角形DGC，DHG，DHA的面32

11積相等，都是．由于三角形GFC在底邊FC上的高是三角形DFC在底邊FC上的高的，所以三角形GFC的面積是三角形63

112GCD面積的一半．綜上，陰影部分的面積為．263

8．（2004）如圖，直角ABC中C為直角，點(diǎn)E和D，F(xiàn)分別在直角邊AC和斜邊AB上，且AF=FE=ED=DC=CB，則A分析如圖，陰影部分的面積為（）．

A．

8

B．9C．10*D．12

分析

D

EFA

C如圖，根據(jù)條件可知，三角形AFE，F(xiàn)ED，DCB都是等腰三角形．根據(jù)三角形的外角等于不相臨的兩個(gè)內(nèi)角和及對(duì)頂角相等，可知角EFD的大小為2A，角CED的大小為3A，角BDC的大小為4A，所以角A和角B之和為5A，從而A

或10．

28

F

A

E

9．（2004）如圖，長(zhǎng)方形ABCD由4個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形EFGH構(gòu)成，若長(zhǎng)方形ABCD的面積為S，則正方形EFGH的面積為（）．

A．S8B．S10C．S12*D．S14

C

AB

分析設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)是a，則GC的長(zhǎng)度是2a，HB的長(zhǎng)度是3a，AD的長(zhǎng)度是22a，所以

191Sa2a22a2a24a2，從而a2S．2212

注：ABBC32a22a12a2S．

B．13條*C．12條D．11條10．(2004)在圓心為O，半徑為15的圓）．A．14條

分析

如圖，過(guò)P且與直徑垂直的弦的長(zhǎng)度是215212218，這也是過(guò)P點(diǎn)的弦中長(zhǎng)度最短的，由于直徑是過(guò)P點(diǎn)的弦中最長(zhǎng)的一條，所以過(guò)P點(diǎn)的弦中長(zhǎng)度為整數(shù)的有301713條．

注：按本題的問(wèn)法，考慮到對(duì)稱性，結(jié)果應(yīng)為24條．但選項(xiàng)中沒(méi)有這個(gè)選項(xiàng)．

11．（2004）ABC中，AB=5，AC=3，A

x，該三角形BC邊上的中線長(zhǎng)是x的函數(shù)yf(x)，則當(dāng)x在(0,

)中29

變化時(shí)，函數(shù)．f(x)取值的范圍是（）

B．（1，4）*C．（3，4）D．（2，5）A．（0，5）

分析

5B

如圖，當(dāng)Ax在(0,)）．

A.1080B.840C.720D.540

分析：

D

AC

B

如圖，易知四邊形ABCD的面積等于ABD與CBD的面積之和，其值為

確選項(xiàng)為D．

13．（2005）在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6．過(guò)C點(diǎn)以C到AB的距離為直徑作一圓，該圓與AB有公共點(diǎn)，且交AC于M，交BC于N，則MN等于（）．A.311ACBD3036540，即正223141B.4C.7D.135342分析：

Ｂ

ＣＡ

如圖，根據(jù)條件可知ACB是直角三角形，由于ＣＰ是圓的直徑，所以圓周角ＣＭＰ和ＣＮＰ都是直角，從而ＭＮ和ＣＰ都是長(zhǎng)方形ＭＣＮＰ的對(duì)角線，所以MNCP8644，故正確選項(xiàng)為Ｂ．105

3014．（2006）如右圖所示，小半圓的直徑EF落在大半圓的直徑MN上，大半圓的弦AB與MN平行且與小半圓相切，弦AB＝

10厘米，則圖中陰影部分的面積為（B）平方厘米。

A.10πB.12.5πC.20πD.25π

分析：記大圓半徑為R、小圓半徑為r，則根據(jù)題意可知R2r25225，所以圖中陰影部分的面積為121225Rr12.5。222

15．（2006）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8，寬為4，將長(zhǎng)方形沿一條對(duì)角線折起壓平如右圖所示，則陰影三角形的面積等于（B）。4DB8

A.8B.10C.12D.14

分析：如圖，易知ABO與CDO全等，從而OD

角形的面積等于242(8OA)2(8OD)2，解得OD3，所以陰影三11484310。22

，那么光線與地平面所成的角度是（B）。16．（2006）.如右圖所示，垂直于地平面豎立著一塊半圓形的木板，并使太陽(yáng)的光線恰與半圓的直徑AB垂直，此時(shí)半圓板在地面的陰影是半個(gè)橢圓面。已知地面上陰影的面積與木板面積之比等于

B

A.15°B.30°C.45°D.60°

分析：設(shè)半圓的半徑為R，則半橢圓的一條半軸為R，記其另一半軸為b。根據(jù)題意可知

31

1Rbb，12RR2

b

如圖可知

二、空間幾何體

1．（2003）已知兩平行平面,之間的距離為d

離為2d的直線有．

A

．0條．B．1C．2條．*D．4條．30度。(d0)，l是平面．4

D．A．．B．2．*C．．3．6

15112Rl2Rl，即2Rl，所以2422分析：設(shè)正圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，則R2

2Rl2

．故正確選項(xiàng)為B．

3．（2005）一個(gè)圓錐形容器（甲）與一個(gè)半球形容器

（乙），它們的開(kāi)口圓的直徑與高的尺寸如右圖所示（單

位：分米）．若用甲容器取水注滿乙容器，則至少要注水

（）次．

A.6B.8C.12D.16

分析：甲容器的容積是

B．

4．（2006）一個(gè)圓柱形容器的軸截面尺寸如右圖所示，將一個(gè)實(shí)心鐵球放入該容器中，球的直徑等于圓柱的高，現(xiàn)將容器注滿水，然后取出該球（假設(shè)原水量不受損失），則容器中水面的高度為（D）。

322，乙容器的容積是123，所以若用甲容器取水注滿乙容器，則至少要注水8次，即正確選項(xiàng)為

1111cmB.6cmC.7cmD.8cm3333

分析：將球取出后，假設(shè)水面下降了hcm，則

4102h53，3

551解得h，所以容器中水面的高度為108。333A.5三、平面解析幾何

1．直線yx1與圓(x1)2(y3)23的位置關(guān)系為[C]

(B)相交(C)相離(D)無(wú)法確定(A)相切

分析：圓心到直線的距離d3232．2

2．已知三角形OPQ的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0),P(3,5),Q(1,2)，則其周長(zhǎng)是[](A)11

(C)5(B)(D)34533453455

3．（2003）過(guò)點(diǎn)P(0,2)作圓x

A．x2y21的切線PA和PB，A,B是兩個(gè)切點(diǎn)，則AB所在直線的方程為．C．x1．2

1分析：如圖，直線AB的方程為y．2B．1．2y1．2D．y1．*2

4．（2003）設(shè)點(diǎn)(x0,

y0)在圓x2y21的內(nèi)部，則直線x0xy0y1和圓

33

A．不相交．*B．有一個(gè)交點(diǎn)．

C．有兩個(gè)交點(diǎn)且兩交點(diǎn)間的距離小于2．

D．有兩個(gè)交點(diǎn)且兩交點(diǎn)間的距離大于2．

分析：根據(jù)題意可知22x0y01，x2y21的圓心(0,0)到直線x0xy0y1的距離是d1

2x02y01，所以直線與圓不相交．

注：特殊值代入法。

5．（2004）直線l與直線2x

A．x-2y=1*

分析．y1關(guān)于直線xy0對(duì)稱，則直線l的方程為（）C.2x+y=1D.2x-y=1B.x+2y=1

11y1過(guò)點(diǎn)(0,1),(,0)，這兩點(diǎn)關(guān)于直線xy0的對(duì)稱點(diǎn)分別是(1,0),(0,)，故直線22

11l過(guò)點(diǎn)(1,0),(0,)，所以其方程為y(x1)．22如圖，由于直線2x

6．（2005）已知p

為反比例函數(shù)y圖像上的一點(diǎn)，過(guò)p分別作兩坐標(biāo)軸的平行線，交Ox軸于M，交Oy軸x

于N，則MPN的面積為（）．

D.2

4

分析：

34

如圖，MPN的面積為122x2x2，即正確選項(xiàng)為C．

7．（2005）設(shè)一個(gè)圓的圓心為

是（）．

p6,m，該圓與坐標(biāo)軸交于A0,4，B0,12兩點(diǎn)，則p到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離

分析：

由于AB是圓的一條弦，所以圓心在線段AB的垂直平分線上，從而m1(412)8．p到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是2

62(8)210，即正確答案為C．

8．（2005）已知tan1，若圓xcosysin1的圓心在第四象限，則方程22

x2cosy2sin20的圖形是（）．

A.雙曲線B.橢圓C.拋物線D.直線

分析：由于圓xcos2ysin1的圓心在第四象限，所以cos0,sin0，從而2

x2cosy2sin20的圖形是一個(gè)橢圓，即正確選項(xiàng)為B．

9．（2006）P(a,b)是第一象限）。b的最大值與a

35

pp,mn

bbp分析：由于過(guò)點(diǎn)P(a,b)和原點(diǎn)的直線方程為yx，即是該直線的斜率。由圖可知滿足題意最大斜率值是aam

q小斜率值是。nA.B.D.

長(zhǎng)是兩個(gè)不等的正整數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)C所有可能的位置必定在某（C）上。

A．拋物線B.橢圓C.雙曲線D.直線pq,mnqpqq,C.,mnmn、最10．（2006）在平面α上給定線段AB=2，在α上的動(dòng)點(diǎn)C，使得A，B，C恰為一個(gè)三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，且線段AC與BC的

由于AC與BC的長(zhǎng)是兩個(gè)不等的正整數(shù)，所以ACBC1，又ACBCAB2，AC比BC長(zhǎng)，

從而ACBC1。即動(dòng)點(diǎn)C所有可能的位置必定在某雙曲線上。分析：不妨假設(shè)

四、三角函數(shù)

1．當(dāng)x(0,

(A)前者大2)時(shí)，確定sinx與1的大小關(guān)系[B]tanx(C)一樣大(D)無(wú)法確定(B)后者大

2．a(chǎn)rccos(sin(

(A)3))的值為[C]16(C)23(B)56(D)16

3．sin(1110。)的值為[A]

(B)(A)1212(C)2(D)2

a214．（2005）已知a0,cos，則cos．的值是（）62a

A.11B.C.D.2222

a1時(shí)，分析：由于當(dāng)a21a211，這與cos2a2a

36矛盾，所以a1,cos1，從而

cos(

6)

2，即正確選項(xiàng)為Ａ．2解法2：因?yàn)閟in

1cos2(a21)24a2a211。，所以a1，又a0，故a1，從而cos2a2

一般復(fù)習(xí)過(guò)程：了解考試要求、復(fù)習(xí)考試內(nèi)容、熟悉試題類型、掌握應(yīng)試技巧。

第一部分算術(shù)

[內(nèi)容綜述]

1．?dāng)?shù)的概念：整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)等等．

2．?dāng)?shù)的運(yùn)算

（1）整數(shù)的四則運(yùn)算；（2）小數(shù)的四則運(yùn)算；（3）分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算*

n

3．?dāng)?shù)的整除：整除（kl

）、倍數(shù)、約數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)（素）數(shù)*、合數(shù)、質(zhì)因數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)m

（mnn1mm1nm1mn1）、公約數(shù)、最大公約數(shù)、互質(zhì)數(shù)、最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)．

ac4．比和比例：比例、bd

[典型例題]ak，反比例關(guān)系等abk．，正比例關(guān)系、b

一、算術(shù)平均數(shù)（平均值）問(wèn)題

例：某書(shū)店二月份出售圖書(shū)3654冊(cè)，比一月份多出售216冊(cè)，比三月份少出售714冊(cè)，第二季度的出售量是第一季度出售量的1.5倍，求書(shū)店上半年平均每月出售圖書(shū)多少冊(cè)？

分析：

3(3654216)3654(3654714)[(3654216)3654(3654714)]65(33654216714)

4775.6

（又如前10個(gè)偶數(shù)、奇數(shù)、素?cái)?shù)、合數(shù)等的平均值問(wèn)題）

二、植樹(shù)問(wèn)題*

（1）全興大街全長(zhǎng)1380米，計(jì)劃在大街兩旁每隔12米栽一棵梧桐樹(shù)，兩端都栽．求共栽梧桐多少棵？分析：2(13801)232．12

（2）將一邊長(zhǎng)為2米的正方形木板沿其邊用釘子固定在墻上，為了安全，釘子的間距不能超過(guò)30厘米，且四角必須固定，求需要的最少釘子數(shù)．

分析：根據(jù)要求，每邊至少需要7個(gè)空，所以至少需要4728個(gè)釘子．

三、運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

1．相遇與追及問(wèn)題（svt，vv1v2,vv1v2，ss1s2）

37例：某部隊(duì)以每分鐘100米的速度夜行軍，在隊(duì)尾的首長(zhǎng)讓通信員以3倍于行軍的速度將一命令傳到部隊(duì)的排頭，并立即返回隊(duì)

尾．已知通信員從出發(fā)到返回隊(duì)尾，共用了9分鐘，求行軍部隊(duì)隊(duì)列的長(zhǎng)度？

分析：設(shè)隊(duì)伍長(zhǎng)度為l，則

ll9，300100300100

解得l1200．

2．順流而下與逆流而上問(wèn)題

例：兩個(gè)碼頭相距352千米，一艘客輪順流而下行完全程需要11小時(shí)，逆流而上行完全程需要16小時(shí)．求此客輪的航速與這條河的水流速度．

分析：因?yàn)?523521116，所以vv水vv水

vv水32,vv22,水

解得v27,v水5．

3．列車過(guò)橋與通過(guò)隧道問(wèn)題

例：一列火車全長(zhǎng)270米，每秒行駛18米，全車通過(guò)一條隧道需要50秒．求這條隧道的長(zhǎng)．

分析：設(shè)隧道長(zhǎng)為l，則270l

四、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題**例：某工廠二月份產(chǎn)值比一月份的增加10，三月份比二月份的減少10，那么．

A．三月份與一月份產(chǎn)值相等．

C．一月份比三月份產(chǎn)值少B．一月份比三月份產(chǎn)值多1850，所以l630．1．*9911．D．一月份比三月份產(chǎn)值多．10099

分析：設(shè)一月份的產(chǎn)值為a，則三月份的產(chǎn)值為0.99a，所以一月份比三月份產(chǎn)值多

a0.99a1．0.99a99

五、簡(jiǎn)單方程應(yīng)用問(wèn)題

1．比和比例應(yīng)用題

例1．有東西兩個(gè)糧庫(kù)，如果從東庫(kù)取出

庫(kù)原來(lái)的存糧數(shù)．

分析：設(shè)西庫(kù)原來(lái)的存糧數(shù)為x，則11放入西庫(kù)，東庫(kù)存糧的噸數(shù)是西庫(kù)存糧噸數(shù)的．已知東庫(kù)原來(lái)存糧5000噸，求西52

500015000(x)，525

所以x7000．5000

例2.一件工程，甲獨(dú)做30天可以完成，乙獨(dú)做20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接著做，這樣甲、乙二人合起來(lái)共做了22天．問(wèn)甲、乙兩人各做了多少天？

分析：設(shè)甲、乙兩人分別做了x天和y天．根據(jù)題意得

xy22,11xy1,2030

解得x6,y16．

38

2.求單位量與求總量的問(wèn)題

例：搬運(yùn)一堆渣土，原計(jì)劃用8輛相同型號(hào)的卡車15天可以完成，實(shí)際搬運(yùn)6天后，有兩輛卡車被調(diào)走．求余下的渣土還需要幾天才能運(yùn)完？

分析：設(shè)要運(yùn)完余下的渣土還需要x天，則

81586(82)x，

所以x12．

3．和倍、差倍與和差問(wèn)題

例：把324分為A,B,C,D四個(gè)數(shù)，如果A數(shù)加上2，B數(shù)減去2，C數(shù)乘以2，D數(shù)除以2之后得到的四個(gè)數(shù)相等，求這四個(gè)數(shù)各是多少？

分析：根據(jù)題意得

ABCD324,1A2B22CD,2

解得A70,B74,C36,D144．

[樣題與真題]

一、數(shù)的運(yùn)算

1．設(shè)直線方程

(A)a

分析：因?yàn)閥axb,ab0，且x的截距是y的截距的(2)倍，則a與(B)1誰(shuí)大？(C)212(C)一樣大(D)無(wú)法確定b12b，所以a。a2

220的根的個(gè)數(shù)為(A)x1x1

(B)1(C)2(D)32．方程1x21(A)0

分析：因?yàn)?

x21122223，所以0的根的個(gè)數(shù)為0。2x1x1x21x1x1x1

3．設(shè)a,b,m均為大于零的實(shí)數(shù)，且b

(A)前者

分析：因?yàn)?B)后者a，則ama與誰(shuí)大？(A)bmb(D)無(wú)法確定(C)一樣大amam(ba)ama0，所以比大。bmbb(bm)bmb

注：特殊值代入法。

4．某人左右兩手分別握了若干顆石子，左手中石子數(shù)乘3加上右手中石子數(shù)乘4之和為29，則左手中石子數(shù)為奇數(shù)，還是偶數(shù)？(A)

(A)奇數(shù)(B)偶數(shù)(C)無(wú)法確定(D)無(wú)石子

分析：因?yàn)?x4y

5．（2003）已知a

29，所以x為奇數(shù)。200120022003,b,c200220032004，則．39

A．a(chǎn)bc．

C．cab．

注：考慮ca．D．cba．*x11f(x)1。xxB．b

6．（2003）

i1

A．10．(1)i1iB．11．*C．12．D．13．11i．11

注：1211

7．設(shè)Sn

A．21111266。21234(1)n1n，則S2004S2005（B）．B．1C．0D．1

分析：由于

所以S2004(12)(34)(20032004)1002．，S2005S20042005，S2004S20051002220051

8．（2005）

111111111111111123456789的值是（）。0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

A.98122B.C.D.812921234567811234567899，分母，所以正確選項(xiàng)為A．234567899102

1111119．（2006）11223344556677（C）248163264

153163127A.308B.308C.308D.308163264128分析：分子分析：

11221111113344556677248163264

11111111(1234567)(12345)222222

116113086311781226412

10．（2006）某型號(hào)的變速自行車主動(dòng)軸有3個(gè)同軸的齒輪，齒數(shù)分別為48、36和24，后軸上有4個(gè)同軸的齒輪，齒數(shù)分別是36、24、16和12，則這種自行車共可獲得（A）種不同的變速比。

40

A.8B.9C.10D.12

分析：（本題是算術(shù)題?？疾閮蓚€(gè)數(shù)的比的大?。┯捎?836482436243624，所以這種自行車共可獲得1248種不同的變速比。,,,1612241236242416

二、平均值問(wèn)題

1．從生產(chǎn)的一批燈泡中任意抽取5個(gè)，測(cè)的壽命（小時(shí)）分別為113,110,107,100,95，若用它們來(lái)估計(jì)這批燈泡的平均壽命應(yīng)為(C)

(A)103

分析：(B)104(C)105(D)10611311010710095105。5

2．張某以10.51元/股的價(jià)格買進(jìn)股票20手，又以9.8元/股買進(jìn)30手，又以11.47元/股買進(jìn)50手，他要不賠錢，至少要賣到什么價(jià)錢（元/股）？（1手100股）(D)

(A)11.02(B)10.32(C)9.98(D)10.7810.5120009.8300011.475000分析：10.78。10000

3．（2003）記不超過(guò)10的素?cái)?shù)的算術(shù)平均數(shù)為M，則與M最接近的整數(shù)是．

A．2．B．3．C．4．*D．5．2357分析：4.254。4

三、植樹(shù)問(wèn)題

1．（2003）1000米大道兩側(cè)從起點(diǎn)開(kāi)始每隔10米各種一棵樹(shù)，相鄰兩棵樹(shù)之間放一盆花，這樣需